精品解析：山东省临沂市兰陵县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度上学期期末质量检测试题 九年级 数学 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 世界遵循对称，我们无时无刻不在对称之中．祖先创造的一些汉字也具有对称性．下列汉字中可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 6 D. 9 3. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 4. 在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为（ ） A. 40秒 B. 45秒 C. 50秒 D. 55秒 5. 如图，是外一点，是的切线，，，则的半径为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 6. 在同一直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是斜边上的高，，，则的长为（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 18 8. 如图，在扇形中，，点是中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A B. C. D. 9. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A. B. 4 C. D. 5 10. 如图，反比例函数的图象与矩形的两边相交于E、F两点．若E是的中点，，则k的值为（） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果点关于原点的对称点为，则____． 12. 已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 13. 如图，五边形是的内接正五边形，则的度数为_________. 14. 如图，在中，点D，E分别在，边上，，若，则____． 15. 已知二次函数的自变量与函数值之间满足的数量关系如表，则的值为_____． x 3 5 y 12 12 100 16. 如图，在中，，，将线段绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当点在的边上时，恰好，则点到直线的距离为 ____． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 解下列方程： （1） （2） 18. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB． 19. 顺德区某校开设的研学课程受到了来自各年级同学的热烈欢迎，其中在九年级开设的广绣研学课程更是异常火爆，因名额有限，每班只能派一个同学参加．九年级一班的小明、小红和小亮都想参加，于是三人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜：若和等于4，则小亮获胜． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，说明小明参加广绣研学课程的概率是多少？ （3）你认为这个游戏公平吗？为什么？ 20. 如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． （1）求证：平分； （2）如果，，求的半径． 21. 已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系． （1）先补全下列表格，再写出该蓄电池的电压是______V；则电流I关于电阻R的函数关系式为______；（自变量） R/Ω 3 4 6 8 10 I/A 12 6 （2）请在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象，并直接写出如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A时，用电器可变电阻应控制在什么范围？ 22. 已知二次函数． （1）若函数图象经过点． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点向右平移个单位，则与图象上的点重合，求的值． （2）设点，，，是该函数图象上两点，若，求证：． 23. 综合与实践： 【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，是边上一点，于点，，，，求证四边形为正方形． 【实践探究】（2）小兰受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，是边上一点，于点，于点，交于点，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】（3）小陵深入研究小兰提出这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，是边上一点，于点，点在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期期末质量检测试题 九年级 数学 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 世界遵循对称，我们无时无刻不在对称之中．祖先创造的一些汉字也具有对称性．下列汉字中可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据一个图形绕一点旋转180度后能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选C 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此列方程求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 故选：D． 3. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性质和增减性，是解题的关键． 根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点为， ∴当时，y随x增大而增大， ∵，，都在二次函数的图象上，且, ∴． 故选：B． 4. 在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为（ ） A. 40秒 B. 45秒 C. 50秒 D. 55秒 【答案】C 【解析】 【分析】炮弹落到地上即，代入解析式解答即可． 【详解】解：令，则， 解得（舍去），， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的性质的应用，掌握炮弹落到地上即可以解答本题． 5. 如图，是外一点，是的切线，，，则的半径为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质和勾股定理，熟练运用切线的性质是解题的关键．连接，根据与相切于点A可得，由勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接， 与相切于点A， ， ，， ∴在中， ， 故选：B． 6. 在同一直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】解：∵， ①若，则经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限， ②若，则经过一、二、四象限，反比例函数位于一、三象限， 只有选项A符合题意， 故选：A． 7. 如图，是斜边上的高，，，则的长为（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定和性质，掌握其判定和性质是解题的关键． 根据题意，可得，，可证，得到，则有，由此即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，，是斜边上的高， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 8. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点落在阴影部分的概率是 故选：B． 9. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A 10. 如图，反比例函数的图象与矩形的两边相交于E、F两点．若E是的中点，，则k的值为（） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出的长度是关键．设则纵坐标也为点坐标为则根据三角形的面积公式即可求得的值． 【详解】解：设，则纵坐标也为， 是中点， 的横坐标为， 点坐标为， ， ， ， ， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果点关于原点的对称点为，则____． 【答案】2025 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数．利用关于原点对称的点的坐标特点可得答案． 【详解】解：关于原点的对称点为， 故答案为：2025． 12. 已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；根据题意易得，然后根据整体思想代入求值即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故答案为2025． 13. 如图，五边形是的内接正五边形，则的度数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆以及圆心角、圆周角的关系，掌握圆内接正五边形的性质以及圆周角与圆心角的关系是正确解题的关键．根据圆内接正五边形的性质以及圆周角、圆心角的关系可求出答案． 【详解】解：如图，连接、、， 五边形是的内接正五边形， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，点D，E分别在，边上，，若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．因为，所以，由，得到，利用相似三角形的性质，即得答案． 【详解】， ， ， ， ． 15. 已知二次函数的自变量与函数值之间满足的数量关系如表，则的值为_____． x 3 5 y 12 12 100 【答案】1200 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性得出当和时的函数值相等，然后将，代入求出y，即可得出答案． 【详解】根据表格可知抛物线的对称轴是， 当与时的函数值相等， 即. 当时，， ∴． 故答案为：1200． 16. 如图，在中，，，将线段绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当点在的边上时，恰好，则点到直线的距离为 ____． 【答案】或 【解析】 【分析】由四边形为平行四边形，可得，由题意知，分在上，在上两种情况求解：①当在上，如图①，过点作于点，由旋转的性质可得，证明为等边三角形，则，根据，计算求解即可；②当在上时，如图②，连接，过点作于点，则为等边三角形，，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 由题意知，分在上，在上两种情况求解： ①当上，如图①，过点作于点， 由旋转的性质可得， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； ②当在上时，如图②，连接，过点作于点， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，点到直线距离为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，等边对等角，正弦的含义．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，灵活选用一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程移项后运用直接开平方法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ∴； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，． 18. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB． 【答案】树高AB是9米 【解析】 【分析】先证得△DEF∽△DCB，可得，再由勾股定理可得DE=0.4m，可得BC＝7.5m，即可求解． 【详解】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D， ∴△DEF∽△DCB， ∴， ∵DF＝0.5 m，EF＝0.3 m，AC＝1.5 m，CD＝10 m， 由勾股定理得DE＝＝0.4 m， ∴， ∴BC＝7.5m， ∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m）， 答：树高AB是9m． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 19. 顺德区某校开设的研学课程受到了来自各年级同学的热烈欢迎，其中在九年级开设的广绣研学课程更是异常火爆，因名额有限，每班只能派一个同学参加．九年级一班的小明、小红和小亮都想参加，于是三人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜：若和等于4，则小亮获胜． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，说明小明参加广绣研学课程的概率是多少？ （3）你认为这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 （2）小明获胜的概率为 （3）游戏公平，原因见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率， （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． （3）结合（2）中得一共有9种等可能性的结果数，其中，两次摸到的数字之和大于4、两次摸到的数字之和小于4和两次摸到的数字之和等于4的概率相等，即可判定． 【小问1详解】 解：一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， 小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4的结果数有3种，其中两次摸到的数字之和等于4的结果数有3种， 小明获胜的概率为； 【小问3详解】 解：游戏公平；由（2）可知 小明获胜的概率为；小红获胜的概率为；小亮获胜的概率为 游戏公平． 20. 如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． （1）求证：平分； （2）如果，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为8 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理． （1）连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，加上，所以，从而判断平分； （2）设的半径为r，则，利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图， 直线与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：设的半径为，则， 在中，，，， ， 解得， 即的半径为8． 21. 已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系． （1）先补全下列表格，再写出该蓄电池的电压是______V；则电流I关于电阻R的函数关系式为______；（自变量） R/Ω 3 4 6 8 10 I/A 12 6 （2）请在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象，并直接写出如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A时，用电器可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】（1）9，；； （2）函数图象见解析；用电器可变电阻 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，画反比例函数的图象，反比例函数的图形与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键． （1）根据反比例函数的定义，两个变量的乘积为定值，即可求值该定值，再将表格中和的数据代入，即可得到表格中所求的数据，从而得到该蓄电池的电压及电流I关于电阻R的函数关系式； （2）将表中数据所对应的点描在图中，然后用光滑的曲线连接成双曲线；当时，计算得值，再从图象中判断，当时，用电器可变电阻应控制的范围． 【小问1详解】 因为蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系， 所以I与R的乘积为定值U， 取，，则， 当时，， 当时，， 补全表格如下： R/Ω 3 4 6 8 10 I/A 12 9 6 所以该蓄电池的电压是36V， 电流I关于电阻R的函数关系式为； 故答案：9，；；． 【小问2详解】 该函数的图象如图所示： 当时，， 解得 根据图形，当时，． 22. 已知二次函数． （1）若函数图象经过点． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点向右平移个单位，则与图象上的点重合，求的值． （2）设点，，，是该函数图象上的两点，若，求证：． 【答案】（1）①；② （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数图像的性质，配方法的应用等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． （1）①直接将代入求得即可解得； ②先根据平移表示出、两点的坐标，然后根据二次函数图像的对称性和二次函数的性质即可解答； （2）由可得，则有，然后运用配方法解答即可． 【小问1详解】 解：①函数图象经过点， ， ， 该二次函数的表达式为； ②由题意可知，， 、是二次函数图象上的点， 、关于对称轴直线对称， ， 解得：， ， 把代入，得； 【小问2详解】 证明：， ， ，是二次函数图象上两点， ， ， ， ． 23. 综合与实践： 【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，是边上一点，于点，，，，求证四边形为正方形． 【实践探究】（2）小兰受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，是边上一点，于点，于点，交于点，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】（3）小陵深入研究小兰提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，是边上一点，于点，点在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是正方形； （2）根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，根据正方形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据正方形的判定定理得到矩形是正方形，于是得到； （3）连接，根据正方形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 又，， ， ， 四边形正方形； （2）解：，理由如下： 于点，于点，交于点， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， 矩形是正方形， ； （3）解：连接，如图， 四边形是正方形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$