八年级数学下学期第一次月考测试卷【沪科版，测试范围：二次根式～一元二次方程】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题。 2．测试范围：二次根式~一元二次方程（沪科版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2且x≠3 B．x≤2 C．x≥2且x≠3 D．x＜2 2．（4分）在根式①；②；③；④中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（4分）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（　　） A．207.9+207.9（1+x）+207.9（1+x）2＝1027.96 B．207.9（1﹣x）2＝1027.96 C．207.9+207.9（1+x）2＝1027.96 D．207.9（1+x）2＝1027.96 4．（4分）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2mx+m2＝0的一个根，则m的值为（　　） A．1或4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或﹣4 5．（4分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（4分）若与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（4分）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A．k B．k且k≠0 C．k D．k且k≠0 8．（4分）一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0，其中较大的一个根为x1，下列最接近x1的范围是（　　） A．5＜x1＜6 B．5＜x1＜5.5 C．5.3＜x1＜5.4 D．5.7＜x1＜6 9．（4分）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD．则该方程的一个正根是（　　） A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长 10．（4分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则，其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①② 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11．（5分）比较大小：　 　． 12．（5分）关于x的方程x2﹣px+q＝0通过配方得（x﹣1）2，则　 　． 13．（5分）已知m为方程x2+x﹣3＝0的一个根，则代数式m3+2m2﹣2m+6的值为 　 　． 14．（5分）在进行实数的化简时，我们可以用“”的方式，如．利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式． （1）已知a为正整数，若是整数，则a的最小值为 　 　． （2）设b为正整数，若，m是大于1的整数，则m的最大值与m的最小值的积的平方根为 　 　． 三．解答题（共9小题，满分90分） 15．（8分）计算： （1）（2）4； （2）（）2﹣（1）（1）． 16．（8分）解方程： （1）（2x+3）2﹣25＝0； （2）3x2﹣4x+2＝0． 17．（8分）已知，． （1）求x2+3xy+y2的值； （2）求值． 18．（8分）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长． 19．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． （1）判断一元二次方程5x2﹣8x+3＝0是否为“和美方程”，请说明理由． （2）已知关于x的一元二次方程7x2﹣bx+c＝0是“和美方程”，求b2﹣6c的最小值． 20．（10分）如图，从一张面积为108cm2的正方形纸板的四个角上各剪掉一个面积为8cm2的小正方形，将剩余部分制作成一个无盖的长方体盒子． （1）原来大正方形的边长为 　 　cm；剪掉的四个小正方形的边长为 　 　cm．（结果用最简二次根式表示） （2）分别求这个长方体盒子的底面边长和体积．（结果精确到0.01cm，参考数据：，，） 21．（12分）在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，如．据此，请回答下列问题． （1）利用有理化因式化简，其结果为 　 　． （2）利用你发现的规律计算下列式子的值：． 22．（12分）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点E从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C的方向向点C运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动．若E、F两点同时出发，其中一点运动到终点另一点也停止运动，设运动时间为t s，连结DE、DF． （1）当t＝1时，四边形DEBF的面积等于 　 　cm2． （2）当t为何值时，线段EF长为？ （3）当t为何值时，△DEF的面积为9cm2？ 23．（14分）阅读材料： 已知a，b为非负实数，∵， ∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知x＞0，求代数式最小值． 解：令a＝x，，则由，得． 当且仅当，即x＝3时，代数式取到最小值，最小值为6． 根据以上材料解答下列问题： 【灵活运用】 （1）已知x＞0，则当x＝　 　时，代数式到最小值，最小值为 　 　． （2）已知x＞0，求代数式的最小值． 【拓展运用】 （3）某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为500m2的花圃，所用的围栏至少为多少米？ （4）如图2，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOD和△BOC的面积分别是4和12，求四边形ABCD面积的最小值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题。 2．测试范围：二次根式~一元二次方程（沪科版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2且x≠3 B．x≤2 C．x≥2且x≠3 D．x＜2 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解． 【解答】解：由题意可得， 解得：x≥2且x≠3， 故选：C． 2．（4分）在根式①；②；③；④中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式， 的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 所以最简二次根式有，，共2个， 故选：B． 3．（4分）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（　　） A．207.9+207.9（1+x）+207.9（1+x）2＝1027.96 B．207.9（1﹣x）2＝1027.96 C．207.9+207.9（1+x）2＝1027.96 D．207.9（1+x）2＝1027.96 【分析】根据5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元，列方程即可． 【解答】解：根据题意，可列方程为207.9+207.9（1+x）+207.9（1+x）2＝1027.96． 故选：A． 4．（4分）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2mx+m2＝0的一个根，则m的值为（　　） A．1或4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或﹣4 【分析】将x＝﹣2代入关于x的一元二次方程x2mx+m2＝0，再解关于a的一元二次方程即可． 【解答】解：∵x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2mx+m2＝0的一个根， ∴4+5m+m2＝0， ∴（m+1）（m+4）＝0， 解得m1＝﹣1，m2＝﹣4， 故选：B． 5．（4分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【解答】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意； B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意； D． ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6．（4分）若与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】，根据题意可得2x﹣7＝5，即可求解． 【解答】解：依题意，2x﹣7＝5， 解得：x＝6， 故选：D． 7．（4分）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A．k B．k且k≠0 C．k D．k且k≠0 【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围． 【解答】解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根， 所以Δ＞0，Δ＝b2﹣4ac＝（2k+1）2﹣4k2＝4k+1＞0． 又∵方程是一元二次方程，∴k≠0， ∴k且k≠0． 故选：B． 8．（4分）一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0，其中较大的一个根为x1，下列最接近x1的范围是（　　） A．5＜x1＜6 B．5＜x1＜5.5 C．5.3＜x1＜5.4 D．5.7＜x1＜6 【分析】先利用配方法解一元二次方程求得，再根据，即可求解． 【解答】解：x2﹣4x﹣7＝0， ∴x2﹣4x＝7， 配方得，（x﹣2）2＝11， ∴， ∵较大的一个根为x1， ∴， ∵3.33.4， ∴5.32＜5.4，即5.3＜x1＜5.4， 故选：C． 9．（4分）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD．则该方程的一个正根是（　　） A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长 【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可． 【解答】解：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD， 设AD＝x，根据勾股定理得：（x）2＝b2+（）2， 整理得：x2+ax﹣b2＝0（a≠0，b≠0）， ∵Δ＝a2+4b2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为﹣b2＜0，即方程的根一正一负， 则该方程的一个正根是AD的长， 故选：B． 10．（4分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则，其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①② 【分析】①由a+b+c＝0，可得出x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解，进而可得出Δ＝b2﹣4ac≥0； ②由方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得出Δ＝﹣4ac＞0，结合偶次方的非负性，可得出Δ＝b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，进而可得出方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根； ③代入x＝c，可得出ac2+bc+c＝0，当c＝0时，无法得出ac+b+1＝0； ④利用求根公式，可得出x0，变形后即可得出． 【解答】解：①∵a+b+c＝0， ∴x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0，结论①正确； ②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝﹣4ac＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac≥﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，结论②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根， ∴ac2+bc+c＝0， 若c为0，则无法得出ac+b+1＝0，结论③不正确； ④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， ∴x0， ∴±2ax0+b， ∴，结论④正确． ∴正确的结论有①②④． 故选：A． 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11．（5分）比较大小：　＞　． 【分析】先把化简，然后进行实数的大小比较． 【解答】解：∵，而，∴． 故答案为：＞． 12．（5分）关于x的方程x2﹣px+q＝0通过配方得（x﹣1）2，则　﹣6　． 【分析】利用配方法得到（xp）2p2﹣q，则根据题意得到p＝1，p2﹣q，再分别求出p与q的值，然后计算它们的比值即可． 【解答】解：x2﹣px+q＝0， x2﹣pxp2p2﹣q， （xp）2p2﹣q， ∴p＝1，p2﹣q， 解得p＝2，q， ∴6． 故答案为：﹣6． 13．（5分）已知m为方程x2+x﹣3＝0的一个根，则代数式m3+2m2﹣2m+6的值为 　9　． 【分析】先根据方程解的定义，化简关于m的方程，然后整体代入求值． 【解答】解：∵m为方程x2+x﹣3＝0的一个根， ∴m2+m﹣3＝0． ∴m2+m＝3． ∴m3+2m2﹣2m+6 ＝m3+m2+m2+m﹣3m+6 ＝m（m2+m）+（m2+m）﹣3m+6 ＝3m+3﹣3m+6 ＝9． 故答案为：9． 14．（5分）在进行实数的化简时，我们可以用“”的方式，如．利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式． （1）已知a为正整数，若是整数，则a的最小值为 　19　． （2）设b为正整数，若，m是大于1的整数，则m的最大值与m的最小值的积的平方根为 　±2　． 【分析】（1）根据题中化简方法可得，再根据是整数，即可求解； （2）根据题意可得当b＝5时，m取最大值；当b＝180时，m取最小值2，即可求解． 【解答】解：∵， 又∵是整数， ∴a的最小值为19， 故答案为：19； （2）∵b为正整数，m是大于1的整数， ∴当b＝5时，m取最大值12；当b＝180时，m取最小值2， m的最大值与m的最小值的积的平方根为±2， 故答案为：±2． 三．解答题（共9小题，满分90分） 15．（8分）计算： （1）（2）4； （2）（）2﹣（1）（1）． 【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式22 ＝318﹣2 18； （2）原式＝3﹣22﹣（6﹣1） ＝3﹣22﹣5 ＝﹣2． 16．（8分）解方程： （1）（2x+3）2﹣25＝0； （2）3x2﹣4x+2＝0． 【分析】（1）先把方程变形得到（2x+3）2＝25，再把方程两边开方得到2x+3＝±5，然后解两个一次方程即可； （2）先计算出根的判别式的值得到Δ＜0，然后根据根的判别式的意义可判断方程没有实数解． 【解答】解：（1）（2x+3）2﹣25＝0， （2x+3）2＝25， 2x+3＝±5， 所以x1＝1，x2＝﹣4； （2）3x2﹣4x+2＝0， ∵a＝3，b＝﹣4，c＝2， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×2＝﹣8＜0， ∴方程没有实数解． 17．（8分）已知，． （1）求x2+3xy+y2的值； （2）求值． 【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算即可求解； （2）由（1）得，，再利用二次根式的性质进行化简即可求解； 【解答】解：（1）∵，， ∴x2+3xy+y2 ＝（x+y）2+xy ＝40+1 ＝41． （2）由（1）得：，， ∴x﹣2＞0，y+1＞0， ∴ ＝﹣6． 18．（8分）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长． 【分析】（1）通过计算Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣1）2，由偶次方的非负性可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可得该方程由两个相等的实数根，结合根的判别式可求解k值，再将k值代入方程，得到x2﹣4x+4＝0，解方程求出两腰的长为2，又已知底边是3，则根据三角形的周长公式即可求解． 【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， ∴无论k取何值，方程总有实数根； （2）解：∵等腰三角形的底边长3， ∴另两边长即为等腰三角形的腰长， ∵另两边长恰好是这个方程的两根， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2＝0， 解得k＝1， 将k＝1代入方程，得x2﹣4x+4＝0， 解得：x1＝x2＝2． 此时△ABC三边为3，2，2； 所以周长为3+2+2＝7． 19．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． （1）判断一元二次方程5x2﹣8x+3＝0是否为“和美方程”，请说明理由． （2）已知关于x的一元二次方程7x2﹣bx+c＝0是“和美方程”，求b2﹣6c的最小值． 【分析】（1）将x＝1代入方程看左右两边是否相等即可得到答案； （2）将x＝1代入得到字母关系，结合完全平方的非负性直接求解即可得到答案． 【解答】解：（1）该方程是“和美方程”，理由如下， ∵当x＝1时，方程左边＝5﹣8+3＝0，右边＝0， ∴左边＝右边， ∴x＝1是该方程的解， ∴该方程是“和美方程”； （2）由题意得：7﹣b+c＝0， ∴b＝7+c， ∴b2﹣6c＝（7+c）2﹣6c ＝c2+8c+49 ＝（c+4）2+33， ∵（c+4）2≥0， ∴（c+4）2+33≥33， ∴b2﹣6c的最小值为33． 20．（10分）如图，从一张面积为108cm2的正方形纸板的四个角上各剪掉一个面积为8cm2的小正方形，将剩余部分制作成一个无盖的长方体盒子． （1）原来大正方形的边长为 　　cm；剪掉的四个小正方形的边长为 　　cm．（结果用最简二次根式表示） （2）分别求这个长方体盒子的底面边长和体积．（结果精确到0.01cm，参考数据：，，） 【分析】（1）利用正方形的面积公式和二次根式的性质，求出大正方形和小正方形的边长即可； （2）用大正方形的边长减去两个小正方形的边长求出底面边长，利用长方体的体积公式求出体积即可． 【解答】解：（1）大正方形的边长为；剪掉的四个小正方形的边长为． 故答案为：，； （2）这个长方体盒子的底面边长为， 这个长方体盒子的体积为． 答：这个长方体盒子的底面边长为4.74cm2，体积为13.4cm3． 21．（12分）在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，如．据此，请回答下列问题． （1）利用有理化因式化简，其结果为 　　． （2）利用你发现的规律计算下列式子的值：． 【分析】（1）根据题中阅读材料的方法，分子分母同时乘以，运用二次根式混合运算法则求解即可得到答案； （2）根据题中阅读材料的方法，利用分母有理化将分母中的根式去掉，再由二次根式混合运算法则求解即可得到答案． 【解答】解：（1） ， 故答案为：； （2） ＝2025﹣1 ＝2024． 22．（12分）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点E从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C的方向向点C运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动．若E、F两点同时出发，其中一点运动到终点另一点也停止运动，设运动时间为t s，连结DE、DF． （1）当t＝1时，四边形DEBF的面积等于 　37　cm2． （2）当t为何值时，线段EF长为？ （3）当t为何值时，△DEF的面积为9cm2？ 【分析】（1）根据S四边形DEBF＝S长方形ABCD﹣S△ADE﹣S△DCF求解即可； （2）求出BE＝（6﹣2t）cm，BF＝（8﹣t）cm，根据勾股定理求解即可； （3）根据点E在点F左侧和右侧两种情况，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8cm，CD＝AB＝6cm， 当t＝1时，AE＝2×1＝2（cm），CF＝1×1＝1（cm）， ∴S四边形DEBF＝S长方形ABCD﹣S△ADE﹣S△DCF ＝AB•ADAD•AECD•CF ＝48﹣8﹣3 ＝37（cm2）， 故答案为：37； （2）∵运动时间为t s，且0＜t＜7， ∴AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴BE＝AB﹣AE＝（6﹣2t）cm，BF＝BC﹣CF＝（8﹣t）cm， 在Rt△EBF中，EB2+BF2＝EF2， ∴， 整理得，t2﹣8t+7＝0， 解得，t1＝1，t2＝7（不合题意，舍去） 所以，t＝1； （3）当点E在点F在左侧时，如图1， 此时，EF＝（﹣3t+14）cm， ∵S△DEF＝9cm2， ∴EF•CD＝9，即（﹣3t+14）×6＝9， 解得，； 当点E在点F在右侧时，如图2， 此时，EF＝（3t﹣14）cm， ∵S△DEF＝9cm2， ∴EF•CD＝9，即， 解得，； 综上，当或时，△DEF的面积为9cm2． 23．（14分）阅读材料： 已知a，b为非负实数，∵， ∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知x＞0，求代数式最小值． 解：令a＝x，，则由，得． 当且仅当，即x＝3时，代数式取到最小值，最小值为6． 根据以上材料解答下列问题： 【灵活运用】 （1）已知x＞0，则当x＝　　时，代数式到最小值，最小值为 　　． （2）已知x＞0，求代数式的最小值． 【拓展运用】 （3）某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为500m2的花圃，所用的围栏至少为多少米？ （4）如图2，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOD和△BOC的面积分别是4和12，求四边形ABCD面积的最小值． 【分析】（1）参考例题得求解过程即可； （2）根据，求出得最小值即可求解； （3）设花圃的宽为x米，则长为米，所用的围栏，据此即可求解；（4）作AE⊥BD，CF⊥BD，可得；根据四边形ABCD面积即可求解； 【解答】解：（1）令a＝x，，则由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， 故答案为：，； （2）， 令a＝2x，，则由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， ∴代数式的最小值为； （3）设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的围栏， 令a＝4x，，则由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， 故：所用的围栏至少为米； （4）作AE⊥BD，CF⊥BD，如图所示： 由题意得：， ∵， ∴四边形ABCD面积， 令，， 则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． ∴四边形ABCD面积的最小值为． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$