专题7.1 不等式的基本性质【十大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（华东师大版2024）

专题7.1 不等式的基本性质【十大题型】 【华东师大版2024】 【题型1 不等式的概念】 1 【题型2 不等式的实际应用】 2 【题型3 不等式的解集】 2 【题型4 根据不等式的基本性质判断不等式的正误】 3 【题型5 根据不等式的性质比较大小】 3 【题型6 不等式的性质与数轴的综合运用】 4 【题型7 根据不等式的解集求参数的取值范围】 4 【题型8 根据不等式的性质求代数式的取值范围】 5 【题型9 根据不等式的性质求最值】 5 【题型10 利用不等式的性质进行证明】 6 知识点1：不等式及其解集 ①不等式：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式. ②不等式的解：使不等式成立的未知数的值，都叫做不等式的解 ③不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 【题型1 不等式的概念】 【例1】（23-24七年级·贵州六盘水·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-1】（23-24七年级·辽宁沈阳·期末）某发酵乳的包装瓶上标注“每100克含钙>87毫克”，它的含义是（    ） A．每100克含钙高于87毫克 B．每100克含钙低于87毫克 C．每100克含钙不低于87毫克 D．每100克含钙不超过87毫克 【变式1-2】（23-24七年级·山东淄博·期末）若是不等式，则符号“□”不能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24七年级·湖南娄底·期末）对于下列结论：①x为自然数，则；②x为负数，则；③x不大于10，则；④m为非负数，则，正确的有 ． 【题型2 不等式的实际应用】 【例2】（23-24七年级·山西晋中·期中）2024年2月25日，国家粮食和物资储备局发布消息称，全国累计收购秋粮超1.5亿吨．若用（亿吨）表示我国今年秋粮收购的数量，则满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24七年级·四川宜宾·期末）如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 【变式2-2】（23-24七年级·甘肃武威·开学考试）针织衫洗涤要求：水温不高于．根据以上信息，写出一个关于温度的不等式： ． 【变式2-3】（23-24七年级·山东淄博·期末）一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服用”，一次服用这种药品的有效剂量不可以为（    ） A． B． C． D． 【题型3 不等式的解集】 【例3】（23-24七年级·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【变式3-1】（23-24七年级·江苏泰州·期末）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24七年级·广东揭阳·期中）请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ． 【变式3-3】（23-24七年级·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 . 知识点2：不等式的基本性质 不等式的性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c . 不等式的性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 用式子表示：如果a＞b，c＞0,那么ac＞bc. 不等式的性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 用式子表示：如果a＞b，c＜0,那么ac＜bc. 【题型4 根据不等式的基本性质判断不等式的正误】 【例4】（23-24七年级·宁夏银川·期末）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（16-17七年级·云南红河·阶段练习）若，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24七年级·重庆江津·期末）若，，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24七年级·福建厦门·期末）如果，，那么下列不等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【题型5 根据不等式的性质比较大小】 【例5】（2024七年级·江苏·专题练习）比较大小：已知，则 ． 【变式5-1】（23-24七年级·陕西西安·期中）已知，请比较下列各式的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 【变式5-2】（23-24秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式与的值之间的大小关系； (2)已知代数式与相等，试用等式的性质比较的大小关系． (3)已知，试用等式的性质比较的大小关系． 【变式5-3】（23-24七年级·北京大兴·期末）比较与的大小，并说明理由． 【题型6 不等式的性质与数轴的综合运用】 【例6】（23-24七年级·山东威海·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（　　） A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0 【变式6-2】（13-14七年级·全国·课后作业）如图，数轴上A、B两点对应的实数分别为a，b，则下列结论不正确的是（　　） A．a+b＞0 B．ab＜0 C．a﹣b＜0 D．|a|﹣|b|＞0 【变式6-3】（23-24·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型7 根据不等式的解集求参数的取值范围】 【例7】（23-24·河北保定·模拟预测）已知数轴上两点，表示的数分别为，1，那么关于的不等式的解集，下列说法正确的是（　　） A．若点在点左侧，则解集为 B．若点在点右侧，则解集为 C．若解集为，则点必在点左侧 D．若解集为，则点必在点右侧 【变式7-1】（23-24七年级·四川遂宁·期中）不等式的解集是那么（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24春·福建泉州·七年级校考期末）若，且，则的取值范围是 ． 【变式7-3】（23-24春·广西南宁·七年级统考期末）若关于x的不等式mx﹣x＞1﹣m的解集是x＜﹣1，则m的取值范围是（    ） A．m＞1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1 【题型8 根据不等式的性质求代数式的取值范围】 【例8】（23-24七年级·四川德阳·期末）若，且，设，则t的取值范围为 ． 【变式8-1】（23-24七年级·安徽合肥·期中）若，且，，设， （1）用只含有的代数式表示，则 ； （2）t的取值范围为 ． 【变式8-2】（23-24·安徽·模拟预测）若实数满足，令，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（17-18七年级·安徽合肥·期末）已知y＞1，x＜﹣1，若x﹣y＝m成立，求x+y的取值范围 (结果用含m的式子表示)． 【题型9 根据不等式的性质求最值】 【例9】（23-24七年级·全国·专题练习）若，，，则的最小值为（    ） A．0 B．3 C．6 D．9 【变式9-1】（23-24七年级·江苏南通·期末）已知实数，b满足，若，则m的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D． 【变式9-2】（2019·江苏镇江·二模）已知：6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，则a﹣3b+c的最小值为 ． 【变式9-3】（2024七年级·全国·竞赛）a，b，c，d都是整数，且，，，，则的最大值为（    ） A．447 B．455 C．471 D．479 【题型10 利用不等式的性质进行证明】 【例10】（23-24七年级·福建福州·期末）已知都是实数，若．求证：． 【变式10-1】（2024·江苏扬州·七年级期末）阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数x、y满足，证明：． 证明：因为且x，y均为正， 所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： (1)请将上面的证明过程填写完整． (2)尝试证明：若，则． 【变式10-2】（23-24七年级·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足：．求证： (1)； (2) 【变式10-3】（23-24七年级·全国·期中）阅读下列材料，解决问题： 【问题背景】 小明在学习完不等式的性质之后，思考： “如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？” 在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式： ①已知：，． 求证：． ②已知：，． 求证：． 【问题探究】 (1)针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据： ，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：______）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：______）， 合并同类项可得：， 即：得证． (2)参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.1 不等式的基本性质【十大题型】 【华东师大版2024】 【题型1 不等式的概念】 1 【题型2 不等式的实际应用】 3 【题型3 不等式的解集】 4 【题型4 根据不等式的基本性质判断不等式的正误】 6 【题型5 根据不等式的性质比较大小】 8 【题型6 不等式的性质与数轴的综合运用】 10 【题型7 根据不等式的解集求参数的取值范围】 13 【题型8 根据不等式的性质求代数式的取值范围】 14 【题型9 根据不等式的性质求最值】 17 【题型10 利用不等式的性质进行证明】 19 知识点1：不等式及其解集 ①不等式：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式. ②不等式的解：使不等式成立的未知数的值，都叫做不等式的解 ③不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 【题型1 不等式的概念】 【例1】（23-24七年级·贵州六盘水·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义，有理数的大小比较，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．根据不等式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有：①②③⑥，共有4个， 故选：B． 【变式1-1】（23-24七年级·辽宁沈阳·期末）某发酵乳的包装瓶上标注“每100克含钙>87毫克”，它的含义是（    ） A．每100克含钙高于87毫克 B．每100克含钙低于87毫克 C．每100克含钙不低于87毫克 D．每100克含钙不超过87毫克 【答案】A 【分析】本题考查不等式的定义，根据不等式的定义求解即可． 【详解】解：“每100克含钙>87毫克” 的含义是每100克含钙高于87毫克， 故选：A． 【变式1-2】（23-24七年级·山东淄博·期末）若是不等式，则符号“□”不能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的定义，根据不等式的定义判断即可．熟练掌握用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式，像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式． 【详解】解：∵，，都是不等式， ∴选项B，C，D都不符合题意； ∵不是不等式， ∴选项A符合题意． 故选：A． 【变式1-3】（23-24七年级·湖南娄底·期末）对于下列结论：①x为自然数，则；②x为负数，则；③x不大于10，则；④m为非负数，则，正确的有 ． 【答案】②④/④② 【分析】根据自然数定义即可判断①，根据负数定义即可判断②，不大于10，即小于或等于可判断③，根据非负数定义即可判断④． 【详解】解：x为自然数，则，错误，不合题意； ②x为负数，则，正确，符合题意； ③x不大于10，则，错误，不合题意； ④m为非负数，则，正确，符合题意； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了列不等式的知识，正确理解负数定义，非负数定义，自然数定义，不大于即小于或等于． 【题型2 不等式的实际应用】 【例2】（23-24七年级·山西晋中·期中）2024年2月25日，国家粮食和物资储备局发布消息称，全国累计收购秋粮超1.5亿吨．若用（亿吨）表示我国今年秋粮收购的数量，则满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式，熟练掌握不等式的定义，理解题干中“超1.5亿”即“大于1.5亿”是解题的关键．根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 【变式2-1】（23-24七年级·四川宜宾·期末）如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式．正确的识图，是解题的关键． 根据题意，列出不等式即可． 【详解】解：由图可知：； 故答案为：． 【变式2-2】（23-24七年级·甘肃武威·开学考试）针织衫洗涤要求：水温不高于．根据以上信息，写出一个关于温度的不等式： ． 【答案】 【分析】此题主要考查不等式的定义．根据“水温不高于”可以写为． 【详解】解：根据“水温不高于”可以写为． 故答案为：． 【变式2-3】（23-24七年级·山东淄博·期末）一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服用”，一次服用这种药品的有效剂量不可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是不等式的定义，本题需注意应找到每天服用时4次每次的剂量；每天服用时3次每次的剂量，然后找到最大值与最小值即可． 【详解】解：根据题意，由“每日用量，分次服用”， 用（/次），（/次） 得到一次服用这种药的剂量为：， 则没在此范围内， 故选：A． 【题型3 不等式的解集】 【例3】（23-24七年级·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 【变式3-1】（23-24七年级·江苏泰州·期末）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中不包含，不符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中包含，符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】（23-24七年级·广东揭阳·期中）请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查不等式的解集．由，3均小于4可得． 【详解】解：由，3均小于3可得， 所以符合条件的不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3-3】（23-24七年级·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解，根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点2：不等式的基本性质 不等式的性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c . 不等式的性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 用式子表示：如果a＞b，c＞0,那么ac＞bc. 不等式的性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 用式子表示：如果a＞b，c＜0,那么ac＜bc. 【题型4 根据不等式的基本性质判断不等式的正误】 【例4】（23-24七年级·宁夏银川·期末）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质．不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，由此即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 【变式4-1】（16-17七年级·云南红河·阶段练习）若，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分析判断即可． 【详解】解：A、在两边都乘上6可得，，故选项正确，此选项不符合题意； B、在两边都加上1可得，，故选项正确，此选项不符合题意； C、在两边都乘上可得，，故选项错误，此选项符合题意； D、根据不等式性质3可知，两边同乘以时，可得，两边都加上1可得，故选项正确，此选项不符合题意． 故选：C． 【变式4-2】（23-24七年级·重庆江津·期末）若，，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的3个基本性质是解题的关键． 根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【详解】解：若，， A．，故A错误； B．，故B错误； C．，不能得出，故C错误； D．，故D正确； 故选：D． 【变式4-3】（23-24七年级·福建厦门·期末）如果，，那么下列不等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质定理是解题的关键，注意不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号的方向发生改变． 本题根据不等式的两条性质即可得出答案． 【详解】解：、根据“不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向发生改变”，可得，故原题正确，不符合题意； 、根据“不等式的两边同时除以同一个正数，不等号的方向不发生改变”，可得，故原题正确，不符合题意； 、根据“不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不发生改变”，可得，故原题正确，不符合题意； 、与，无法判断大小，故原题错误，符合题意． 故选：． 【题型5 根据不等式的性质比较大小】 【例5】（2024七年级·江苏·专题练习）比较大小：已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的三个性质是关键．由不等式的性质：两边同时乘以得，两边同时加1得． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【变式5-1】（23-24七年级·陕西西安·期中）已知，请比较下列各式的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，熟知①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质解答即可． （2）根据不等式的基本性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 【变式5-2】（23-24秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式与的值之间的大小关系； (2)已知代数式与相等，试用等式的性质比较的大小关系． (3)已知，试用等式的性质比较的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把两个多项式作差比较大小即可； （2）等式两边同时减去即可得到，由此即可得到结论； （3）等式的性质两边同时乘以6可得，，由此可得结论． 【详解】（1）解： ∵不论为何值，都有 ∴ （2）解：∵， ∴等式两边同时减去，得， 整理得， ∴． （3）解：∵， 根据等式的性质两边同时乘以6可得， 整理得， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等式的性质和不等式的性质，正确理解题意是解题的关键． 【变式5-3】（23-24七年级·北京大兴·期末）比较与的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】两个整式相减，用它们的差和零作比较即可做出判断． 【详解】解：， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了整式加减应用，不等式的性质，准确算出两个整式的差和零作比较是解答本题的关键． 【题型6 不等式的性质与数轴的综合运用】 【例6】（23-24七年级·山东威海·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、不等式的基本性质，熟练掌握数轴的定义是解题关键．先根据数轴的定义可得，且，再根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：由实数a，b，c在数轴上的对应点的位置可知，，且， A．，是成立的，因此选项A不符合题意； B．由于，而，所以，是成立的，因此选项B不符合题意； C．由于，则，而，则，所以是成立的，因此选项C不符合题意； D．由于，则，而，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 【变式6-1】（23-24·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（　　） A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0 【答案】A 【分析】根据数轴得出a＜b，根据不等式的性质对四个选项依次分析即可得到答案． 【详解】 解：由题意得：a＜b， ∴﹣2a＞﹣2b， ∴1﹣2a＞1﹣2b， ∴A选项的结论成立； ∵a＜b， ∴﹣a＞﹣b， ∴B选项的结论不成立； ∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3， ∴， ∴， ∴a+b＞0， ∴C选项的结论不成立； ∵ ∴， ∴D选项的结论不成立． 故选：A． 【点睛】本题考查数轴、不等式、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关知识． 【变式6-2】（13-14七年级·全国·课后作业）如图，数轴上A、B两点对应的实数分别为a，b，则下列结论不正确的是（　　） A．a+b＞0 B．ab＜0 C．a﹣b＜0 D．|a|﹣|b|＞0 【答案】D 【分析】根据数轴，列出a、b的取值范围，然后再进行不等式的计算． 【详解】解：根据题意，得 ﹣1＜a＜0，1＜b＜2， A、0＜a+b＜2；不等式两边同时相加，不等式符号不变，故A正确，不符合题意； B、﹣2＜ab＜﹣1，不等式两边同时乘以负数，不等式符号改变，故B正确，不符合题意； C、∵﹣2＜﹣b＜﹣1，不等式两边同乘以负数，不等式符号改变， ∴﹣3＜a﹣b＜﹣1＜0，故C正确，不符合题意； D、由上式得0＜|a|＜1，1＜|b|＜2， ∴|a|＜|b|，即a|﹣|b|＜0，故D错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查的是实数的绝对值的性质，解题关键是利用绝对值的几何意义和不等式的性质． 【变式6-3】（23-24·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴ A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由，，得出是解题的关键． 【题型7 根据不等式的解集求参数的取值范围】 【例7】（23-24·河北保定·模拟预测）已知数轴上两点，表示的数分别为，1，那么关于的不等式的解集，下列说法正确的是（　　） A．若点在点左侧，则解集为 B．若点在点右侧，则解集为 C．若解集为，则点必在点左侧 D．若解集为，则点必在点右侧 【答案】C 【分析】根据不等式的性质化简求值即可. 【详解】关于的不等式化为， 当时，解集为， 此时点在原点左侧， 故A，B，D选项错误， C选项正确， 故选C． 【点睛】此题考查了不等式性质，解题的关键是熟悉不等式的基本性质. 【变式7-1】（23-24七年级·四川遂宁·期中）不等式的解集是那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在不等式两边都除以后，不等号的方向改变了，可得到，从而可得答案． 【详解】解： 的解集是， 在不等式的两边都除以：，不等号的方向发生了改变， 故选A． 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质以及解不等式，掌握以上知识是解题的关键． 【变式7-2】（23-24春·福建泉州·七年级校考期末）若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，两边同时乘一个负数不等号改变，求出a的取值范围． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质． 【变式7-3】（23-24春·广西南宁·七年级统考期末）若关于x的不等式mx﹣x＞1﹣m的解集是x＜﹣1，则m的取值范围是（    ） A．m＞1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1 【答案】B 【分析】根据不等式的性质可得，两边同除以一个负数，不等号方向发生改变，即可求得结果． 【详解】解：将不等式化为， ∵不等号两边同时除以得到， ∴， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【题型8 根据不等式的性质求代数式的取值范围】 【例8】（23-24七年级·四川德阳·期末）若，且，设，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由条件可得，先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：而， ， ∵， ， ∴ ， ∵， ∴t的取值范围是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键． 【变式8-1】（23-24七年级·安徽合肥·期中）若，且，，设， （1）用只含有的代数式表示，则 ； （2）t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的基本性质，二元一次方程中用一个未知数表示另一个未知数； （1）根据得到，代入计算即可； （2）根据，，把，代入得到，再确定t的取值范围． 【详解】解：（1）∵， ∴，． ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴，． ∴，． ∴． ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 【变式8-2】（23-24·安徽·模拟预测）若实数满足，令，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 由题意知，则，，利用不等式的性质分别计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式8-3】（17-18七年级·安徽合肥·期末）已知y＞1，x＜﹣1，若x﹣y＝m成立，求x+y的取值范围 (结果用含m的式子表示)． 【答案】m+2＜x+y＜﹣m﹣2 【分析】由x-y=m得x=y+m，由x＜-1得知y＜-m-1，根据y＞1得1＜y＜-m-1，同理得出m+1＜x＜-1，相加即可得出答案． 【详解】由x﹣y＝m得x＝y+m， 由x＜﹣1得y+m＜﹣1，y＜﹣m﹣1， 又∵y＞1， ∴1＜y＜﹣m﹣1， 由x﹣y＝m得y＝x﹣m， 由y＞1得x﹣m＞1，x＞m+1， 又∵x＜﹣1， ∴m+1＜x＜﹣1， ∴m+2＜x+y＜﹣m﹣2， 故答案为m+2＜x+y＜﹣m﹣2． 【点睛】本题主要考查不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 【题型9 根据不等式的性质求最值】 【例9】（23-24七年级·全国·专题练习）若，，，则的最小值为（    ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】把问题转化为，利用不等式的性质解决最值问题． 【详解】解：， ， ∴， ， ，即， ∵ ， ∴， 即， 时，的值最小，最小值为6． 故选：C． 【点睛】本题考查代入消元法、不等式的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 【变式9-1】（23-24七年级·江苏南通·期末）已知实数，b满足，若，则m的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D． 【答案】B 【分析】先根据题意用a表示出b，再代入，由即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，m有最大值，最大值为7． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是把b当做一个已知数求解，用a表示b． 【变式9-2】（2019·江苏镇江·二模）已知：6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，则a﹣3b+c的最小值为 ． 【答案】6 【分析】首先根据6a＝3b+12＝2c，分别用b表示出a、c；然后根据b≥0，c≤9，求出a﹣3b+c的最小值为多少即可． 【详解】∵6a＝3b+12＝2c， ∴a＝0.5b+2，c＝1.5b+6， ∴a﹣3b+c ＝（0.5b+2）﹣3b+（1.5b+6） ＝﹣b+8 ∵b≥0，c≤9， ∴3b+12≤18， ∴b≤2， ∴﹣b+8≥﹣2+8＝6， ∴a﹣3b+c的最小值是6． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 【变式9-3】（2024七年级·全国·竞赛）a，b，c，d都是整数，且，，，，则的最大值为（    ） A．447 B．455 C．471 D．479 【答案】A 【分析】主要考查了不等式的运用．根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．根据，d都整数，就可以求出d的值，进而就可以得到a，b，c的值． 【详解】解：∵a，b，c，d都是整数，且，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即最大是447． 故选：A． 【题型10 利用不等式的性质进行证明】 【例10】（23-24七年级·福建福州·期末）已知都是实数，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用，消去，得到，然后利用不等式的性质变形即可求解． 【详解】证明： 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式10-1】（2024·江苏扬州·七年级期末）阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数x、y满足，证明：． 证明：因为且x，y均为正， 所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： (1)请将上面的证明过程填写完整． (2)尝试证明：若，则． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题． 【详解】（1）证明：因为且，均为正， 所以，．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 所以（不等式的传递性）， 故答案为：，； （2）证明：， ， ． 【变式10-2】（23-24七年级·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足：．求证： (1)； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等式的性质可得，由可得，再代入解答即可； （2）由，，由不等式的性质可得，再根据可得，所以，再由，结合不等式的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴ 即， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【变式10-3】（23-24七年级·全国·期中）阅读下列材料，解决问题： 【问题背景】 小明在学习完不等式的性质之后，思考： “如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？” 在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式： ①已知：，． 求证：． ②已知：，． 求证：． 【问题探究】 (1)针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据： ，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：______）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：______）， 合并同类项可得：， 即：得证． (2)参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明． 【答案】(1)不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变 (2)见解析 【分析】（1）根据不等式的基本性质进行分析即可； （2）仿照（1）的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变）， 合并同类项可得：， 即：得证． 故答案为：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变； （2）解：，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时除以一个正数，不等号方向不变）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个数，不等号方向不变）， 合并同类项，得， 即：，得证． 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，解答的关键是熟记不等式的基本性质． 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