专题3.1 概率初步【十一大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（北师大版2024）

专题3.1 概率初步【十一大题型】 【北师大版2024】 【题型1 事件的分类】 1 【题型2 判断可能性的大小】 2 【题型3 由可能性的大小求值】 3 【题型4 求事件可能性的大小】 3 【题型5 几何图形中可能性的大小】 3 【题型6 根据可能性的大小进行排序】 4 【题型7 改变条件使事件发生的可能性相同】 5 【题型8 用频率估计概率】 6 【题型9 等可能事件的概率的计算】 7 【题型10 几何概率】 8 【题型11 游戏的公平性】 9 知识点1：事件的分类 在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。 必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。 【题型1 事件的分类】 【例1】（23-24七年级·陕西西安·期末）有两个事件，事件：人中至少有人性别相同；事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为的倍数．下列说法正确的是（    ） A．事件都是随机事件 B．事件都是必然事件 C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件 【变式1-1】（23-24七年级·江苏宿迁·期末）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是 ． 【变式1-2】（23-24七年级·河南平顶山·期末）下列说法不正确的是（　　） A．“过一点可以作两条直线与已知直线垂直”是不可能事件 B．“三角形的一条中线平分三角形的面积”是必然事件 C．“以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件 D．“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是必然事件 【变式1-3】（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（　　） A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关 知识点2：可能性的大小 必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 【题型2 判断可能性的大小】 【例2】（23-24七年级·江苏南京·期中）七年级（1）班有40位同学，他们的学号是，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 （填序号）． 【变式2-1】（23-24七年级·全国·课后作业）在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增加到14人，其中任取7名裁判的评分作为有效分，这样做的目的是 ． 【变式2-2】（2024·江西南昌·一模）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-3】（23-24七年级·四川达州·期末）不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和5个蓝球，每个球除颜色不同外其它都相同，从中任意摸出一个球，则摸出 球的可能性最小． 【题型3 由可能性的大小求值】 【例3】（24-25七年级·福建福州·开学考试）在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有 个黑球． 【变式3-1】（23-24七年级·江苏南京·期中）一个不透明的袋子中装有红球、白球共9个，这些球除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到白球的可能性大，则红球至多有 个． 【变式3-2】（23-24七年级·江苏泰州·期中）不透明的袋子中装有红、黄、蓝三种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，摸出的球是红球和不是红球的可能性一样，则黄球和蓝球共有 个. 【变式3-3】（23-24七年级·广东梅州·开学考试）盒中装有红球、白球共11个，每个球除颜色外都相同，如果摸出任意一个球，摸到红球的可能性较大，则红球至少有 个． 【题型4 求事件可能性的大小】 【例4】（23-24七年级·上海崇明·期末）掷一枚骰子，点数是的因数的可能性大小是 ． 【变式4-1】（23-24七年级·上海松江·期末）袋子里有3个红球，4个黄球和2个白球，除颜色外其他均相同．从袋子中任意取出一个球，取到黄球的可能性大小是 ． 【变式4-2】（23-24七年级·福建泉州·期末）一个口袋里装有只有颜色不同的红球和蓝球，已知红球30个，蓝球20个．闭上眼睛从口袋里拿出一个球是蓝球的可能性是 ． 【变式4-3】（23-24七年级·上海奉贤·期末）投掷一枚正方体骰子，朝上的一面是合数的可能性大小是 ． 【题型5 几何图形中可能性的大小】 【例5】（23-24七年级·江苏南通·期中）在如图所示（A，B，C三个区域）的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在_________区域的可能性最大（填A或B或C）．      【变式5-1】（2024·北京房山·二模）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．转动一次转盘后，指针指向 颜色的可能性大． 【变式5-2】（23-24七年级·江苏常州·期末）如图，一张正方形纸片被分成了A、B、C三块区域，任意抛掷一粒米到纸片上，落在区域 （填“A”、“B”或“C”）的可能性最小． 【变式5-3】（23-24七年级·北京顺义·期末）如图所示，有两个质地均匀且可以转动的转盘，转盘一被分成6个全等的扇形区域，转盘二被分成8个全等的扇形区域．在转盘的适当地方涂上灰色，末涂色部分为白色．用力转动转盘，请你通过计算判断，当转盘停止后哪一个转盘指针指向灰色的可能性大． 【题型6 根据可能性的大小进行排序】 【例6】（23-24七年级·安徽芜湖·期末）不确定事件发生的可能性未必是50％，可能大些，也可能小些，试按发生的可能性由大到小的顺序，把下列事件排列起来. 事件一：我的书包里共有12本书，我随便把手往里一伸，恰好摸到数学书(假设书都同样厚). 事件二：我花2元钱买了一张彩票，中了大奖，得500万元奖金. 事件三：我抛了两次硬币，每次都是正面向上. 事件四：这天早晨，我第一个来到教室. 【变式6-1】（23-24七年级·江苏南京·阶段练习）从一副扑克牌中任意抽取1张，则下列事件：①这张牌是“2”，②这张牌是“红桃”，③这张牌是“黑桃 3”，按其发生的可能性从小到大的顺序是 （填写序号） 【变式6-2】（23-24七年级·全国·单元测试）已知四个事件：①从装有个红球的袋子中任取一球，取出的球是白球；②抛一枚图钉钉尖着地；③从高处抛出的物体落到地面；④将一枚硬币抛两次，都是正面朝上、请按发生机会由小到大的顺序将事件的序号排列在横线上： ． 【变式6-3】（23-24七年级·江苏徐州·期中）如图,转盘中8个扇形的面积都相等,任意转动转盘1次,当转盘停止转动时,估计下列事件发生的可能性的大小,并将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排成一列是 ．（填序号） （1）指针落在标有3的区域内；（2）指针落在标有9的区域内； （3）指针落在标有数字的区域内；（4）指针落在标有奇数的区域内. 【题型7 改变条件使事件发生的可能性相同】 【例7】（2024春·四川广元·七年级统考期末）在不透明的袋子中装有3个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球 (1)摸到哪种颜色球的可能性大？ (2)请你通过改变袋子中某一种颜色球的数量，设计一种方案；使“摸出红球”和“摸出黄球”的可能性大小相同． 【变式7-1】（23-24七年级·江苏苏州·期中）桌上倒扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃．从中随机抽取1张． （1）能够事先确定抽取的扑克牌的花色吗？ （2）你认为抽到哪种花色的可能性大？ （3）能否通过改变某种花色的扑克牌的数量，使“抽到黑桃”和“抽到红桃”的可能性大小相同？ 【变式7-2】（23-24七年级·江苏常州·期中）一只不透明的袋子中有个红球、个绿球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球． （1）会出现哪些可能的结果？ （2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？ （3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？ （4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？ 【变式7-3】（23-24七年级·江苏南京·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域． （1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域； ②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数； ③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10． （2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案． 知识点3：用频率估计概率 在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上瞧似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某一个常数P，那么事件A发生的频率P（A）=P 。 【题型8 用频率估计概率】 【例8】（23-24七年级·江西吉安·期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A． 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B． 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C． 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【变式8-1】（23-24七年级·陕西西安·期末）学完《概率初步》这一章后，老师让同学结合实例说一说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（　　） A．小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 B．小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 C．小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是 D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一 【变式8-2】（23-24七年级·北京石景山·期末）某林场要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，在移植过程中的统计结果如下表所示： 移植的幼树n/棵 500 1000 2000 4000 7000 10000 12000 15000 成活的幼树m/棵 423 868 1714 3456 6020 8580 10308 12915 成活的频率 0.846 0.868 0.857 0.864 0.860 0.858 0.859 0.861 在此条件下，估计该种幼树移植成活的概率为 （精确到）；若该林场欲使成活的幼树达到4.3万棵，则估计需要移植该种幼树 万棵. 【变式8-3】（23-24七年级·四川成都·期末）如图是李老师制作的一个可以自由转动的转盘，如表是某同学收集的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 落在“蓝色”的次数 30 61 92 118 151 182 207 242 269 302 蓝色部分的圆心角最有可能是（　　） A． B． C． D． 知识点4：等可能时间的概率 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、 当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0. 【题型9 等可能事件的概率的计算】 【例9】（23-24七年级·北京石景山·期末）在“河南美食简介”竞答活动中，第一题组共设置“河南烩面”“胡辣汤”“洛阳浆面条”“开封双麻火烧”四种美食，参赛的甲队员从以上四种美食中随机选取一个进行简介，则恰好选中“胡辣汤”的概率是（） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24七年级·四川宜宾·期末）一个不透明的口袋中装有若干个除颜色不同外其它都相同的小球，已知口袋中只装有3个红球，且摸到红球的概率为，那么口袋中小球的总数为（    ） A．4 B．9 C．12 D．15 【变式9-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）某路口的人行造交通信号灯每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到红灯的概率是 ． 【变式9-3】（23-24七年级·四川南充·期末）如图，有4张除图案不同外其余完全相同的卡片，现将这些卡片有图案的一面朝下洗匀，随机抽取1张，抽到的卡片上的图案可以作为一个正方体平面展开图的概率为 ． 【题型10 几何概率】 【例10】（23-24七年级·山东威海·期末）如图，飞镖游戏板被等分成若干个相同的小正方形，某位同学向游戏板投掷飞镖，假设飞镖落在游戏板上每个点的概率相同，则落在涂色部分的概率为 ． 【变式10-1】（24-25七年级·四川资阳·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上．若向正方形网格中投针，则针落在内部的概率是 ． 【变式10-2】（24-25七年级·湖北武汉·期末）如图，同心圆的大小圆半径比为，随机向该同心圆及其内部区域投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率是 ． 【变式10-3】（23-24七年级·山东烟台·期末）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一 点P，则点P落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【题型11 游戏的公平性】 【例11】（24-25七年级·新疆吐鲁番·期末）如图所示，准备了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形．将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，若可以拼成一个圆形（取出的两张纸片都画有半圆形）则甲方赢；若可以拼成一个蘑菇形（取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形）则乙方赢．你认为这个游戏对双方是公平的吗？若不是，有利于谁？ ． 【变式11-1】（24-25七年级·福建福州·期中）小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，最后取完铅笔的人获胜，你认为这个游戏规则 ．(填“公平”或“不公平”) 【变式10-2】（24-25七年级·山东烟台·期中）小兰和小青两人做游戏，有一个质量分布均匀的六面体骰子，骰子的六面分别标有1，2，3，4，5，6，如果掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢；如果掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么游戏规则对 有利． 【变式11-3】（24-25七年级·北京顺义·期末）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜． 若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 概率初步【十一大题型】 【北师大版2024】 【题型1 事件的分类】 1 【题型2 判断可能性的大小】 3 【题型3 由可能性的大小求值】 5 【题型4 求事件可能性的大小】 6 【题型5 几何图形中可能性的大小】 8 【题型6 根据可能性的大小进行排序】 10 【题型7 改变条件使事件发生的可能性相同】 12 【题型8 用频率估计概率】 14 【题型9 等可能事件的概率的计算】 17 【题型10 几何概率】 19 【题型11 游戏的公平性】 21 知识点1：事件的分类 在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。 必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。 【题型1 事件的分类】 【例1】（23-24七年级·陕西西安·期末）有两个事件，事件：人中至少有人性别相同；事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为的倍数．下列说法正确的是（    ） A．事件都是随机事件 B．事件都是必然事件 C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】事件：人中至少有人性别相同是必然事件， 事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为的倍数是随机事件， ∴事件是必然事件，事件是随机事件， 故选：． 【变式1-1】（23-24七年级·江苏宿迁·期末）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了必然事件．判断出使两人所取的根数之和为3是解题的关键． 由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根． 【详解】解：由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根火柴，小明一定获胜， ∴小明先取，第一次取走2根， 故答案为：2． 【变式1-2】（23-24七年级·河南平顶山·期末）下列说法不正确的是（　　） A．“过一点可以作两条直线与已知直线垂直”是不可能事件 B．“三角形的一条中线平分三角形的面积”是必然事件 C．“以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件 D．“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是必然事件 【答案】D 【分析】利用随机事件以及必然事件的定义对各选项进行判断得出答案． 【详解】解：A、“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，故此选项正确，不符合题意； B、“三角形的一条中线平分三角形的面积”正确，故此选项正确，不符合题意； C、“以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件，比如三条长度为3，4，5的可以构成三角形，三条长度为1，2，3不可以构成三角形，故此选项正确，不符合题意； D、“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是随机事件，如果两边夹角，即，那么两个三角形全等，如果两边不夹角，那么两个三角形不全等，故此选项错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】此题考查了必然事件和随机事件的定义，正确把握相关事件的定义是解题的关键． 【变式1-3】（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（　　） A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关 【答案】B 【分析】本题考查事件分类的判断，根据题意及事件的分类进行判定即可． 【详解】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意； B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意； C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意； D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意； 故选：B． 知识点2：可能性的大小 必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 【题型2 判断可能性的大小】 【例2】（23-24七年级·江苏南京·期中）七年级（1）班有40位同学，他们的学号是，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 （填序号）． 【答案】③ 【分析】分别求出三个事件的可能性，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：①抽到的学号是奇数的可能性为； ②抽到的学号是个位数的可能性为； ③抽到的学号不小于35的可能性为， ， 发生可能性最小的事件为为③， 故答案为：③． 【点睛】本题主要考查了基本可能性的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 【变式2-1】（23-24七年级·全国·课后作业）在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增加到14人，其中任取7名裁判的评分作为有效分，这样做的目的是 ． 【答案】减少有效分中有受贿裁判评分的可能性 【详解】若有1人受贿,则原先有受贿裁判评分的概率是,现在有受贿裁判评分的概率为,所以这样做的目的是减少有效分中有受贿裁判评分的可能性,故答案为减少有效分中有受贿裁判评分的可能性. 【变式2-2】（2024·江西南昌·一模）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据概率公式求出白球的取值范围即可得出结论． 【详解】解：若要使取到白球的概率较大，则白球的个数＞红球的个数 由各选项可知，只有D选项符合 故选D． 【点睛】此题考查的是比较概率的大小，掌握概率公式是解决此题的关键． 【变式2-3】（23-24七年级·四川达州·期末）不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和5个蓝球，每个球除颜色不同外其它都相同，从中任意摸出一个球，则摸出 球的可能性最小． 【答案】黄 【分析】本题主要考查了可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可，求比例时，应注意记清各自的数目．分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性最小． 【详解】解：因为袋子中有4个红球、3个黄球和5个蓝球，从中任意摸出一个球， ①为红球的概率是； ②为黄球的概率是； ③为蓝球的概率是． ， ∴可见摸出黄球的概率最小． 故答案为：黄． 【题型3 由可能性的大小求值】 【例3】（24-25七年级·福建福州·开学考试）在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有 个黑球． 【答案】7 【分析】本题考查可能性的大小，先根据绿球可能性的大小得到球的总数．进而可求解． 【详解】解：∵8个绿球，绿球的可能性小于， 球的总数大于24， 至少有个黑球． 故答案为：7． 【变式3-1】（23-24七年级·江苏南京·期中）一个不透明的袋子中装有红球、白球共9个，这些球除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到白球的可能性大，则红球至多有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了可能性大小的知识，解题的关键是了解“哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大”，难度不大．根据哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大，据此求解即可． 【详解】解：一个不透明的袋子中装有红球、白球共9个，这些球除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，摸到白球的可能性大， ∴白球的数量多于红球的数量， ∴红球至多有4个， 故答案为：4． 【变式3-2】（23-24七年级·江苏泰州·期中）不透明的袋子中装有红、黄、蓝三种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，摸出的球是红球和不是红球的可能性一样，则黄球和蓝球共有 个. 【答案】 【分析】本题主要考查了可能性的大小．根据黄球和蓝球所占总体的一半，求解即可． 【详解】解：∵摸出的球是红球和不是红球的可能性一样，共个球， ∴黄球和蓝球所占总体的一半 ∴黄球和蓝球共有个， 故答案为：． 【变式3-3】（23-24七年级·广东梅州·开学考试）盒中装有红球、白球共11个，每个球除颜色外都相同，如果摸出任意一个球，摸到红球的可能性较大，则红球至少有 个． 【答案】6 【分析】根据摸到红球的可能性较大可知红球比白球多，列不等式即可解答． 【详解】解：∵红球、白球共11个，摸到红球的可能性较大， ∴红球个数>白球个数， 设红球有个，则白球有个， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴红球至少有6个， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了的事件发生可能性的大小及解一元一次不等式，解题的关键是根据题意得出红球个数>白球个数． 【题型4 求事件可能性的大小】 【例4】（23-24七年级·上海崇明·期末）掷一枚骰子，点数是的因数的可能性大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查了可能性大小的求法，先找出的因数有1、2、3，然后可求得可能性大小，准确找到4的因数是解题的关键． 【详解】解：骰子6个面的点数分别是1、2、3、4、5、6， 其中是4的因数的有1、2、4三种， ∴点数是4的因数的可能性大小是， 故答案为：． 【变式4-1】（23-24七年级·上海松江·期末）袋子里有3个红球，4个黄球和2个白球，除颜色外其他均相同．从袋子中任意取出一个球，取到黄球的可能性大小是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了事件的可能性，根据黄球的个数最多，可知摸到黄球的可能性最大，据此可得答案． 【详解】解：∵三种颜色的球中，黄球的个数最多， ∴从袋子中任意取出一个球，取到黄球的可能性大小是， 故答案为：． 【变式4-2】（23-24七年级·福建泉州·期末）一个口袋里装有只有颜色不同的红球和蓝球，已知红球30个，蓝球20个．闭上眼睛从口袋里拿出一个球是蓝球的可能性是 ． 【答案】 【分析】用蓝球的个数除以总数计算即可． 【详解】解：闭上眼睛从口袋里拿出一个球是蓝球的可能性==， 故答案为． 【点睛】本题主要考查可能性大小的计算，计算可能性大小时注意用所求情况数除以总数计算即可． 【变式4-3】（23-24七年级·上海奉贤·期末）投掷一枚正方体骰子，朝上的一面是合数的可能性大小是 ． 【答案】 【分析】正方体骰子共6个数，其中4和6为合数，所以投掷一枚正方体骰子，朝上的一面是合数的可能性大小是． 【详解】解：正方体骰子共6个数，合数为4，6共2个， 所以投掷一枚正方体骰子，朝上的一面是合数的可能性大小是， 故答案为：． 【点睛】本题考查判断事件发生的可能性大小，利用概率来求解是解题的关键． 【题型5 几何图形中可能性的大小】 【例5】（23-24七年级·江苏南通·期中）在如图所示（A，B，C三个区域）的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在_________区域的可能性最大（填A或B或C）．      【答案】A． 【分析】根据哪个区域的面积大落在那个区域的可能性就大解答即可． 【详解】由题意得：，故落在A区域的可能性大， 故答案为A． 【点睛】本题考查了几何概率，解题的关键是了解那个区域的面积大落在那个区域的可能性就大． 【变式5-1】（2024·北京房山·二模）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．转动一次转盘后，指针指向 颜色的可能性大． 【答案】红 【分析】哪一种颜色多，指针指向那种颜色的可能性就大． 【详解】∵转盘分成6个大小相同的扇形，红色的有3块， ∴转动一次转盘后，指针指向红颜色的可能性大． 故答案为：红 【点睛】本题考查了可能性大小的知识，解题的关键是看清那种颜色的最多，难度不大． 【变式5-2】（23-24七年级·江苏常州·期末）如图，一张正方形纸片被分成了A、B、C三块区域，任意抛掷一粒米到纸片上，落在区域 （填“A”、“B”或“C”）的可能性最小． 【答案】B 【分析】根据图形的面积越大，米粒落在该区域的可能性越大解答即可. 【详解】由图可以看出，正方形纸片被分成的三块区域，A面积＞C面积＞B面积， 根据图形的面积越大，米粒落在该区域的可能性越大， 则任意抛掷一粒米落到区域B的可能性最小， 故答案为：B. 【点睛】本题考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性的计算方法. 【变式5-3】（23-24七年级·北京顺义·期末）如图所示，有两个质地均匀且可以转动的转盘，转盘一被分成6个全等的扇形区域，转盘二被分成8个全等的扇形区域．在转盘的适当地方涂上灰色，末涂色部分为白色．用力转动转盘，请你通过计算判断，当转盘停止后哪一个转盘指针指向灰色的可能性大． 【答案】转盘一指针指向灰色的可能性大 【分析】根据等可能事件发生的可能性大小，分别进行计算，然后进行判断即可． 【详解】解：由图可知：转盘一指针指向灰色的可能性为：； 转盘二指针指向灰色的可能性为：； ∵， ∴， 即：转盘停止后转盘一指针指向灰色的可能性大． 【点睛】本题考查比较可能性大小．熟练掌握等可能事件的可能性大小的计算方法，是解题的关键． 【题型6 根据可能性的大小进行排序】 【例6】（23-24七年级·安徽芜湖·期末）不确定事件发生的可能性未必是50％，可能大些，也可能小些，试按发生的可能性由大到小的顺序，把下列事件排列起来. 事件一：我的书包里共有12本书，我随便把手往里一伸，恰好摸到数学书(假设书都同样厚). 事件二：我花2元钱买了一张彩票，中了大奖，得500万元奖金. 事件三：我抛了两次硬币，每次都是正面向上. 事件四：这天早晨，我第一个来到教室. 【答案】事件可能性由大到小的顺序为：事件三，事件一，事件四，事件二 【详解】试题分析：得到相应的可能性，比较即可 试题解析：这几个事件发生的可能性都可以用数表示出来或估计其大小. (1)摸到数学书这一事件发生的可能性为. (2)事件二发生的可能性非常小，是发生的可能性最小的. (3)两次抛硬币，有“正正、正反、反正、反反”四种可能，每一种情况发生的可能性均为. (4)最早到教室的可能性等于班级人数的倒数. 答：事件可能性由大到小的顺序为：事件三，事件一，事件四，事件二. 【变式6-1】（23-24七年级·江苏南京·阶段练习）从一副扑克牌中任意抽取1张，则下列事件：①这张牌是“2”，②这张牌是“红桃”，③这张牌是“黑桃 3”，按其发生的可能性从小到大的顺序是 （填写序号） 【答案】③①② 【分析】分别求出一副牌中含“2”， “红桃”， “黑桃 3”的张数各是多少，再根据每张牌被抽到的机会相等，只要比较出哪个事件的可能结果最多，即可判断出这些事件发生的可能性大小，并按其发生的可能性从小到大排序即可． 【详解】解：一副牌中含“2”4张，“红桃”13张， “黑桃 3”1张， 将这些事件按其发生的可能性从小到大排序为：③①② 故答案为：③①②． 【点睛】本题考查随机事件发生的可能性大小，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式6-2】（23-24七年级·全国·单元测试）已知四个事件：①从装有个红球的袋子中任取一球，取出的球是白球；②抛一枚图钉钉尖着地；③从高处抛出的物体落到地面；④将一枚硬币抛两次，都是正面朝上、请按发生机会由小到大的顺序将事件的序号排列在横线上： ． 【答案】①④②③ 【分析】分别求出每个事件发生的可能性，进行比较即可． 【详解】解：①从装有5个红球的袋子中任取一球，取出的球是白球，是不可能事件，可能性是0； ②抛一枚图钉钉尖着地，是随机事件，但发生的机会很大； ③从高处抛出的物体落到地面，是必然事件，发生的可能性是1； ④将一枚硬币抛两次，都是正面朝上，发生的可能性是． 故发生机会由小到大的顺序是：①④②③． 【变式6-3】（23-24七年级·江苏徐州·期中）如图,转盘中8个扇形的面积都相等,任意转动转盘1次,当转盘停止转动时,估计下列事件发生的可能性的大小,并将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排成一列是 ．（填序号） （1）指针落在标有3的区域内；（2）指针落在标有9的区域内； （3）指针落在标有数字的区域内；（4）指针落在标有奇数的区域内. 【答案】（2）（1）（4）（3） 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，据此求出各事件的概率即可求得答案. 【详解】∵有1、2、3、4、5、6、7、8共8个数， ∴ (1)指针落在标有3的区域内的可能性为：； (2)指针落在标有9的区域内的可能性为：0； (3)指针落在标有数字的区域内的可能性为：=1； (4)指针落在标有奇数的区域内的可能性为：=， 所以按发生的可能性从小到大的顺序排成一列为：(2)(1)(4)(3)， 故答案为(2)(1)(4)(3). 【题型7 改变条件使事件发生的可能性相同】 【例7】（2024春·四川广元·七年级统考期末）在不透明的袋子中装有3个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球 (1)摸到哪种颜色球的可能性大？ (2)请你通过改变袋子中某一种颜色球的数量，设计一种方案；使“摸出红球”和“摸出黄球”的可能性大小相同． 【答案】(1)摸到黄球的可能性大 (2)放入两个红球 【详解】（1）∵摸到红球的概率为，摸到黄球的可能性为：， ∴摸到黄球的可能性大； （2）∵要使得“摸出红球” 和“摸出黄球”的可能性大小相同， ∴使得两种球的数量相同， ∴放入2个红球即可． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，要注意具体情况具体对待，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 【变式7-1】（23-24七年级·江苏苏州·期中）桌上倒扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃．从中随机抽取1张． （1）能够事先确定抽取的扑克牌的花色吗？ （2）你认为抽到哪种花色的可能性大？ （3）能否通过改变某种花色的扑克牌的数量，使“抽到黑桃”和“抽到红桃”的可能性大小相同？ 【答案】（1）不能；（2）抽到黑桃的可能性大；（3）增加一张红桃或减少一张黑桃，使黑桃与红桃张数相同，可使可能性大小相同． 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】(1)不能． (2)抽到黑桃的可能性大．   (3)增加一张红桃或减少一张黑桃，使黑桃与红桃张数相同，可使可能性大小相同． 【点睛】本题考查了随机事件相关概念，判断事件发生的可能性大小是解题的关键． 【变式7-2】（23-24七年级·江苏常州·期中）一只不透明的袋子中有个红球、个绿球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球． （1）会出现哪些可能的结果？ （2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？ （3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？ （4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？ 【答案】（1）从中任意摸出个球可能是红球，也可能是绿球或白球；（2）不能事先确定摸到的一定是红球；（3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小；（4）只要袋子中红球、绿球和白球的数量相等即可． 【分析】（1）根据事情发生的可能性，即可进行判断； （2）根据红球的多少判断，只能确定有可能出现； （3）根据白球的数量最多，摸出的可能性就最大，红球的数量最少，摸出的可能性就最小； （4）根据概率相等就是出现的可能性一样大，可让数量相等即可． 【详解】解：（1）从中任意摸出1个球可能是红球，也可能是绿球或白球； （2）不能事先确定摸到的一定是红球； （3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小； （4）只要袋子中红球、绿球和白球的数量相等即可． 【点睛】此题主要考查了事件发生的可能性，关键是根据事件发生的可能大小和概率判断即可，比较简单的中考常考题． 【变式7-3】（23-24七年级·江苏南京·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域． （1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域； ②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数； ③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10． （2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案． 【答案】（1）①②③；（2）答案见解析． 【分析】（1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【详解】解：（1）①转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针不一定指向红色区域，故本选项说法错误； ②转动10次，指针指向红色区域的次数不一定大于指向蓝色区域的次数，故本选项说法错误； ③转动60次，指针指向黄色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误； 故答案为：①②③． （2）将1个红色区域改成黄色，则红、黄、蓝三种颜色的区域各有2个，则指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【点睛】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 知识点3：用频率估计概率 在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上瞧似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某一个常数P，那么事件A发生的频率P（A）=P 。 【题型8 用频率估计概率】 【例8】（23-24七年级·江西吉安·期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A． 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B． 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C． 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【答案】C 【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意． 【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了概率的计算和用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 【变式8-1】（23-24七年级·陕西西安·期末）学完《概率初步》这一章后，老师让同学结合实例说一说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（　　） A．小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 B．小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 C．小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是 D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一 【答案】D 【分析】试验次数足够大时，频率才可以表示概率，A选项试验次数过少，所以错误；5%是每张均有%的可能中奖，而不是100张彩票一定会有5张中奖，偷换概念；概率题一定要考虑样本空间，然后确定样本，C中还有脱靶的可能，所以错误；抛掷一枚均匀硬币，结果只有两种正面朝上和正面朝下，且每次发生的可能是相等的，每做一次，正面朝上的概率都是二分之一． 【详解】小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，但是试验次数少，因此不能确定钉尖朝上的概率，所以A错误； 小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，所以B错误； 小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，还有脱靶的可能，所以C错误； 小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一，所以D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了频率和概率的区别，等可能时间概率的计算；在初中课程中认为当试验次数足够大时，频率可以表示概率；等可能事件中，n件事发生的概率都是相等的，因此每件事发生的概率是． 【变式8-2】（23-24七年级·北京石景山·期末）某林场要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，在移植过程中的统计结果如下表所示： 移植的幼树n/棵 500 1000 2000 4000 7000 10000 12000 15000 成活的幼树m/棵 423 868 1714 3456 6020 8580 10308 12915 成活的频率 0.846 0.868 0.857 0.864 0.860 0.858 0.859 0.861 在此条件下，估计该种幼树移植成活的概率为 （精确到）；若该林场欲使成活的幼树达到4.3万棵，则估计需要移植该种幼树 万棵. 【答案】 0.86 5 【分析】（1）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． （2）利用表格中数据估算这种幼树移植成活率的概率即可．然后用样本概率估计总体概率即可确定答案． 【详解】（1）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率 ∴这种幼树移植成活率的概率约为0.86． （2）由表格可知，随着树苗移植数量的增加，树苗移植成活率越来越稳定． 当移植总数为15000时，成活率为0.861，于是可以估计树苗移植成活率为0.86， 则该林业部门需要购买的树苗数量约为4.3÷0.86=5万棵． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 【变式8-3】（23-24七年级·四川成都·期末）如图是李老师制作的一个可以自由转动的转盘，如表是某同学收集的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 落在“蓝色”的次数 30 61 92 118 151 182 207 242 269 302 蓝色部分的圆心角最有可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了频率估计概率，先计算概率，再计算圆心角即可． 【详解】根据题意，得， 中位数约为， 故圆心角度数约为， 故选B． 知识点4：等可能时间的概率 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、 当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0. 【题型9 等可能事件的概率的计算】 【例9】（23-24七年级·北京石景山·期末）在“河南美食简介”竞答活动中，第一题组共设置“河南烩面”“胡辣汤”“洛阳浆面条”“开封双麻火烧”四种美食，参赛的甲队员从以上四种美食中随机选取一个进行简介，则恰好选中“胡辣汤”的概率是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是熟练掌握概率公式，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，如果A为随机事件，那么．直接运用概率公式计算即可． 【详解】解：甲队员从“河南烩面”“胡辣汤”“洛阳浆面条”“开封双麻火烧”四种美食中随机选取一个进行简介，则恰好选中“胡辣汤”的概率是． 故选：C． 【变式9-1】（23-24七年级·四川宜宾·期末）一个不透明的口袋中装有若干个除颜色不同外其它都相同的小球，已知口袋中只装有3个红球，且摸到红球的概率为，那么口袋中小球的总数为（    ） A．4 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查随机事件与概率以及概率的应用，运用概率公式即可计算. 【详解】解：口袋中小球的总数为：个， 故选C. 【变式9-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）某路口的人行造交通信号灯每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到红灯的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率，根据题意和概率公式即可得，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：∵每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮5秒， ∴当小明到达该路口时，遇到红灯的概率：， 故答案为：． 【变式9-3】（23-24七年级·四川南充·期末）如图，有4张除图案不同外其余完全相同的卡片，现将这些卡片有图案的一面朝下洗匀，随机抽取1张，抽到的卡片上的图案可以作为一个正方体平面展开图的概率为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了概率公式和正方体展开图，能围成正方体的有种，再根据概率公式进行计算,即可得出答案，解题的关键是掌握概率的计算公式． 【详解】如图可得到，除了第三个图外，剩下的个图都能围成正方体， 故随机抽出一张，上面的图案能够围成一个正方体的概率是， 故答案为：． 【题型10 几何概率】 【例10】（23-24七年级·山东威海·期末）如图，飞镖游戏板被等分成若干个相同的小正方形，某位同学向游戏板投掷飞镖，假设飞镖落在游戏板上每个点的概率相同，则落在涂色部分的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了几何概率的应用,属于简单题, 用涂色部分的面积除以图形总面积即可得到答案. 【详解】解：涂色部分的面积为， ∴飞镖落在涂色部分的概率. 故答案为： 【变式10-1】（24-25七年级·四川资阳·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上．若向正方形网格中投针，则针落在内部的概率是 ． 【答案】/0.375 【分析】本题主要考查了求概率， 先求出正方形的面积，再求出阴影部分的面积，然后根据面积比得出答案． 【详解】，， 所以针落在内部的概率是． 故答案为：． 【变式10-2】（24-25七年级·湖北武汉·期末）如图，同心圆的大小圆半径比为，随机向该同心圆及其内部区域投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，用r表示出大圆和小圆的面积，进而可得阴影部分的面积，再求出阴影部分面积与总面积之比即可得到飞镖击中阴影区域的概率，熟练掌握一般用阴影区域表示所求事件，然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率是解决此题的关键． 【详解】解：∵同心圆的大小圆半径比为， ∴设同心圆的大小圆半径分别为，， 大圆面积：， 小圆面积：， 阴影部分面积：， 飞镖击中阴影区域的概率：， 故答案为：． 【变式10-3】（23-24七年级·山东烟台·期末）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一 点P，则点P落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键．设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为， ∴总面积为， 阴影部分的面积为， ∴点落在阴影部分的概率为， 故选：A． 【题型11 游戏的公平性】 【例11】（24-25七年级·新疆吐鲁番·期末）如图所示，准备了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形．将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，若可以拼成一个圆形（取出的两张纸片都画有半圆形）则甲方赢；若可以拼成一个蘑菇形（取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形）则乙方赢．你认为这个游戏对双方是公平的吗？若不是，有利于谁？ ． 【答案】不公平，乙有利 【分析】分别计算二者获胜的概率，进行比较，即可得出结论． 【详解】解：根据游戏规则可知：从三张大小相同的纸片中随机地抽取两张纸片，共3种情况； 可以拼成一个圆形的有1种；可以拼成一个蘑茹形有2种； 故乙取胜的概率大于甲取胜的概率； 故这个游戏不公平，且对乙有利． 故答案为：不公平，乙有利． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【变式11-1】（24-25七年级·福建福州·期中）小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，最后取完铅笔的人获胜，你认为这个游戏规则 ．(填“公平”或“不公平”) 【答案】不公平 【分析】当第一个人第一次取2支时，还剩余3支，无论第二个人取1支还是取2支，第一个人在第二次取铅笔时都可取完，即第一个人一定能获胜，即可求解． 【详解】解：当第一个人第一次取2支时，还剩余3支，无论第二个人取1支还是取2支，第一个人在第二次取铅笔时都可取完， 故第一个人一定能获胜， 所以该游戏规则不公平． 故答案为：不公平． 【点睛】本题考查了游戏的公平性，根据题意推理是解题的关键． 【变式10-2】（24-25七年级·山东烟台·期中）小兰和小青两人做游戏，有一个质量分布均匀的六面体骰子，骰子的六面分别标有1，2，3，4，5，6，如果掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢；如果掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么游戏规则对 有利． 【答案】小兰 【分析】根据所出现的情况，分别计算两人能赢的概率，即可解答． 【详解】解：骰子的点数是偶数的有2，4，6，其概率为， 骰子的点数是3的倍数的有3，6，其概率为， 游戏规则对小兰有利， 故答案为：小兰． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【变式11-3】（24-25七年级·北京顺义·期末）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜． 若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可） 【答案】 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一） 【分析】由游戏规则分析判断即可作出结论． 【详解】解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜； 若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下： 乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜， 故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）． 【点睛】本题考查游戏公平性，理解游戏规则是解答的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$