专题01 二次根式（6重点+10种题型+复习提升）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

专题01 二次根式 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 二次根式的有关概念 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 二次根式有意义的条件 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b≥0； 3）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 4）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 知识点 2 二次根式的性质 1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 知识点 3 二次根式的乘除运算 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 积的算术平方根：积的算术平方根等于积的中每个因式的算术平方根的乘积.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 商的算术平方根：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.即 3.最简二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 知识点 4 二次根式的加减运算 1.同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】1）同类二次根式类似于整式中的同类项,如：是同类二次根式. 2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数可以完全互不相同，如：. 3）判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后看被开方数是否相同. 2.二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 【口诀】一化、二找、三合并. 3.合并同类二次根式的方法：合并同类二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 知识点 5 二次根式混合运算 1.内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 2.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 【补充】1）在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用； 2）在二次根式混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质. 3.二次根式运算时的注意事项： 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 知识点 6 二次根式的化简 二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 化简二次根式的步骤: 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【题型1 二次根式的识别】 高妙技法 若一个根式是二次根式，则一定满足被开方数大于或等于0，根指数为2，当被开方数是字母时，要根据字母的取值进行讨论. 1．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）给出下列各式：①；②6；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型2 二次根式有意义的条件】 高妙技法 1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 4．（2025八年级下·安徽·专题练习）若，则 ． 5．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）已知实数a满足，那么的值是 ． 【题型3 利用二次根式的性质化简】 高妙技法 ，即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. ①一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为； ②当一个数为负数时，它的平方的算术平方根等于它的相反数，记为. 6．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知，，则等于（　　） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）若为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A．5 B． C． D． 8．（22-23八年级下·山东泰安·期末）已知，化简： ． 9．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简： 解：由，解得： ∴， ∴原式= (1)按照上面的解法，试化简． (2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． (3)已知a，b，c为的三边长，化简：． 【题型4 复合二次根式化简】 10．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 11．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 12．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【题型5 最简二次根式与同类二次根式的识别】 高妙技法 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 判断同类二次根式时，先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来加以判断. 注意：1）同类二次根式与根号外的因式无关． 2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数可以完全互不相同，如：. 13．（24-25八年级上·上海·期末）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·上海崇明·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 15．（20-21八年级上·上海长宁·期末）若二次根式与是同类二次根式，则整数可以等于 ．（写出一个即可） 【题型4 二次根式的混合运算】 高妙技法 1）在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用； 2）在二次根式混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质. 3）二次根式运算时的注意事项： ①结果要化为最简二次根式或整式； ②如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 16．（24-25八年级上·上海·期末）计算： (1)；(2)． 17．（24-25八年级上·上海崇明·期末）计算： 18．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 19．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【题型5 与二次根式有关的化简求值问题】 高妙技法 1）二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽. 2)如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简. 3）如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简. 20．（24-25八年级上·上海·期中）已知，，求的值． 21．（24-25八年级上·上海·期中）已知实数、使等式成立，请化简代数式，并求代数式的值． 22．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 23．（24-25八年级上·上海·期中）计算：先化简，再求值：，其中． 24．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵ ∴当时，原式． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 (1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值； (2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 【题型11 比较二次根式的大小】 高妙技法 25．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）比较与的大小． 26．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【题型6 分母有理化】 高妙技法 1）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式称为互为有理化因式，即，其中互为有理化因式. 2）分母有理化的思路：分母含根号乘上互为有理化的因式，得到分母不含根号.（易错点：分子漏乘该有理化因式）. 注意：一个二次根式的有理化因式不止一个.例如:的有理化因式可以是，也可以是，这里的a可以是任意有理数. 27．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解决问题： ， 则． 利用这种思想，解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 28．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【题型7 二次根式的应用】 29．（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建两个形状、大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为 米，宽为 米． (1)求长方形的周长（结果化为最简二次根式）． (2)除去修建花坛的地方，其他位置全部修建为通道，通道上要铺上造价为26 元/平方米的地砖．要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少钱? 30．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料： 已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ (4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 31．（15-16八年级上·湖南益阳·期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在中，已知，，，求的面积； （2）计算（1）中的边上的高． 【题型8 与二次根式有关的新定义问题】 32．（2024八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 33．（20-21八年级上·河北唐山·期末）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于4的共轭二次根式，求a的值； (2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值． 34．（23-24九年级上·吉林长春·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求： ① ； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是 ； (3)计算： ． 【题型9 与二次根式有关的规律探究问题】 35．（24-25八年级上·上海·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … (1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________； (3)请你利用发现的规律，计算： 36．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【题型10 带有字母的绝对值化简问题】 37．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． ∴的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：______． (2)解方程：． 提升专练 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简时，特别要关注字母的取值范围，若字母的取值范围不确定，往往需要分类讨论．例如，化简：． (1)当时，原式______；当时，原式______；当时，原式______． (2)由（）可知，此代数式的值随实数取值的变化而变化，当为任意实数时，化简此代数式． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读并回答问题． 已知，求a、b的值． 分析：因为若几个非负数的和为零，则这几个非负数皆为零，所以当一个等式里含有几个未知数时，可将该等式化为几个非负数的和的形式．例如，将方程化为，从而求得．再如，将方程化为，将方程左边配成两个完全平方式的和，从而求得． 试用类似的方法解决下面的问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求a、b、c的值． 3．（24-25八年级下·江西南昌·期中）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【学习新知，类比求解】解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】运用上面的方法解下列方程： （1）；         （2）． 4．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”． （1）任务一：在图①方格中，若要使每一横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则__________，__________； （2）任务二：在如图②的“幻圆”中，若内、外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，求的值． 3 a b 1 2 图① 图② 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴，∴，， ∴．∴． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)________；_______； (2)化简：； (3)若，求的值． 6．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式（其中a，b，c表示三角形的三边长），此公式与古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）提出的海伦公式（其中a，b，c表示三角形的三边长，）如出一辙，所以秦九韶公式与海伦公式实质上是同一个公式，所以我们也称为海伦-秦九韶公式． (1)已知在中，，，，且a，b，c满足． ①______，______，______． ②请你从两个公式中选择一个合适的公式，求出的面积． (2)如图，在中，，，，请你用海伦-秦九韶公式求的面积． 7．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，某乡村有块形状为长方形的空地，长为，宽为，现要在空地上建休闲广场，中间修建长方形的儿童活动区（图中阴影部分），儿童活动区的长为，宽为． (1)求长方形的周长．（结果需要化简） (2)除去儿童活动区，空地的其他地方全部浇筑水泥，求浇筑水泥区的面积． 8．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）在实际练习二次根式的运算时，小明出现了“”的计算错误，下面通过比较与的大小来进行分析： 将，两个式子分别平方． ∵ ， ． ∴ ．（填“>”“<”或“=”） ∴ ．（填“>”“<”或“=”） (1)题干中的四个空依次填 ， ， ， ． (2)参考上面的方法，比较和的大小． 9．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）二次根式的双重非负性体现在以下两个方面：一是二次根式中的被开方数必须满足非负条件，二是二次根式的运算结果始终是非负的．已知实数m满足等式．请利用上述性质解答： (1)求m的取值范围； (2)小智求出的值为2026，他的答案正确吗？为什么？ 10．（24-25七年级下·湖北孝感·阶段练习）（1）当时，化简：______； （2）若，求的值； （3）已知实数a，b满足，求的最大值． 真题感知 一、单选题 1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南·中考真题）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 4．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 5．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 二、填空题 7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 8．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 三、解答题 9．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值：，其中． 10．（2024·上海·中考真题）计算：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 二次根式的有关概念 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 二次根式有意义的条件 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b≥0； 3）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 4）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 知识点 2 二次根式的性质 1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 知识点 3 二次根式的乘除运算 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 积的算术平方根：积的算术平方根等于积的中每个因式的算术平方根的乘积.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 商的算术平方根：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.即 3.最简二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 知识点 4 二次根式的加减运算 1.同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】1）同类二次根式类似于整式中的同类项,如：是同类二次根式. 2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数可以完全互不相同，如：. 3）判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后看被开方数是否相同. 2.二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 【口诀】一化、二找、三合并. 3.合并同类二次根式的方法：合并同类二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 知识点 5 二次根式混合运算 1.内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 2.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 【补充】1）在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用； 2）在二次根式混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质. 3.二次根式运算时的注意事项： 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 知识点 6 二次根式的化简 二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 化简二次根式的步骤: 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【题型1 二次根式的识别】 高妙技法 若一个根式是二次根式，则一定满足被开方数大于或等于0，根指数为2，当被开方数是字母时，要根据字母的取值进行讨论. 1．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键； 形如的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式． 【详解】解：形如的式子叫做二次根式． 在，，，，中， 不含根号，被开方数小于，不符合要求，不是二次根式，其余个是二次根式， 所以，二次根式有个． 故选：C 2．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）给出下列各式：①；②6；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，把形如的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：， 是二次根式，故①符合题意； 6不是二次根式，故②不符合题意； ， 不是二次根式，故③不符合题意； ， ， 是二次根式，故④符合题意； ， 是二次根式，故⑤符合题意； 是三次根式，故⑥不符合题意； 综上所述，二次根式有个， 故选：B． 【题型2 二次根式有意义的条件】 高妙技法 1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 4．（2025八年级下·安徽·专题练习）若，则 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再求解y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵与均有意义， ∴， 解得， ∴， ． 故答案为． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的应用，负整数指数幂的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键． 5．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）已知实数a满足，那么的值是 ． 【答案】2021 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，出现二次根式中有未知数的题，想到二次根式有意义是解题的关键，根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再由的取值范围去绝对值，化简即可得出答案． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：， ， ， 原式可化为：， ， ， ， 故答案为：2021． 【题型3 利用二次根式的性质化简】 高妙技法 ，即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. ①一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为； ②当一个数为负数时，它的平方的算术平方根等于它的相反数，记为. 6．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解答本题的关键．先将被开方数化成分数，然后分子分母同乘以10，使得分母部分可以开平方，而分子部分化成含和的形式，即得答案． 【详解】，， ． 故选：D． 7．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）若为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形的三边关系求出的取值范围，然后对二次根式进行化简求值即可． 【详解】解：由三角形三边关系可知：， ∴，， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 8．（22-23八年级下·山东泰安·期末）已知，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质得，再根据将绝对值化简，即得答案． 【详解】解：原式 ， ， ，， ∴原式 ． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简： 解：由，解得： ∴， ∴原式= (1)按照上面的解法，试化简． (2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． (3)已知a，b，c为的三边长，化简：． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简、绝对值的性质、数轴、三角形的三边关系， （1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简可得； （2）由a、b在数轴上的位置判断出、，再利用二次根式的性质化简即可得； （3）由三角形三边间的关系得出、，再利用二次根式的性质化简可得． 【详解】（1）解：隐含条件， 解得：， ，即， ∴原式 ； （2）解：观察数轴得隐含条件：，，， ∴，， ∴原式 ； （3）解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，， ∴，， ∴原式 ． 【题型4 复合二次根式化简】 10．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 11．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解； （2）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解： ． 12．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型5 最简二次根式与同类二次根式的识别】 高妙技法 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 判断同类二次根式时，先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来加以判断. 注意：1）同类二次根式与根号外的因式无关． 2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数可以完全互不相同，如：. 13．（24-25八年级上·上海·期末）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数的因数是整数，因式是整式，依据此两项要求进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、被开方数含有看得见的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 14．（24-25八年级上·上海崇明·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义：将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．先利用二次根式化简各数，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A．与的被开方数相同，所以两数是同类二次根式，故本选项不符合题意； B．与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式，故本选项不符合题意； C．与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式，故本选项符合题意； D．与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 15．（20-21八年级上·上海长宁·期末）若二次根式与是同类二次根式，则整数可以等于 ．（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据同类二次根式的概念列式计算即可． 【详解】解：∵二次根式与是同类二次根式， ∴可设， 则， ∴， 解得， 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 【题型4 二次根式的混合运算】 高妙技法 1）在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用； 2）在二次根式混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质. 3）二次根式运算时的注意事项： ①结果要化为最简二次根式或整式； ②如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 16．（24-25八年级上·上海·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）关键二次根式加减乘除的混合运算计算即可； （2）根据二次根式混合运算，分母有理化计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）） ． 17．（24-25八年级上·上海崇明·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先逐项化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 18．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及二次根式性质、平方差公式等知识，首先利用二次根式性质化简，再由二次根式混合运算求解即可得到答案．熟练掌握二次根式的性质、二次根式混合运算法则及平方差公式是解决问题的关键． 【详解】解： ． 19．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算分母有理化，完全平方公式，零指数幂和二次根式的除法，然后合并即可． 【详解】 ． 【题型5 与二次根式有关的化简求值问题】 高妙技法 1）二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽. 2)如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简. 3）如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简. 20．（24-25八年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式， 首先根据完全平方公式和平方差公式化简，然后利用二次根式的混合运算法则求解，最后代数求解即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 21．（24-25八年级上·上海·期中）已知实数、使等式成立，请化简代数式，并求代数式的值． 【答案】； 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的混合运算，根据二次根式被开方数的非负性可得、的值，将所求式子化简后代入、的值进行计算即可. 【详解】解：∵ ∴且， ∴， ∴， 当时， 原式 22．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 23．（24-25八年级上·上海·期中）计算：先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，熟知相关计算法则是解题的关键．先计算小括号内的分式加法，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 24．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵ ∴当时， 原式 ． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 (1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值； (2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． （1）仿照小明的做法时，先计算出的值；仿照小丽的做法时，将原式变形为； （2）仿照小明的做法，计算出的值，的值，再将原式变形为，代入求解即可． 【详解】（1）解：仿照小明的做法： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 仿照小丽的做法： ∵ ∴当时， 原式 ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型11 比较二次根式的大小】 高妙技法 25．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）比较与的大小． 【答案】 【分析】观察得代数式的被开方数的差相等，先将代数式转变为分式的形式，比较分式的大小即可求解． 【详解】解：∵， ， 且， ∴． 【点睛】本题考查了代数式的大小比较，解题的关键是借助被开方数的差相等，将代数式转化为分式的形式进行比较． 26．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意求解即可； （2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，． 【详解】（1）解： ； ， 故答案为：，； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型6 分母有理化】 高妙技法 1）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式称为互为有理化因式，即，其中互为有理化因式. 2）分母有理化的思路：分母含根号乘上互为有理化的因式，得到分母不含根号.（易错点：分子漏乘该有理化因式）. 注意：一个二次根式的有理化因式不止一个.例如:的有理化因式可以是，也可以是，这里的a可以是任意有理数. 27．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解决问题： ， 则． 利用这种思想，解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式混合运算，找到有理化因式是解题的关键． （1）根据题意分母有理化即可 （2）根据题意分母有理化即可 （3）根据题意分母有理化，在合并同类二次根式即可 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 28．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1） （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ； （4） ， ， ， 故． 【题型7 二次根式的应用】 29．（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建两个形状、大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为 米，宽为 米． (1)求长方形的周长（结果化为最简二次根式）． (2)除去修建花坛的地方，其他位置全部修建为通道，通道上要铺上造价为26 元/平方米的地砖．要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少钱? 【答案】(1)长方形的周长为米 (2)要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解：（米）， ∴长方形的周长为米． （2） （平方米）， 则（元）， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元． 30．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料： 已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ (4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)自变量时，函数取最大值，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值． （4）分，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6， ∴此时有最大值，最大值为， ∴自变量时，函数取最大值，最大值为． （4）①， ， 又， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为， 此时m有最大值，最大值为， 又，结果分母都为正数， ， ②时， ③，， 又， 当且仅当时，即当时，取最大值，最大值为， 此时m有最小值，最小值为， 又，结果的分母为负数， ， ， 综合①②③得m的取值范围为． 31．（15-16八年级上·湖南益阳·期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在中，已知，，，求的面积； （2）计算（1）中的边上的高． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解； （2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解． 【详解】解：（1）， 所以， 答：的面积是． （2）边上的高， 答：边的高是． 故答案为（1）；（2）． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值． 【题型8 与二次根式有关的新定义问题】 32．（2024八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，求平方根，新定义下的实数运算,二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义及二次根式的化简是解题的关键． （1）根据同类二次根式的定义得出，求出a，再根据平方根的定义求出a的平方根即可； （2）先根据新运算求出，再根据新运算求出的值即可． 【详解】（1）最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得， 的平方根是； （2）， ， ． 33．（20-21八年级上·河北唐山·期末）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于4的共轭二次根式，求a的值； (2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2)-2 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案； （2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案． 【详解】（1）∵a与是关于4的共轭二次根式， ∴． ∴． （2）∵与是关于2的共轭二次根式， ∴． ∴． ∴． 【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． 34．（23-24九年级上·吉林长春·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求： ① ； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是 ； (3)计算： ． 【答案】(1)①，②； (2)； (3)． 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； 故答案为： ②由①得，已知，两式相加得到， ， 即， 则，解得， 经检验，是原方程的根， 即方程的解是； （2）解： 由二根式有意义的条件得到， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【题型9 与二次根式有关的规律探究问题】 35．（24-25八年级上·上海·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … (1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________； (3)请你利用发现的规律，计算： 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】考查了二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来． （1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．由此可求解即可； （2）根据（1）找的规律进行计算即可； （3）根据规律把所求式子先化简二次根式，最后计算期间即可； 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得， （3）解： ． 36．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：等式④：； （2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 【题型10 带有字母的绝对值化简问题】 37．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． ∴的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：______． (2)解方程：． 【答案】(1)2 (2)的值为或7 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，解绝对值方程．掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． （1）根据题意可确定，，从而化简二次根式的性质即可； （2）由阅读材料可知，再分类讨论，结合绝对值的性质，化简即可． 【详解】（1）解：当时，，， ∴． （2）解：原式， 当时，原式，解得，符合条件； 当时，原式，舍去； 当时，原式，解得，符合条件． ∴的值为或7． 提升专练 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简时，特别要关注字母的取值范围，若字母的取值范围不确定，往往需要分类讨论．例如，化简：． (1)当时，原式______；当时，原式______；当时，原式______． (2)由（）可知，此代数式的值随实数取值的变化而变化，当为任意实数时，化简此代数式． 【答案】(1)；；； (2)当时，原式；当时，原式；当时，原式． 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． （）把的值代入求解即可； （）当时，当时，当时三种情况分析即可求解． 【详解】（1）解：当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 故答案为：；；； （2）解：当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 当时， 原式 ； ． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读并回答问题． 已知，求a、b的值． 分析：因为若几个非负数的和为零，则这几个非负数皆为零，所以当一个等式里含有几个未知数时，可将该等式化为几个非负数的和的形式．例如，将方程化为，从而求得．再如，将方程化为，将方程左边配成两个完全平方式的和，从而求得． 试用类似的方法解决下面的问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求a、b、c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式非负数的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式性质． （1）根据，得出，代入，求出结果即可； （2）根据，得出，即可得出，，，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， 解得：，，． 3．（24-25八年级下·江西南昌·期中）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【学习新知，类比求解】解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】运用上面的方法解下列方程： （1）；         （2）． 【答案】，7，7；（1）；（2）无解 【分析】学习新知，类比求解：根据题意补充完整即可； （1）移项得，，根据原题提供的方法进行求解即可； （2）移项得，，根据原题提供的方法进行求解即可． 【详解】学习新知，类比求解：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． 答案为：，7，7 ； 学会转化，解决问题： （1）， 解：移项得，， 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）， 移项， 去根号，两边同时平方得方程， 解这个方程，得， 经检验，不是是原方程的解．原方程无解． 4．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”． （1）任务一：在图①方格中，若要使每一横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则__________，__________； （2）任务二：在如图②的“幻圆”中，若内、外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，求的值． 3 a b 1 2 图① 图② 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二次根式的加法和乘法，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意分别列出关于的方程，求解即可； （2）设小圆与竖线相交的空白区域为，依题意列出关于的方程，求解即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意可得：， 解得：， ， 解得：， 故答案为：，； （2）设小圆与竖线相交的空白区域为，依题意得： ， ∴． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)________；_______； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2)12 (3)4 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是要掌握二次根式的化简规则． （1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先利用得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： 6．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式（其中a，b，c表示三角形的三边长），此公式与古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）提出的海伦公式（其中a，b，c表示三角形的三边长，）如出一辙，所以秦九韶公式与海伦公式实质上是同一个公式，所以我们也称为海伦-秦九韶公式． (1)已知在中，，，，且a，b，c满足． ①______，______，______． ②请你从两个公式中选择一个合适的公式，求出的面积． (2)如图，在中，，，，请你用海伦-秦九韶公式求的面积． 【答案】(1)①，，3；②的面积为 (2)的面积为 【分析】本题主要考查平方，绝对值，算术平方根的非负性，秦九韶公式与海伦公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）①根据平方，绝对值，算术平方根的非负性得到答案即可； ②选择海伦公式进行计算即可； （2）根据题目给出的公式进行计算即可． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：，，3； ②； （2）解： ； 7．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，某乡村有块形状为长方形的空地，长为，宽为，现要在空地上建休闲广场，中间修建长方形的儿童活动区（图中阴影部分），儿童活动区的长为，宽为． (1)求长方形的周长．（结果需要化简） (2)除去儿童活动区，空地的其他地方全部浇筑水泥，求浇筑水泥区的面积． 【答案】(1)长方形的周长为米． (2)浇筑水泥区的面积为平方米． 【分析】本题考查的是二次根式的应用； （1）由长方形的周长公式列式，再化简计算即可； （2）由大的长方形的面积减去小的长方形的面积即可； 【详解】（1）解：米， 答：长方形的周长为米． （2）解：由题意可得： 平方米， 答：浇筑水泥区的面积为平方米． 8．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）在实际练习二次根式的运算时，小明出现了“”的计算错误，下面通过比较与的大小来进行分析： 将，两个式子分别平方． ∵ ， ． ∴ ．（填“>”“<”或“=”） ∴ ．（填“>”“<”或“=”） (1)题干中的四个空依次填 ， ， ， ． (2)参考上面的方法，比较和的大小． 【答案】(1)，7，， (2)，过程见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键． （1）根据完全平方式计算，与比较大小，即可求解， （2）根据完全平方式分别计算和，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴， ∴， 故答案为：，7，，； （2）解：∵，， ∵， ∴， ∴ ∴． 9．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）二次根式的双重非负性体现在以下两个方面：一是二次根式中的被开方数必须满足非负条件，二是二次根式的运算结果始终是非负的．已知实数m满足等式．请利用上述性质解答： (1)求m的取值范围； (2)小智求出的值为2026，他的答案正确吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小智的答案正确，理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的双重非负性，绝对值的化简，熟练掌握二次根式的双重非负性是解题的关键． （1）根据二次根式的双重非负性得到即可得到答案； （2）根据题意得到，解得，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， 故m的取值范围为：； （2）解：小智的答案正确， 理由如下：， ， ， 原式可变形为：， ， ， ， 的值为2026， 小智的答案正确． 10．（24-25七年级下·湖北孝感·阶段练习）（1）当时，化简：______； （2）若，求的值； （3）已知实数a，b满足，求的最大值． 【答案】（1）3；（2）a的值为或6；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质． （1）当时，根据二次根式的非负性可对进行化简，进而即可得到答案； （2）分三种情况讨论，当时，当时，当时，即可求出的值； （3）由题意可得，根据，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，可求出a、b的值，进而即可求出答案． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：3． （2）由可得，， 当时，， 解得； 当时，，不成立； 当时，， 解得； 的值为或6． （3）由题意得， ， 又∵，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， ∴，， 且，， ∴当，时，取最大值为． 真题感知 一、单选题 1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 2．（2024·云南·中考真题）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴的取值范围是． 故选：B． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可． 【详解】解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ ， 故选：A． 4．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 即S在3和4之 间， 故选：C． 5．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 6．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：C 二、填空题 7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 8．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， 解得：， 故答案为：1． 三、解答题 9．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 10．（2024·上海·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算． 【详解】解： ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$