专题03概率初步 专项训练（18大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

**基本信息** 以18类细分题型构建概率知识网络，通过"概念辨析-计算应用-实践拓展"三级训练体系培养数学眼光与数据意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|4类/8题|事件分类、可能性判断、频率计算|从随机现象认知到概率定义的生成过程| |核心计算|6类/18题|列举法求概率、公式应用、频率估计概率|体现"试验-观察-归纳-应用"的逻辑链条| |实践应用|8类/24题|游戏公平性、几何概率、生活场景应用|强化模型意识，构建概率与现实问题的桥梁|

专题03概率初步专项训练 题型梳理归纳 题型1.事件的分类判断 题型2.判断事件发生的可能性大小 题型3.求某事件的频率 题型4.概率的意义理解 题型5.频率与概率关系的正误判断 题型6.由频率估计概率 题型7.用频率估计概率的综合应用 题型8.列举随机实验的所有可能结果 题型9.判断实验所得结果是否是等可能的 题型10.列举法求概率 题型11.根据概率公式计算概率 题型12.根据概率作判断 题型13.已知概率求数量 题型14.游戏的公平性 题型15.几何概率 题型16.概率在转盘抽奖中的应用 题型17.概率在比赛中的应用 题型18.概率的其他应用 题型19分层精练15道题 核心题型精讲 题型1.事件的分类判断 1．下列说法正确的是（   ） A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件 B．太阳从东方升起是随机事件 C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 D．掷一次骰子，向上一面的点数是2是随机事件 【答案】D 【分析】必然事件指一定会发生的事件，不可能事件指一定不会发生的事件，随机事件指可能发生也可能不发生的事件，据此判断即可． 【详解】解：∵两个负数相乘，积一定是正数，因此该事件是必然事件，A错误； ∵太阳一定从东方升起，因此该事件是必然事件，B错误； ∵射击运动员射击一次，可能命中十环也可能不命中十环，因此该事件是随机事件，C错误； ∵掷一次骰子，向上一面的点数可能是2，也可能是其它数字，因此该事件是随机事件，D正确． 2．“成语”承载着丰富的历史和文化内涵．①水中捞月；②守株待兔；③百步穿杨，上述成语描述的场景为不可能事件的是________．（填序号） 【答案】① 【分析】根据不可能事件的定义，即在一定条件下，一定不会发生的事件，逐一判断即可． 【详解】解：①水中捞月，月亮在天空中，水中只有月亮的倒影，不可能捞到月亮，因此是不可能事件； ②守株待兔，存在兔子偶然撞到树的可能，只是发生概率较小，因此是随机事件； ③百步穿杨，形容射箭技术高超，存在射中目标的可能，因此是随机事件． 3．一个不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外其他都相同，将球摇匀，从袋子中随机取出1个球． (1)取出的球是红球是什么事件？取出的球是蓝球是什么事件？ (2)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？为什么？ 【答案】(1) 取出的球是红球是随机事件，取出的球是蓝球是不可能事件 (2) 摸到红球的概率最大，因为红球的数量最多 【分析】（1）由随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可得出结论； （2）根据哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大． 【详解】（1）解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球， ∴取出的球是红球是随机事件． ∵袋子中没有蓝色的球， ∴取出的球是蓝球是不可能事件． （2）解：∵袋子中红色的球最多， ∴摸到红球的概率最大． 题型2.判断事件发生的可能性大小 1．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．打开电视机，正在播放新闻 B．某种彩票中奖率为，买10000张该种彩票会中奖 C．掷一枚硬币，正面朝上 D．太阳从东方升起 【答案】D 【分析】先明确必然事件的概念，必然事件是一定条件下必然会发生的事件，据此逐一判断各选项即可得到答案； 【详解】解：∵必然事件是指在一定条件下一定发生的事件. A选项，打开电视机，可能播放其他节目，不是一定会播放新闻，属于随机事件，不符合要求； B选项，该彩票中奖率为，买10000张也有可能不中奖，属于随机事件，不符合要求； C选项，掷一枚硬币，可能反面朝上，不是一定正面朝上，属于随机事件，不符合要求； D选项，太阳从东方升起是确定的自然规律，是一定会发生的事件，属于必然事件，符合要求； 2．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色．固定指针，自由转动转盘，停止后指针所指区域的颜色为______色的可能性最大（填“红”“黄”或“蓝”）． 【答案】黄 【分析】根据转盘被分为面积相等的4个扇形，对三种颜色的扇形数量进行比较即可判断． 【详解】解：∵转盘被分为面积相等的4个扇形， ∴转盘停止后指针指向4个扇形区域的可能性相等， ∵其中红色的扇形有1个、黄色的扇形有2个、蓝色的扇形有1个，即黄色的扇形数量最多， ∴停止后指针所指区域的颜色为黄色的可能性最大． 3．把一副扑克牌中的13张从到的红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意抽取1张．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？并写出这些事件发生的可能性的大小． (1)抽到的牌上的数是偶数； (2)抽到的牌上的数不小于6； (3)抽到的牌是梅花； (4)抽到的牌是红桃． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【详解】（1）解：抽到的牌上的数是偶数的可能性为，是随机事件； （2）解：抽到的牌上的数不小于6的可能性为，是随机事件； （3）解：抽到的牌是梅花，是不可能事件，发生的可能性为0； （4）解：抽到的牌是红桃，是必然事件，发生的可能性为1. 题型3.求某事件的频率 1．某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 类别 航空航天 科学实验 电影评论 排球技巧 观看视频次数 18 10 14 18 完整观看视频次数 15 1 4 5 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 【答案】A 【分析】根据题意，先确定所有满足观看次数5次以上的类别，再根据完播率公式计算每个符合条件类别的完播率，然后比较大小后即可解答． 【详解】解：算法要求观看次数达到5次以上才会计算完播率并推荐，四个类别的观看次数分别为18，10，14，18，均大于5，全部符合计算条件． 分别计算各类别完播率如下： 航空航天：； 科学实验：； 电影评论：； 排球技巧：； ∵， ∴航空航天类完播率最高，即平台会重点推荐航空航天类视频． 2．今天的日期是：20260423，在这串数字中，0出现的频率是________． 【答案】 【详解】解：这串数字 中，共有个数字，其中数字出现了次，则出现的频率为． 3．靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称，韩叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 800 1000 2000 成活数 47 90 183 362 724 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.905 0.902 0.901 (1)上表中，________，________； (2)根据上表的数据，请你估计该种苹果树苗成活的概率是多少？（精确到0.1） 【答案】(1)，1802 (2) 【分析】1）根据成活率成活数移植棵数，可算出a，根据成活数移植棵数成活率，可算出b； （2）利用频率估计概率即可； 【详解】（1）解：∵成活率成活数移植棵数，成活数移植棵数成活率， ∴，， （2）解：∵随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近，显示出一定的稳定性， ∴可以估计该种苹果树苗成活的概率是0.9． 题型4.概率的意义理解 1．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（　  　） A．抽101次不可能没有抽到一等奖 B．抽100次奖必有一次抽到一等奖 C．抽一次也可能抽到一等奖 D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 【答案】C 【分析】概率是描述事件发生可能性大小的量，不代表事件一定发生或一定不发生，每次抽奖为独立事件，据此判断选项即可． 【详解】解：∵抽到一等奖的概率为0.01，说明每次抽奖都有0.01的可能性抽到一等奖，可能性小但仍可能发生，且每次抽奖结果相互独立； ∴A选项：抽101次也可能没有抽到一等奖，A错误； B选项：抽100次不一定必有一次抽到一等奖，B错误； C选项：抽一次也可能抽到一等奖，C正确； D选项：前99次没抽到，第100次抽到一等奖的概率仍为0.01，不是肯定抽到，D错误． 2．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，那么摸到黑球的概率是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了概率．根据概率的基本性质，所有可能事件的概率之和为1，因此摸到黑球的概率等于1减去摸到红球和白球的概率之和，即可作答． 【详解】解：∵摸到红球的概率是，摸到白球的概率是， 则摸到黑球的概率为， 故答案为：． 3．某射击运动员在相同条件下进行射击训练，结果如下： 射击次数 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中10环的频数 9 19 36 44 91 179 454 905 击中10环的频率 0.9 0.95 0.9 0.88 0.91 0.895 0.908 0.905 (1)该射击运动员击中10环的概率的估计值是___________（精确到0.1）； (2)若此射击运动员在相同条件下再次进行射击训练，共射击了10次，一定有9次击中10环吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不一定，理由见解析 【分析】（1）利用频率估计概率即可； （2）根据概率的意义解答即可． 【详解】（1）解：由表可知，随着射击次数的增加，击中10环的频率约为， 则该射击运动员击中10环的概率的估计值是． （2）解：不一定，理由是：此射击运动员在相同条件下再次进行射击训练，击中的环数是随机事件， 所以共射击了10次，不一定有9次击中10环． 题型5.频率与概率关系的正误判断 1．某校名师生在操场上进行数学实验，验证“硬币正面朝上的概率是”．部分实验数据如下： 四年级1班2组 五年级 六年级3班 全校 正面数量 2 反面数量 8 正面朝上的频率（保留小数点后4位） 下列说法正确的是（   ） A．连续抛硬币次，不可能次正面朝上 B．连续抛硬币三次，正面朝上的频率一定是 C．在大量重复试验下，正面向上的频率会逐渐稳定在 D．甲班比乙班抛硬币次数多，甲班抛出正面朝上的频率一定更接近 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系，根据大量重复试验中频率稳定在概率附近的性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵抛硬币每次正面朝上都是可能事件，连续抛次次正面朝上是可能发生的，∴A错误； ∵频率是试验得到的结果，不同试验的频率不一定相同，是连续抛三次都为正面朝上的概率，不是固定的频率，∴B错误； ∵根据频率估计概率的性质，大量重复试验下，正面朝上的频率会逐渐稳定在其概率，即附近，∴C正确； ∵试验次数更多仅代表频率更可能接近，并非一定更接近，∴D错误． 2．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是__________（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）． 【答案】② 【分析】根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6． 【详解】解：①若摸次，则频率在上下波动，故①错误； ②根据摸到白球的频率稳定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率为0.6，故②正确 故答案为：② 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 3．某人工智能公司研发了一款自动驾驶汽车的障碍物识别系统．为了测试系统的识别准确率，测试人员从真实道路场景中随机抽取图片，让系统识别其中是否存在障碍物；并记录正确识别的次数．每次识别后放回，重复上述过程．下表是试验中的一组统计数据： 测试图片数量 100 200 500 1000 2000 3000 正确识别次数 87 175 438 1780 2670 正确识别频率 0.87 0.875 0.876 0.88 0.89 (1) ， ； (2)估计该系统正确识别障碍物的概率约为 ；（结果精确到0.1） (3)下列说法错误的是 ．（填序号） ①识别障碍物4次，都识别成功了，所以第5次识别一定也成功； ②识别障碍物10次，识别成功的次数不一定是9次； ③识别障碍物30次，识别成功的次数一定是27次． 【答案】(1) ， (2) (3)①③ 【分析】（1）根据频率的计算公式：频率=正确识别次数÷测试总次数，计算和的值； （2）根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，频率稳定在概率附近，据此估计概率并按要求取近似值； （3）根据概率的意义，概率是事件发生可能性大小的量度，不是必然结果，逐一判断各说法的正误． 【详解】（1）解：由题意得，频率 ，， 因此， . （2）解：观察表格可知，随着测试次数增大，正确识别的频率逐渐稳定在附近，因此估计该系统正确识别障碍物的概率为，精确到得； （3）解：① 概率是对事件发生可能性的估计，每次识别的结果相互独立，前4次成功不能保证第5次一定成功，所以①说法错误； ② 概率反映的是平均可能性，识别10次时，成功次数是随机的，不一定是9次，所以②说法正确； ③ 概率反映的是可能性大小，不是必然结果，识别30次时，成功次数不一定是27次，所以③说法错误； 因此说法错误的是①③． 题型6.由频率估计概率 1．为了解枣庄市初中生体质健康水平，在2025年秋季《国家学生体质健康标准》全市测试数据中进行随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，若枣庄市有10000名初中生参加体质测评，下列估计的体质健康合格人数中最合理的是（     ） 累计抽测的学生数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 0.87 0.92 0.93 0.89 0.90 0.92 0.92 0.93 0.93 0.93 A．9300 B．9200 C．9003 D．9000 【答案】A 【分析】观察大样本下频率的稳定值，用该稳定值估计总体的合格频率，再计算总体合格人数． 【详解】解：∵随着累计抽测学生数逐渐增大，体质健康合格学生数与的比值逐渐稳定在， ∴根据用频率估计概率的方法，可得全市初中生体质健康合格的频率约为， ∵枣庄市共有名初中生， ∴估计体质健康合格的人数为， 因此最合理的是选项A． 2．投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为________（结果精确到0.1）． 【答案】 【分析】本题主要考查了模拟试验，由频率估计概率，近似数等知识点，掌握用频率估计概率是解题的关键．结合折线统计图，随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在附近，据此即可估计小新投壶一次投中的概率． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在附近，投中的概率约为，结果保留到小数点后一位为， 故答案为：． 3．现对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的数量如下表： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格数 42 88 141 176 445 720 900 合格率 0.84 a 0.94 0.88 b 0.90 0.90 (1)填空：________，________；（结果精确到0.01） (2)估计任抽一件衬衣是合格品的概率．（结果精确到0.1） 【答案】(1) 0.88，0.89 (2) 估计任抽一件衬衣是合格品的概率为0.9 【分析】 （1）根据合格率等于合格数除以抽取件数计算a和b； （2）根据大量重复试验中频率稳定在某一固定值附近，用稳定后的频率估计概率． 【详解】（1）解：由题意得，合格率等于合格数除以抽取件数， 所以 ； （2）解：观察表格可得，当抽取件数较大时，合格率在附近波动并趋于稳定， 因此估计任抽一件衬衣是合格品的概率为． 题型7.用频率估计概率的综合应用 1．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.8附近，则x的值为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率，摸出黑球的概率为0.8，利用概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵摸出黑球的频率稳定在0.8附近， ∴摸出黑球的概率为0.8， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故选：B． 2．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 【答案】35 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率即可． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为． 3．“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”．下表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 2949 3932 合格品频率 (1)求出表中__________，__________； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是__________（精确到）； (3)如果生产50000顶头盔，估计有多少顶头盔是合格品？ 【答案】(1)1964； (2) (3)49000 【分析】（1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在左右摆动，再由频率估计概率可判断任意抽取一只头盔是合格品的概率为； （3）用样本数据估计总体即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是； （3）解：（顶）． 答：估计有49000顶头盔是合格品． 题型8.列举随机实验的所有可能结果 1．某校航天社团为筹备航天主题演讲，准备从“嫦娥六号钻取器”，“嫦娥七号飞跃器”，“鹊桥中继星”这三个航天科普模型中随机选取两个进行演讲，则恰好选中“嫦娥六号钻取器”和“鹊桥中继星”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举所有等可能的选取结果，找出满足题意的结果，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设“嫦娥六号钻取器”为A，“嫦娥七号飞跃器”为B，“鹊桥中继星”为C， 列举从三个模型中随机选取两个的所有结果为： 、、， 共种，它们出现的可能性相同， 其中恰好选中“嫦娥六号钻取器”和“鹊桥中继星”的结果有种，即， 根据概率公式得，所求概率． 2．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如表： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 【答案】 B 181 【分析】根据表格得到每增加一台设备的利润增量，分类讨论所有分配情况，计算总利润后比较即可得到最大值． (1) 5台设备分给四家经销商，每家至少1台，因此仅有一家分得2台，其余三家各分得1台，只需比较各经销商分得第二台时的利润增量即可得到结果； (2) 将7台设备按分配的经销商数量分类讨论，分别计算不同分配情况下的最大总利润，比较后得到最大值． 【详解】解： 5台设备分给四家经销商，每家至少1台，因此一家分得2台，其余三家各分得1台． 计算各经销商第二台设备的利润增量： 的增量：（万元）， 的增量：（万元）， 的增量：（万元）， 的增量：（万元）， ， 应向经销商分配2台设备． 解：按分配经销商的数量分类讨论： ① 分配给1家经销商：最大利润为经销商7台的利润，即（万元）； ② 分配给2家经销商：最大总利润为1台加6台，即（万元）； ③ 分配给3家经销商：最大总利润为1台，2台，4台，即（万元）； ④ 分配给4家经销商：四家各分1台，剩余3台选择增量最大的3台，总利润为（万元）； 比较所有情况的总利润：， 因此总利润最大值为万元． 3．某密码锁的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)若知道密码的个位数字是8，则有多少种可能密码？若两位数字都不知道，则共有多少种可能密码？ (2)在两位数字都不知道的情况下，小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ 【答案】(1)9种，90种 (2) 【分析】（1）根据每个数位上的数字的可能取值计算出所有可能出现的结果； （2）正确的密码只有1个，再除以所有可能出现的结果数即可. 【详解】（1）解：∵密码的个位数字是8， ∴此时密码的十位数字可以是0，1，2，3，4，5，6，7，9中的任意一个，故有9种可能的密码； 这密码锁由两个不同数字组成，每个数位上的数字的可能性分别是10种、9种， 密码的可能性有：（种）； （2） 解：在两位数字都不知道的情况下，小明随机输入一次，解锁成功的概率是. 题型9.判断实验所得结果是否是等可能的 1．在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】替代物需要满足和原抛硬币试验一致，即能产生两种概率相等的结果，据此判断各选项即可． 【详解】原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，替代物需满足两种结果发生概率相等． 选项A，均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3种，概率均为，可分别对应硬币正反，能用作替代物； 选项B，两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项C，两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项D，抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为替代物． 2．下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【答案】A 【详解】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确； B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误； C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误； D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查等可能事件的判断，掌握等可能事件的定义是解题的关键． 3．一个不透明的袋中有个球，分别标有，，，，这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球． (1)会出现哪些可能的结果？ (2)每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？ 【答案】(1)摸到号球或号球或号球或号球或号球 (2)可能性相同，它们的概率分别是 【分析】本题主要考查了列举随机实验的所有可能结果，判断实验所得结果是否是等可能的，判断事件的概率等知识点，深刻理解随机事件的概念是解题的关键． （1）列举出所有可能的结果即可； （2）判断每个结果出现的可能性是否相同，并估计它们的概率分别是多少． 【详解】（1）解：搅匀后任意摸出一个球，可能的结果有种：摸到号球或号球或号球或号球或号球； 答：会出现的可能结果有：摸到号球或号球或号球或号球或号球； （2）解：∵这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球， ∴每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是， 答：每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是． 题型10.列举法求概率 1．中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，其中恰好有一本是《周髀算经》的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先列举出从4部名著中选2部的所有等可能结果，再找出恰好有一本是《周髀算经》的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：将《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》分别记为A、B、C、D， 从4部中任选2部，所有等可能的结果为： （A，B）、（A，C）、（A，D）、（B，C）、（B，D）、（C，D） 共有6种结果，其中恰好有一本是《周髀算经》的结果有3种， 因此，恰好有一本是《周髀算经》的概率为． 2．中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡．小明和小亮是中国国画爱好者，小明和小亮从四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，求小明和小亮恰好都选择“竹”的概率为________． 【答案】 【分析】先计算出小明和小亮选择国画的所有等可能结果数，再确定两人都选择“竹”的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：分别用A，B，C，D表示梅、兰、竹、菊，则小明有种等可能的选择，小亮也有种等可能的选择， 因此所有等可能的结果为：，，，，，，，，，，，，，，，， 总数为种，其中小明和小亮恰好都选择“竹”的结果只有种，即， ∴根据概率公式可得，所求概率． 3．如图，在关中平原某座小城的丁字路口，每逢放学时段，接送孩子的车辆与通勤车流交织．按照交通规则，经过这个丁字路口的汽车，只有左转和右转两种行驶方向．经验丰富的老交警统计发现，在无特殊天气、交通管制的情况下，每一辆汽车选择左转或右转的概率完全相等，且彼此的行驶选择互不影响．为了测算该路口的交通调度效率，交通部门统计了某一时段甲、乙、丙三辆连续经过该路口的汽车行驶情况． (1)求甲汽车经过这个丁字路口向左转的概率________； (2)求甲，乙，丙三辆汽车中至少有两辆汽车向左转的概率． 【答案】(1) (2)甲，乙，丙三辆汽车中至少有两辆汽车向左转的概率为． 【分析】（1）根据题意，结合概率公式即可求解； （2）向左转记为“左”，向右转记为“右”，列举所有可能，可得至少有两辆汽车向左转的情况，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵甲汽车经过这个丁字路口只有左转和右转两种行驶方向，且选择左转或右转的概率完全相等， ∴甲汽车经过这个丁字路口向左转的概率为． （2）解：向左转记为“左”，向右转记为“右”， 列举甲，乙，丙三辆汽车行驶方向的所有可能情况：（左，左，左）、（左，左，右）、（左，右，左）、（左，右，右）、（右，左，左）、（右，左，右）、（右，右，左）、（右，右，右），共种等可能结果，其中，至少有两辆汽车向左转的情况有：（左，左，左）、（左，左，右）、（左，右，左）、（右，左，左），共种，， ∴甲，乙，丙三辆汽车中至少有两辆汽车向左转的概率为． 题型11.根据概率公式计算概率 1．一名快递员准备将一件包裹随机投放到“01”“02”“03”“04”四个空柜中的某个空柜，则投放到“01”空柜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率公式，用所求事件包含的结果数除以所有等可能的结果总数即可得到结果. 【详解】解：∵ 共有4个空柜，随机投放共有4种等可能的结果，投放到“01”空柜只有1种符合条件的结果， ∴ 投放到“01”空柜的概率为 . 2．现有五张质地、大小完全相同的卡片，分别写有“金鳌山”、“华生园”、“重庆工业文化博物馆”、“新山村”、“义渡古镇”五个地名．从中随机抽取一张，则抽到的卡片上含有“山”字的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查一步概率的计算，先确定所有等可能的结果总数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式即可求解． 【详解】解：根据题意，从五张卡片中随机抽取一张，所有等可能的结果共有种，其中卡片上含有“山”字的结果为“金鳌山”“新山村”，共种， 根据概率公式可得，抽到的卡片上含有“山”字的概率为， 故答案为． 3．在一个不透明的袋中有8个除颜色外其他都相同的小球，其中4个红球，3个黄球，1个白球． (1)小红从中任意摸出一个小球，摸到白球的概率是多少？ (2)小红和小丽一起做游戏，规则如下：小红从中任意摸出一个小球，摸到红球则小红胜，摸到黄球则小丽胜．该游戏对双方公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】（1）利用概率公式求解； （2）求出各自的概率，然后进行比较． 【详解】（1）解：总共有8种等可能的结果，摸到白球的结果有1种． （摸到白球）； （2）解：该游戏对双方不公平．理由如下： 总共有8种等可能的结果，摸到红球可能出现的结果有4种，摸到黄球可能的结果有3种， （小红胜）（摸到红球）， （小丽胜）（摸到黄球）． ， 该游戏对双方不公平． 题型12.根据概率作判断 1．某果农种植的砂糖桔优质果和普通果外观无明显区别．为估计果场中优质果的概率，果农随机抽取部分砂糖桔检测，连续抽取300次，其中抽到优质果的次数为240次．下列说法正确的是（   ） A．抽取次数越少，优质果的频率越接近概率 B．此次抽取优质果的频率为 C．从这个果场的砂糖桔中抽中优质果的概率一定是 D．若再抽取100次，抽到优质果的次数一定是80次 【答案】B 【分析】本题主要考查频率与概率的关系，掌握频率的计算方法、频率与概率的区别是解题的关键． 频率是试验中事件发生次数与总试验次数的比值，概率是事件发生的理论可能性，频率随试验次数增多趋近于概率，但二者不能直接等同，且试验结果具有随机性，据此逐项判断即可． 【详解】解：A． 抽取次数越多，优质果的频率越接近概率，故A选项错误，不符合题意； B．此次抽取优质果的频率为，故B选项正确，符合题意； C．频率是概率的估计值，不能确定概率一定为，故C选项错误，不符合题意； D．再抽取100次是随机试验，抽到优质果的次数具有随机性，不一定为80次，故D选项错误，不符合题意． 故选B． 2．一只不透明的袋子中装有1个白球、3个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球．若要使摸到红球的概率最大，则的最小值为_____． 【答案】4 【详解】解：袋子中白球有个，黄球有个，红球有个，为正整数， 要使摸到红球的概率最大，则红球的数量为袋中最多， ∴， ∵是正整数， ∴的最小值为． 3．如图是两个可以自由转动的转盘，图1被平均分成9份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（转盘指针停在分界线上，则重新转动）；图2被涂上红色和绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（转盘指针停在分界线上，则重新转动）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． (1)“小明转出的数字是5”是 事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)求小明转出的数字小于7的概率； (3)“小明转出的数字是奇数的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同”，这个说法对吗？为什么？ 【答案】(1)随机； (2)； (3)不对，见解析． 【分析】（1）根据随机事件的定义判断即可； （2）直接根据概率公式计算即可； （3）求出两者概率，比较即可． 【详解】（1）解：“小明转出的数字是5”是随机事件； （2）解：小于数字的数有个， ∴小明转出的数字小于7的概率； （3）解：不对，理由如下： 小明转出的数字是奇数的概率是， 小亮转出的颜色是红色的概率是， ∵， ∴这个说法不对． 题型13.已知概率求数量 1．一只不透明的袋子中，装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查古典概型的概率计算，利用概率公式“摸到某颜色球的概率=该颜色球的个数÷球的总个数”求解即可． 【详解】解：设红球的个数为，则袋子中球的总个数为． ∵ 摸到白球的概率为， ∴ ， 解得 ． 红球的个数为4． 2．在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，这些球除颜色外都完全相同，小明通过大量重复摸球实验后，发现摸到红色、蓝色球的频率分别稳定在和，则箱子里黄色球的个数很可能是_____个． 【答案】8 【分析】根据利用频率估计概率的知识，先求出摸到黄色球的概率，再结合总球数，利用概率公式计算黄色球的个数． 【详解】解：∵摸到红色球的频率为，摸到蓝色球的频率为， ∴摸到黄色球的频率为：， ∴摸到黄色球的概率为：， ∵球的总个数为20， ∴黄色球的个数为：． 3．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、红两种球共40个，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据： 摸球的次数 100 150 200 400 700 1500 摸到黑球的次数 59 92 114 232 424 902 摸到黑球的频率 0.59 0.57 0.606 0.601 (1)求出表格中的、，则______，______（精确到）． (2)请你估计，当很大时，摸到黑球的频率将会接近______（精确到）． (3)假如你去摸一次，你摸到黑球的概率是______，摸到红球的概率是______． (4)试估算口袋中红色的球有多少个？ 【答案】(1) ， (2) (3) ， (4) 估算口袋中红色的球有个 【分析】（1）根据频率的计算公式：频率频数试验次数计算、的值； （2）观察大量试验后频率的稳定值即可估计结果； （3）根据大量重复试验中频率稳定值近似等于概率，结合两种球的概率和为计算； （4）用总球数乘以红球的估计概率得到红球的估计数量． 【详解】（1）解：，； （2）解：观察表格数据，当逐渐增大时，摸到黑球的频率稳定在附近，因此当很大时，摸到黑球的频率将会接近； （3）解：大量重复试验中，频率的稳定值可近似为事件的概率，因此摸到黑球的概率是； 口袋中只有黑、红两种球，因此摸到红球的概率为； （4）解：总球数为个，摸到红球的概率约为， 红球的数量为：（个）． 答：估算口袋中红色的球有个． 题型14.游戏的公平性 1．甲和乙按如下规则玩游戏：掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6的点数，若朝上的点数是奇数，则甲获胜；若朝上的点数是偶数，则乙获胜．则这个游戏规则（    ） A．对甲乙公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法确定 【答案】A 【分析】判断游戏规则是否公平，只需计算甲乙两人获胜的概率，比较概率是否相等即可，概率相等则规则公平，否则不公平． 【详解】解：∵掷一枚均匀骰子，朝上的点数共有6种等可能的结果，其中点数为奇数的结果有1，3，5，共3种，点数为偶数的结果有2，4，6，共3种， ∴甲获胜的概率，乙获胜的概率， ∵， ∴这个游戏规则对甲乙公平． 2．如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】本题考查的是几何概率，根据图中阴影部分的面积与空白部分的面积相等，可知飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等，所以这个游戏对甲、乙来说公平． 【详解】解：由图可知，靶面上阴影部分的面积与空白部分的面积相等， 飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等， 这个游戏对甲、乙来说公平． 3．年月日是第32个世界读书日，为了营造多读书、读好书的氛围，某校举办了校园读书节，要在小明和小华中选取一人作为读书节主持人．将正面印有，，，，，，，的八张卡片（卡片除正面数字不同外，其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张．若抽到卡片上的数字是的倍数，则小明去；若抽到卡片上的数字大于，则小华去． (1)任意抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是的倍数的概率是 ； (2)通过计算说明这个游戏规则对双方是否公平？若不公平，请你改变一张卡片上的数字，使该规则对双方公平． 【答案】(1) (2)不公平，将卡片上的数字改为，该游戏规则对双方公平（答案不唯一） 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别根据概率公式求解两人去的概率，然后比较两个概率的大小即可判断游戏的公平性，修改卡片上的数字使得两人去的概率相等即可． 【详解】（1）解：任意抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是的倍数有，，共种结果， 任意抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是的倍数的概率是； （2）解：不公平， 理由：任意抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是的倍数有，，，，共种结果；抽到卡片上的数字大于的有，，，共种结果； 小明去的概率为，小华去的概率为， ， 这个游戏规则对双方不公平； 将卡片上的数字改为，则任意抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是的倍数有，，，共种结果；抽到卡片上的数字大于的有，，，共种结果； 小明去的概率和小华去的概率均为，故该游戏规则对双方公平（答案不唯一）． 题型15.几何概率 1．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用区域扇形的圆心角度数除以周角度数即可得． 【详解】解：区域的圆心角为， 指针落在区域的概率是． 2．二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.7左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为___________． 【答案】 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为0.7，即黑色阴影的面积占整个面积的0.7，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，估计此二维码中黑色阴影的面积为． 3．已知直线，直线与交于点，与交于点．已知，． (1)计算多项式与的乘积，并将结果化为最简形式； (2)利用平行线的性质，求的值； (3)现有一个圆形转盘，被分成三个扇形区域，其中两个圆心角的度数分别等于和的度数．随机转动转盘，指针停止后，求指针落在较小扇形区域内的概率． 【答案】(1) (2)33 (3) 【分析】（1）根据多项式乘多项式运算法则计算即可； （2）根据平行线的性质得出，再列出方程，解方程即可； （3）根据（2）先求出三个扇形的圆心角，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得； （3）解：根据（2）可得：， ， 则， ∴三个扇形的圆心角分别为，，， ∵， ∴随机转动转盘，指针停止后，求指针落在较小扇形区域内的概率为． 题型16.概率在转盘抽奖中的应用 1．如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用能获得购物券的区域数除以区域总数即可得到答案． 【详解】解：， 故她获得购物券的概率是． 2．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 【答案】 【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°， ∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 3．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘中每一个小扇形面积均相等），并规定：顾客消费100元以上（不包括100元），就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折、五折区域顾客就可以获得此项待遇． (1)甲顾客消费80元，是否可获得转动转盘的机会？ (2)乙顾客消费150元，获得打折待遇的概率是多少？ (3)在（2）的条件下，乙顾客获得九折，五折待遇的概率分别是多少？ 【答案】(1)不能 (2) (3)， 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据概率公式求解即可； （3）根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，“顾客消费100元以上(不包括100元)，就能获得一次转动转盘的机会”， 甲顾客消费80元，不满足获得转动转盘的条件． （2）解：乙顾客消费150元，能获得一次转动转盘的机会． 由于转盘被均分成16份，每份被转到的机会均等， 其中打折的占5份，故获得打折待遇的概率为； （3）解：九折占2份，故获得九折待遇的概率为； 五折占1份，故获得五折待遇的概率为． 题型17.概率在比赛中的应用 1．某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出“破浪”队所有等可能的出场顺序，找出满足“破浪”队获胜的情况，再根据概率公式计算概率，即可得到答案． 【详解】解：∵“追风”队出场顺序固定为快，中，慢，设“破浪”队的三种龙舟为快，中，慢，对“破浪”队的出场顺序进行列举，所有等可能的结果共6种，分别为：快中慢，快慢中，中快慢，中慢快，慢快中，慢中快． 根据比赛规则，“破浪”队要获得三局两胜，仅有一种出场顺序满足获胜条件，即：“破浪”队慢对“追风”队快（输一局），快对“追风”队中（赢一局），中对“追风”队慢（赢一局）． ∴“破浪”队获胜的概率为 ． 2．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 3．现有一个不透明的盒子里放置6张材质完全相同的卡片，卡片上分别标有数字1 、2、3、4、5、6． (1)小深设计了一款游戏，规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．计算，若结果大于2，则甲获胜；若结果小于或等于2，则乙获胜．求甲获胜的概率． (2)你认为小深设计的这个游戏是否公平？请阐述理由． (3)目前该游戏仅支持两人同时玩，请帮小深将其改成可供三个人同时玩的公平游戏． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析； (3)见解析 【分析】（1）根据求出的6个取值对应的值，再根据甲获胜的情况求出概率即可； （2）由甲获胜的概率小于乙获胜的概率分析即可； （3）三个人同时玩的公平游戏，即三个人获胜的概率相等，据此设计游戏即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 当时，， 其中，即6种结果中，只有1种结果甲获胜， 甲获胜的概率为． （2）解：不公平， 理由：由（1）可知，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率明显小于乙获胜的概率，所以游戏不公平； （3） 解：规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．若结果为1或2，则甲获胜；若结果为3或4，则乙获胜；若结果为5或6，则丙获胜． 题型18.概率的其他应用 1．的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 【答案】A 【分析】本题考查了概率的应用，固定一个区域，分与其相邻的区域颜色相同或不同找出各染色方案的种数是解题的关键． 给各区域标上字母，先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑，求出各情况下染色方案的种数，再将其相加，即可求出结论． 【详解】解：给各区域标上字母，如图所示． 先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑． 当，，颜色相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，，颜色各不相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）． ∴共有（种）． 故选：A ． 2．有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 【答案】甲 【分析】分别计算甲五次内恰好抽中一次的概率与乙五次内恰好抽中一次的概率，比较两者大小即可得到结果． 【详解】解∶甲每次抽中概率为，每次抽不中概率为，根据独立重复试验概率公式得， 甲五次内恰好抽中一次的概率为； 乙五次抽中概率依次为，恰好抽中一次的概率为仅一次抽中其余四次不中的概率和， 乙五次内恰好抽中一次的概率为 ， ∴， 抽五次后抽中一次概率更大的是甲． 3．某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)共有多少种可能密码？ (2)小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ (3)若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不是．理由见解析 【分析】本题主要考查了概率的计算，正确理解题意求出概率是解题的关键． (1) 根据每个数位上的数字的可能取值计算出所有可能出现的结果； (2)用输入一次除以所有可能出现的结果数即可； (3)用概率解释． 【详解】（1）解：这密码锁由两个不同数字组成，每个数位上的数字的可能性分别是10种、9种， 密码的可能性有：（种）； （2）； （3）不是． 理由：每次尝试解锁是独立的随机事件，且成功概率较小，只有，随机尝试100次仍未成功在概率上是可能的，他可能多次尝试了相同的错误密码，未覆盖到正确的密码． 分层精练 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．“篮球队员投篮时未进球”是必然事件 B．“某班有22名男生和20名女生，从中选择一名同学参加座谈会，选到女生”是随机事件 C．“在装满红色小球的箱子里摸出蓝色小球”是随机事件 D．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”是不可能事件 【答案】B 【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义逐一分析即可． 【详解】解：对选项A：“篮球队员投篮时未进球”可能发生也可能不发生，属于随机事件，∴A错误； 对选项B：班级中既有男生也有女生，任选一名同学，可能选到男生也可能选到女生，因此“选到女生”是随机事件，∴B正确； 对选项C：装满红色小球的箱子里不可能摸出蓝色小球，属于不可能事件，∴C错误； 对选项D：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上可能发生也可能不发生，属于随机事件，∴D错误． 2．以下说法正确的是（    ） A．在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值 B．在做抛瓶盖的试验时，每名同学尽量用相同规格的瓶盖进行试验，然后再汇总全班同学的数据进行估计概率 C．在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的 D．在做抛瓶盖的试验时，如果上一次试验盖口向上，那么进行下一次试验时盖口向上的可能性会减小 【答案】B 【分析】根据频率与概率的关系，逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：∵用频率估计概率得到的是概率的近似值，即使试验次数足够多，也无法得到概率的精确值，∴A错误． ∵用相同规格瓶盖可以保证试验条件一致，汇总全班数据增大了试验次数，能提高估计的准确性，符合频率估计概率的试验要求，∴B正确． ∵随机事件发生的概率是固定的确定值，频率是每次试验得到的不确定数值，频率的不确定性不影响概率的确定性，∴C错误． ∵每次抛瓶盖试验都是独立事件，上一次试验的结果不会影响下一次结果发生的可能性大小，∴D错误． 3．小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从，，这个数中随机抽到数字的频率 B．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率 【答案】D 【分析】根据大量重复实验下的频率即为概率，可依次对各选项进行判断． 【详解】解：选项A：从，，这个数中随机抽到数字的频率约为，不符合题意； 选项B：一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率约为，不符合题意； 选项C：抛一枚硬币，出现正面朝上的频率约为，不符合题意； 选项D：掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率约为，符合题意． 4．班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】本题考查列举法，通过列举法，进行求解即可． 【详解】解：由题意，他的选法有：文学类、历史类；文学类、哲学类；文学类，自然类；历史类、哲学类；历史类、自然类；哲学类、自然类，共6种； 故选：C． 5．《数学之美》是中国邮政为向数学学科致敬，于2025年3月14日发行的特种邮票，一套4枚，分别呈现了“圆周率”、“勾股定理”、“欧拉公式”和“莫比乌斯带”，这些邮票除图案外，质地与规格完全相同．若将此套邮票背面朝上，随机抽取两张，则抽到的邮票恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法求概率即可. 【详解】解：设4枚邮票分别为（圆周率）、（勾股定理）、（欧拉公式）、（莫比乌斯带）， 从4枚邮票中随机抽取2枚，所有可能出现的结果有：，，，，，，共种等可能的结果，其中恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的结果只有这种， 抽到的邮票恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的概率. 二、填空题 6．在最近天内，某市空气质量为优的天数为天，则空气质量为优的频率是____． 【答案】 【分析】频率的计算公式为． 【详解】解：由题意可得，空气质量为优的频率是． 7．家里只剩一块儿巧克力了，哥哥和弟弟都想得到它，妈妈给他们一个骰子，让他们设计一个游戏，获胜的就得到巧克力．哥哥说“掷出2时哥哥胜，掷出1时弟弟胜，若掷出其它数字就再掷一次，直到掷出1或2”，弟弟说这不公平，2比1大．你认为这个游戏公平吗？填空：________．（填“公平或不公平”） 【答案】公平 【分析】计算双方获胜的概率，比较概率是否相等，若概率相等则游戏公平，否则不公平． 【详解】解：任意掷一次骰子，共有6种等可能的结果，掷出1和掷出2的概率都是， 哥哥与弟弟获胜的概率是完全相等的，都为，因此这个游戏公平． 8．近年来，二维码已广泛应用于社会生活的各个领域．某班在“轻松一刻钟”开展了“码上解压”活动，参与者只需扫描二维码，即可获取一条解压祝福语．如图是小明设计的一个二维码，其解码后的内容为：“祝你蒙的都对”．小明将二维码打印在边长为3厘米的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_______平方厘米． 【答案】 【分析】根据点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，得到点落在黑色阴影的概率为0.6，进行求解即可. 【详解】解：由题意点落在黑色阴影的概率为0.6， ∴此二维码中黑色阴影的面积为（平方厘米）. 9．从位男生和位女生中任选人参加志愿者活动，则所选人中恰好为位男生和位女生的概率是__________． 【答案】 【分析】本题用列举法列出所有等可能的选法，再找出符合条件的选法数量，根据概率公式计算即可． 【详解】解：记位男生为男、男，位女生为女，从中任选人， ∴所有等可能的结果为：①男、男，②男、女，③男、女，共种情况， 其中恰好为位男生和位女生的结果有种情况， ∴所选人中恰好为位男生和位女生的概率． 10．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得“一袋苹果”的奖品；指针落在“一盒樱桃”的区域就可以获得“一盒樱桃”的奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在“一袋苹果”区域的次数m 落在“一袋苹果”区域的频率 假如你去转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是______（保留一位小数）． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率．当试验次数很大时，频率的稳定值可以作为概率的估计值． 【详解】解：当很大时，频率将会接近0.7， ∴获得“一袋苹果”的概率大约是0.7， 故答案为：0.7． 三、解答题 11．为弘扬中华传统文化，崇明区某学校为配合“人人会瀛州古调”教学活动，开设了民族器乐选修课程．学生参加选修课的情况见如下统计图（图1、图2）．请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（请在空格处填入相应答案） (1)共有 名学生参加了选修课程学习； (2)扇形统计图（图2）中，“琵琶”部分所对应的圆心角为 度； (3)如果从选择“古筝”选项的学生中，随机抽取12名学生参加一次区“古筝”比赛，那么学生被选中的可能性大小是 ． 【答案】(1)200 (2)72 (3) 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及事件发生的可能性大小，正确理解题意、从统计图中得出有效的信息是解题的关键． （1）用条形统计图中选修二胡的人数除以扇形统计图中的占比即可求解； （2）先计算选修古筝的人数，进而可得选修琵琶的人数，再计算圆心角即可； （3）用12除以选修古筝的人数即可求解． 【详解】（1）解：； 所以共有200名学生参加了选修课程学习； 故答案为：200； （2）解：选项古筝的人数为， 所以选修琵琶的人数为人， 所以扇形统计图（图2）中，“琵琶”部分所对应的圆心角为度； 故答案为：72； （3）解：如果从选择“古筝”选项的学生中，随机抽取12名学生参加一次区“古筝”比赛，那么学生被选中的可能性大小是； 故答案为：． 12．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ (2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 【答案】(1)①3②2或1 (2)1 【分析】（1）①在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球，要使“摸出红球”是必然事件，则袋子中必须全是红球，故需将3个白球全部取出，所以． ②要使“摸出红球”是随机事件，则袋子中必须既有红球又有白球，故取出的白球个数需满足，因为为整数，所以的值是1或2； （2）先从袋子中取出个白球，再放入个一样的红球，此时袋中有个红球，个白球，球的总数为个，随机摸出一个红球的概率为，因为随机摸出一个红球的频率在附近摆动，所以，解得． 【详解】（1）解：①如果事件A是必然事件，则m的值为3； ②如果事件A是随机事件，则m的值为2或1； （2）解：根据题意，可得袋子里共有10个球， 则， 解得， 故的值为1． 13．某班为表彰期中考试进步比较快的三名学生小敏，小明和小川，班主任准备了四件奖品，现将奖品名称写在纸片上，并将纸片无字的一面朝上扣在桌面上，设奖品分别为A，A，B，B，为了提高趣味性，班主任规定，每人先后取一张纸片，若前两名同学选完后，剩下的两件是一样的奖品，则第三名同学可得到所剩两件奖品．若小敏先取一张纸片后小明取． (1)求小敏与小明均取到奖品A的概率； (2)求小川得到两件奖品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意画出树状图，确定所有可能数和满足题意得可能数，然后根据概率公式计算即可； （2）由题意可知：当小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B时，小川可得到所剩的两件奖品，然后再根据（1）中的树状图可知小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B的情况有4种，然后运用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中小敏与小明均抽到奖品A的情况有2种，故所求概率为：． （2）解：由题意可知当小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B时，小川可得到所剩的两件奖品， 由（1）中的树状图可知小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B的情况有4种． 故小川得到两件奖品的概率为：． 【点睛】本题主要考查了列树状图求概率、互斥事件等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键． 14．如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“附”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是____________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是____________； (2)明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1)， (2)不公平，胜率不等 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出明明、红红获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”、“是”、“附”、“中”、“人”、“我”、“骄”、“傲”这8个汉字， ∴转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是； “我”的笔画数是7， “是”的笔画数是9， “附”的笔画数是7， “中”的笔画数是4， “人”的笔画数是2， “我”的笔画数是7， “骄”的笔画数是9， “傲”的笔画数是12， 8个汉字中笔画数是奇数的汉字有5个，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是； （2）解：游戏不公平，理由如下：笔画多于7画的汉字有3个，分别是：是，骄，傲；笔画不多于7画的汉字有5个，分别是：我，附，中，人，我． ∴明明获胜的概率是， 红红获胜的概率是， 明明获胜的概率红红获胜的概率， ∴该游戏不公平． 15．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小红做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 71 129 334 537 670 2010 摸到白球的频率 0.645 0.69 0.668 0.671 0.670 0.670 (1)填空：___________，___________，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为___________．（精确到0.01） (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是___________． A．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于5； B．某东西向的路口信号灯按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯； C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有100个球，小红和小亮用这个盒子来玩游戏， ①根据试验结果，盒子中最有可能有___________个白球： ②由①的结果，约定游戏规则：拿出17个白球，搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，摸到白球小红胜，摸到黑球则小亮胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)A (3)①67；②不公平，理由见解析 【分析】（1）根据频率频数总数可得、的值，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值； （2）求出、、三个选项中事件发生的概率即可得到答案； （3）①利用总数乘以频率即可解答； ②分别计算小红胜和小亮胜的概率，再对比即可． 【详解】（1）解：； ； 由表格可知，随着试验次数的增加，摸到白球频率逐步稳定在附近， 故从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为； （2）解：掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于5的概率为； 某东西向的路口信号灯按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯的概率为． 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为； 故符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是A； （3）解：①根据试验结果，盒子中最有可能有个白球； ②不公平，理由如下： 拿出个白球后，盒子里一共有黑球个，盒子里一共有白球个， 则小红胜的概率为，则小亮胜的概率为， ， ∴不公平． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03概率初步 专项训练 题型梳理归纳 题型1.事件的分类判断 题型2.判断事件发生的可能性大小 题型3.求某事件的频率 题型4.概率的意义理解 题型5.频率与概率关系的正误判断 题型6.由频率估计概率 题型7.用频率估计概率的综合应用 题型8.列举随机实验的所有可能结果 题型9.判断实验所得结果是否是等可能的 题型10.列举法求概率 题型11.根据概率公式计算概率 题型12.根据概率作判断 题型13.已知概率求数量 题型14.游戏的公平性 题型15.几何概率 题型16.概率在转盘抽奖中的应用 题型17.概率在比赛中的应用 题型18.概率的其他应用 题型19分层精练15道题 核心题型精讲 题型1.事件的分类判断 1．下列说法正确的是（   ） A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件 B．太阳从东方升起是随机事件 C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 D．掷一次骰子，向上一面的点数是2是随机事件 2．“成语”承载着丰富的历史和文化内涵．①水中捞月；②守株待兔；③百步穿杨，上述成语描述的场景为不可能事件的是________．（填序号） 3．一个不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外其他都相同，将球摇匀，从袋子中随机取出1个球． (1)取出的球是红球是什么事件？取出的球是蓝球是什么事件？ (2)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？为什么？ 题型2.判断事件发生的可能性大小 1．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．打开电视机，正在播放新闻 B．某种彩票中奖率为，买10000张该种彩票会中奖 C．掷一枚硬币，正面朝上 D．太阳从东方升起 2．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色．固定指针，自由转动转盘，停止后指针所指区域的颜色为______色的可能性最大（填“红”“黄”或“蓝”）． 3．把一副扑克牌中的13张从到的红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意抽取1张．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？并写出这些事件发生的可能性的大小． (1)抽到的牌上的数是偶数； (2)抽到的牌上的数不小于6； (3)抽到的牌是梅花； (4)抽到的牌是红桃． 题型3.求某事件的频率 1．某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 类别 航空航天 科学实验 电影评论 排球技巧 观看视频次数 18 10 14 18 完整观看视频次数 15 1 4 5 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 2．今天的日期是：20260423，在这串数字中，0出现的频率是________． 3．靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称，韩叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 800 1000 2000 成活数 47 90 183 362 724 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.905 0.902 0.901 (1)上表中，________，________； (2)根据上表的数据，请你估计该种苹果树苗成活的概率是多少？（精确到0.1） 题型4.概率的意义理解 1．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（　  　） A．抽101次不可能没有抽到一等奖 B．抽100次奖必有一次抽到一等奖 C．抽一次也可能抽到一等奖 D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 2．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，那么摸到黑球的概率是_______________． 3．某射击运动员在相同条件下进行射击训练，结果如下： 射击次数 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中10环的频数 9 19 36 44 91 179 454 905 击中10环的频率 0.9 0.95 0.9 0.88 0.91 0.895 0.908 0.905 (1)该射击运动员击中10环的概率的估计值是___________（精确到0.1）； (2)若此射击运动员在相同条件下再次进行射击训练，共射击了10次，一定有9次击中10环吗？为什么？ 题型5.频率与概率关系的正误判断 1．某校名师生在操场上进行数学实验，验证“硬币正面朝上的概率是”．部分实验数据如下： 四年级1班2组 五年级 六年级3班 全校 正面数量 2 反面数量 8 正面朝上的频率（保留小数点后4位） 下列说法正确的是（   ） A．连续抛硬币次，不可能次正面朝上 B．连续抛硬币三次，正面朝上的频率一定是 C．在大量重复试验下，正面向上的频率会逐渐稳定在 D．甲班比乙班抛硬币次数多，甲班抛出正面朝上的频率一定更接近 2．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是__________（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）． 3．某人工智能公司研发了一款自动驾驶汽车的障碍物识别系统．为了测试系统的识别准确率，测试人员从真实道路场景中随机抽取图片，让系统识别其中是否存在障碍物；并记录正确识别的次数．每次识别后放回，重复上述过程．下表是试验中的一组统计数据： 测试图片数量 100 200 500 1000 2000 3000 正确识别次数 87 175 438 1780 2670 正确识别频率 0.87 0.875 0.876 0.88 0.89 (1) ， ； (2)估计该系统正确识别障碍物的概率约为 ；（结果精确到0.1） (3)下列说法错误的是 ．（填序号） ①识别障碍物4次，都识别成功了，所以第5次识别一定也成功； ②识别障碍物10次，识别成功的次数不一定是9次； ③识别障碍物30次，识别成功的次数一定是27次． 题型6.由频率估计概率 1．为了解枣庄市初中生体质健康水平，在2025年秋季《国家学生体质健康标准》全市测试数据中进行随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，若枣庄市有10000名初中生参加体质测评，下列估计的体质健康合格人数中最合理的是（     ） 累计抽测的学生数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 0.87 0.92 0.93 0.89 0.90 0.92 0.92 0.93 0.93 0.93 A．9300 B．9200 C．9003 D．9000 2．投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为________（结果精确到0.1）． 3．现对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的数量如下表： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格数 42 88 141 176 445 720 900 合格率 0.84 a 0.94 0.88 b 0.90 0.90 (1)填空：________，________；（结果精确到0.01） (2)估计任抽一件衬衣是合格品的概率．（结果精确到0.1） 题型7.用频率估计概率的综合应用 1．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.8附近，则x的值为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 2．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 3．“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”．下表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 2949 3932 合格品频率 (1)求出表中__________，__________； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是__________（精确到）； (3)如果生产50000顶头盔，估计有多少顶头盔是合格品？ 题型8.列举随机实验的所有可能结果 1．某校航天社团为筹备航天主题演讲，准备从“嫦娥六号钻取器”，“嫦娥七号飞跃器”，“鹊桥中继星”这三个航天科普模型中随机选取两个进行演讲，则恰好选中“嫦娥六号钻取器”和“鹊桥中继星”的概率为（     ） A． B． C． D． 2．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如表： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 3．某密码锁的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)若知道密码的个位数字是8，则有多少种可能密码？若两位数字都不知道，则共有多少种可能密码？ (2)在两位数字都不知道的情况下，小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ 题型9.判断实验所得结果是否是等可能的 1．在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 2．下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 3．一个不透明的袋中有个球，分别标有，，，，这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球． (1)会出现哪些可能的结果？ (2)每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？ 题型10.列举法求概率 1．中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，其中恰好有一本是《周髀算经》的概率为（  ） A． B． C． D． 2．中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡．小明和小亮是中国国画爱好者，小明和小亮从四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，求小明和小亮恰好都选择“竹”的概率为________． 3．如图，在关中平原某座小城的丁字路口，每逢放学时段，接送孩子的车辆与通勤车流交织．按照交通规则，经过这个丁字路口的汽车，只有左转和右转两种行驶方向．经验丰富的老交警统计发现，在无特殊天气、交通管制的情况下，每一辆汽车选择左转或右转的概率完全相等，且彼此的行驶选择互不影响．为了测算该路口的交通调度效率，交通部门统计了某一时段甲、乙、丙三辆连续经过该路口的汽车行驶情况． (1)求甲汽车经过这个丁字路口向左转的概率________； (2)求甲，乙，丙三辆汽车中至少有两辆汽车向左转的概率． 题型11.根据概率公式计算概率 1．一名快递员准备将一件包裹随机投放到“01”“02”“03”“04”四个空柜中的某个空柜，则投放到“01”空柜的概率是（    ） A． B． C． D． 2．现有五张质地、大小完全相同的卡片，分别写有“金鳌山”、“华生园”、“重庆工业文化博物馆”、“新山村”、“义渡古镇”五个地名．从中随机抽取一张，则抽到的卡片上含有“山”字的概率为______． 3．在一个不透明的袋中有8个除颜色外其他都相同的小球，其中4个红球，3个黄球，1个白球． (1)小红从中任意摸出一个小球，摸到白球的概率是多少？ (2)小红和小丽一起做游戏，规则如下：小红从中任意摸出一个小球，摸到红球则小红胜，摸到黄球则小丽胜．该游戏对双方公平吗？为什么？ 题型12.根据概率作判断 1．某果农种植的砂糖桔优质果和普通果外观无明显区别．为估计果场中优质果的概率，果农随机抽取部分砂糖桔检测，连续抽取300次，其中抽到优质果的次数为240次．下列说法正确的是（   ） A．抽取次数越少，优质果的频率越接近概率 B．此次抽取优质果的频率为 C．从这个果场的砂糖桔中抽中优质果的概率一定是 D．若再抽取100次，抽到优质果的次数一定是80次 2．一只不透明的袋子中装有1个白球、3个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球．若要使摸到红球的概率最大，则的最小值为_____． 3．如图是两个可以自由转动的转盘，图1被平均分成9份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（转盘指针停在分界线上，则重新转动）；图2被涂上红色和绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（转盘指针停在分界线上，则重新转动）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． (1)“小明转出的数字是5”是 事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)求小明转出的数字小于7的概率； (3)“小明转出的数字是奇数的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同”，这个说法对吗？为什么？ 题型13.已知概率求数量 1．一只不透明的袋子中，装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，这些球除颜色外都完全相同，小明通过大量重复摸球实验后，发现摸到红色、蓝色球的频率分别稳定在和，则箱子里黄色球的个数很可能是_____个． 3．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、红两种球共40个，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据： 摸球的次数 100 150 200 400 700 1500 摸到黑球的次数 59 92 114 232 424 902 摸到黑球的频率 0.59 0.57 0.606 0.601 (1)求出表格中的、，则______，______（精确到）． (2)请你估计，当很大时，摸到黑球的频率将会接近______（精确到）． (3)假如你去摸一次，你摸到黑球的概率是______，摸到红球的概率是______． (4)试估算口袋中红色的球有多少个？ 题型14.游戏的公平性 1．甲和乙按如下规则玩游戏：掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6的点数，若朝上的点数是奇数，则甲获胜；若朝上的点数是偶数，则乙获胜．则这个游戏规则（    ） A．对甲乙公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法确定 2．如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 3．年月日是第32个世界读书日，为了营造多读书、读好书的氛围，某校举办了校园读书节，要在小明和小华中选取一人作为读书节主持人．将正面印有，，，，，，，的八张卡片（卡片除正面数字不同外，其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张．若抽到卡片上的数字是的倍数，则小明去；若抽到卡片上的数字大于，则小华去． (1)任意抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是的倍数的概率是 ； (2)通过计算说明这个游戏规则对双方是否公平？若不公平，请你改变一张卡片上的数字，使该规则对双方公平． 题型15.几何概率 1．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域的概率是（   ） A． B． C． D． 2．二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.7左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为___________． 3．已知直线，直线与交于点，与交于点．已知，． (1)计算多项式与的乘积，并将结果化为最简形式； (2)利用平行线的性质，求的值； (3)现有一个圆形转盘，被分成三个扇形区域，其中两个圆心角的度数分别等于和的度数．随机转动转盘，指针停止后，求指针落在较小扇形区域内的概率． 题型16.概率在转盘抽奖中的应用 1．如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（     ） A． B． C． D． 2．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 3．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘中每一个小扇形面积均相等），并规定：顾客消费100元以上（不包括100元），就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折、五折区域顾客就可以获得此项待遇． (1)甲顾客消费80元，是否可获得转动转盘的机会？ (2)乙顾客消费150元，获得打折待遇的概率是多少？ (3)在（2）的条件下，乙顾客获得九折，五折待遇的概率分别是多少？ 题型17.概率在比赛中的应用 1．某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 3．现有一个不透明的盒子里放置6张材质完全相同的卡片，卡片上分别标有数字1 、2、3、4、5、6． (1)小深设计了一款游戏，规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．计算，若结果大于2，则甲获胜；若结果小于或等于2，则乙获胜．求甲获胜的概率． (2)你认为小深设计的这个游戏是否公平？请阐述理由． (3)目前该游戏仅支持两人同时玩，请帮小深将其改成可供三个人同时玩的公平游戏． 题型18.概率的其他应用 1．的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 2．有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 3．某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)共有多少种可能密码？ (2)小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ (3)若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由． 分层精练 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．“篮球队员投篮时未进球”是必然事件 B．“某班有22名男生和20名女生，从中选择一名同学参加座谈会，选到女生”是随机事件 C．“在装满红色小球的箱子里摸出蓝色小球”是随机事件 D．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”是不可能事件 2．以下说法正确的是（    ） A．在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值 B．在做抛瓶盖的试验时，每名同学尽量用相同规格的瓶盖进行试验，然后再汇总全班同学的数据进行估计概率 C．在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的 D．在做抛瓶盖的试验时，如果上一次试验盖口向上，那么进行下一次试验时盖口向上的可能性会减小 3．小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从，，这个数中随机抽到数字的频率 B．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率 4．班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 5．《数学之美》是中国邮政为向数学学科致敬，于2025年3月14日发行的特种邮票，一套4枚，分别呈现了“圆周率”、“勾股定理”、“欧拉公式”和“莫比乌斯带”，这些邮票除图案外，质地与规格完全相同．若将此套邮票背面朝上，随机抽取两张，则抽到的邮票恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的概率是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在最近天内，某市空气质量为优的天数为天，则空气质量为优的频率是____． 7．家里只剩一块儿巧克力了，哥哥和弟弟都想得到它，妈妈给他们一个骰子，让他们设计一个游戏，获胜的就得到巧克力．哥哥说“掷出2时哥哥胜，掷出1时弟弟胜，若掷出其它数字就再掷一次，直到掷出1或2”，弟弟说这不公平，2比1大．你认为这个游戏公平吗？填空：________．（填“公平或不公平”） 8．近年来，二维码已广泛应用于社会生活的各个领域．某班在“轻松一刻钟”开展了“码上解压”活动，参与者只需扫描二维码，即可获取一条解压祝福语．如图是小明设计的一个二维码，其解码后的内容为：“祝你蒙的都对”．小明将二维码打印在边长为3厘米的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_______平方厘米． 9．从位男生和位女生中任选人参加志愿者活动，则所选人中恰好为位男生和位女生的概率是__________． 10．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得“一袋苹果”的奖品；指针落在“一盒樱桃”的区域就可以获得“一盒樱桃”的奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在“一袋苹果”区域的次数m 落在“一袋苹果”区域的频率 假如你去转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是______（保留一位小数）． 三、解答题 11．为弘扬中华传统文化，崇明区某学校为配合“人人会瀛州古调”教学活动，开设了民族器乐选修课程．学生参加选修课的情况见如下统计图（图1、图2）．请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（请在空格处填入相应答案） (1)共有 名学生参加了选修课程学习； (2)扇形统计图（图2）中，“琵琶”部分所对应的圆心角为 度； (3)如果从选择“古筝”选项的学生中，随机抽取12名学生参加一次区“古筝”比赛，那么学生被选中的可能性大小是 ． 12．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ (2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 13．某班为表彰期中考试进步比较快的三名学生小敏，小明和小川，班主任准备了四件奖品，现将奖品名称写在纸片上，并将纸片无字的一面朝上扣在桌面上，设奖品分别为A，A，B，B，为了提高趣味性，班主任规定，每人先后取一张纸片，若前两名同学选完后，剩下的两件是一样的奖品，则第三名同学可得到所剩两件奖品．若小敏先取一张纸片后小明取． (1)求小敏与小明均取到奖品A的概率； (2)求小川得到两件奖品的概率． 14．如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“附”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是____________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是____________； (2)明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 15．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小红做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 71 129 334 537 670 2010 摸到白球的频率 0.645 0.69 0.668 0.671 0.670 0.670 (1)填空：___________，___________，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为___________．（精确到0.01） (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是___________． A．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于5； B．某东西向的路口信号灯按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯； C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有100个球，小红和小亮用这个盒子来玩游戏， ①根据试验结果，盒子中最有可能有___________个白球： ②由①的结果，约定游戏规则：拿出17个白球，搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，摸到白球小红胜，摸到黑球则小亮胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $