2025年浙江省杭州九年级中考数学17种常见题型 训练

2025年中考数学17种常见题型 浙江杭州萧山中学九年级学生用 ( 第 1 页 共 93 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 中考选择填空题常见 17 种题型解题方法梳理 1、实数相关概念（绝对值、倒数、相反数等）+ 科学计数法 2、角的度量 +多边形内角和、外角和的计算 3、根式、分式有意义的条件与自变量取值范围 4、对顶角相等 + 平行线性质运用+ 三视图读图与选图 5、轴对称图形、中心对称图形的辨别与判断、旋转的性质 6、统计图的解读、统计量的分析与概率计算、概念辨析 7、整式乘法公式（平方差公式与完全平方公式）、因式分解 8、整式计算、指数幂运算 + 二次根式运算 9、找规律：数字规律（简单）、图形（周期）规律 10、几何图形（阴影）面积计算：等面积法转化或者套公式 11、相似三角形的性质运用 + 特殊三角形性质与计算 12、平行四边形、菱形性质判断（1 题，简单）+ 矩形、正方形小命题判断 13、圆周角、圆心角定理角度求解 + 垂径定理的计算（1 题，简单） 圆锥表面积、体积计算 14、方程组的求解、不等式与不等式组的解集、一元二次方程判别式的应用 15、分式方程中的行程（追及相遇）问题与工程问题 16、函数图像的选择：学过的函数图像混合判断 + 问题引出的函数图选择 17、反比例函数k 的几何意义求解与运用 ( 有理数运算+科学计数法 ) 该部分内容为送分题，只要能记住基础知识与概念，都可以做出来。科学计数法上一定要细心。 1、有理数的有关计算 （1） 相反数：符号不同的两个数，互为相反数；0 的相反数还是 0。其中： a、b 互为相反数 a b 0 。 （2） 绝对值 ①定义：数轴上表示某数的点离开原点的距离。 正数的绝对值是其本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数。 a ( 0 )②绝对值可表示为： a a a 0 a 0 或 a 0 a a ( a ) (a 0) (a 0) （3） 倒数：用 1 除以一个数的商，叫做这个数的倒数；乘积为 1 的两个数互为倒数，其中 0 没有倒数； ①若a 0 ，那么a 的倒数是 1 ； ②实数a、b 互为倒数，则a b 1 ； a 2、科学计数法：把一个数或有限小数记成的形式，其中1 a 10 ， n 为整数，这种记数法叫做科学记数法． （1） 原数的绝对值大于 10 时，利用科学记数法，写成a 10n 的形式，注意1 a 10 , n 等于原数的整数位数减 1，也是小数点向左移动的位数，如： 3800 3.8103 ． （2） 原数的绝对值小于 10 时，利用科学记数法，写成a 10n 的形式，注意1 a 10 ， n 等于原数左边第一个非 0 的数字前的所有 0 的个数，是小数点向右移动的位数，如： 0.00038 3.8 104 ． 例题 1 | 10 |； · 4 的倒数是 ； 3 1 的相反数是 ． 5 【解析】根据负数的绝对值等于它的相反数，得| 10 | 10 ； · 4 的倒数是 3 ； 1 的相反数是 1 3 4 5 5 例题 2 中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．某仓库运进面粉 7 吨，记为7 吨，那么运出面粉 8 吨应记为 吨． 【解析】因为题目运进记为正，那么运出记为负．所以运出面粉 8 吨应记为8 吨 例题 3 千百年来的绝对贫困即将消除，云南省95% 的贫困人口脱贫，95% 的贫困村出列，90% 的贫困县摘帽， 1500000 人通过异地扶贫搬迁实现“挪穷窝”，“斩穷根”（摘自 2020 年 5 月 11 日云南日报）．1500000 这个数用科学记数法表示为( ) A．15 106 B．1.5 105 C．1.5 106 D．1.5 107 【解析】科学记数法的表示形式为a 10n 的形式，其中1 a 10 ，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 10 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数．所以1500000 1.5 106 ，选C ． 巩固 1 1 的绝对值是 ． 【解析】| 1| 1 ，1的绝对值是 1 巩固 2 若零上8 C 记作8 C ，则零下6 C 记作 C ． 【解析】根据正数和负数表示相反的意义，如果零上8 C 记作8 C ，那么零下6 C 记作6 C ．故填： 6 巩固 3 在实数3 ，0，1 中，最大的数是 ． 【解析】在实数3 ，0，1 中，最大的数是 1 巩固 4 2020 年“五一”期间，某景点接待游客共 688000 人次，688000 用科学记数法表示为( ) A． 68.8 104 B． 0.688 106 C． 6.88 105 D． 6.88 106 【解析】科学记数法的表示形式为a 10n 的形式，其中1� | a | 10 ，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数．将 688000 用科学记数法表示为6.88 105 ．选C ． 巩固 5 某地举办主题为“不忘初心，牢记使命”的报告会，参加会议的人员有 3451 人，将 3451 用科学记数法表示为 ． 【解析】科学记数法的表示形式为a 10n 的形式，其中1� | a | 10 ，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于 10 时， n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时， n 是负数． 3451 3.451103 ( 指数幂运算+二次根式简单运算 ) 题组二主要考察二次根式的加减乘除运算、二次根式性质运算、指数幂运算、整式乘法公式等简单内容，但是这部分内容由于知识间的相似，容易混淆出错，是典型的易错题，考试时避免出错，4 个选项答案都要判断对错，综合运用排除法选择正确答案。 1、指数幂运算 ① am an amn ：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。逆用公式： amn am an ② am an amn ：同底数幂相除，底数不变，指数相减。逆用公式： amn am an ③ (am )n amn ：幂的乘方，底数不变，指数相乘。逆用公式： amn (am )n (an )m ④ (ab)n an bn ：积的乘方，等于积的因式乘方积。逆用公式： an bn (ab)n ， eg : 25 35 2 35 65 ⑤任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1。即a0 1 ⑥负整数指数幂： p 1 1 p a a p 或 a 注意： 为负指数的易错： 1 1 、 1 2 a 3 3 9 3 2、二次根式的性质与计算: ( a ) ( a 2 )（1）双重非负性： 0 (a 0) ； （2） 二次根式的性质： a 2 a (a 0) ； | a | a (a 0) ； （3） 积的算术平方根的性质： a (a 0) ( ab ) ( a ) b (a 0，b 0) ； （4） ( a b ) ( a b )商的算术平方根的性质： (a 0，b 0) . 3、最简二次根式：满足以下条件的根式叫最简二次根式 （1） 被开方数不含分母（分母中也不能含有根号）； （2） 被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 ( 2 2 )例题 4 下列计算正确的是（ ） A． 22 4 B． 2 C． 46 (2)6 64 D． ( 8 ) ( 2 ) ( 6 ) ( ( 2) 2 )【解析】 A 、(2)2 1 ，所以选项 A 错误， B 、 4 2 ，所以选项 B 错误， C 、46 (2)6 (22 )6 26 212 26 26 64 ，所以选项C 正确； ( 8 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )D 、 2 ，所以选项 D 错误，选C ． 例题 5 下列运算正确的是（ ） A． 1 2 9 3 B． 20180 ( 3 8 ) 1 C． 3a3 2a2 6a(a 0) D． ( 18 ) ( 12 ) ( 6 ) ( 3 8 )【解析】 A 、( 1)2 1 ，错误； B 、20180 ( 3 )3 9 1 (2) 3 ，错误； ( 18 )C 、3a3 2a2 6a(a 0) ，正确； D 、 ( 12 ) 3 2 2 ，错误；选C ( 9 ) ( 3 8 )巩固 6 下列运算正确的是（ ） A． (a 3)2 a2 9 B. a2 a4 a8 C． 3 D． 2 【解析】 A 、(a 3)2 a2 6a 9 ，故错误； B 、a2 a4 a6 ，故错误； ( 9 ) ( 3 8 )C 、 3 ，故错误； D 、 2 ，故正确，选 D ． ( 2 )巩固 7 下列运算正确的是( ) A. ( 2 )3 3 B. a6 a3 a2 C. a2 a3 a5 D．(3a3 )2 9a6 ( 2 )【解析】 A 、由于3 (3 1) 2 3 ，故本选项错误； ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )B 、由于a6 a3 a6 3 a3 a2 ，故本选项错误； C 、由于a2 与a3 不是同类项，不能进行合并同类项计算，故本选项错误； D 、由于(3a3 )2 9a6 ，符合积的乘方与幂的乘方的运算法则，故本选项正确． 巩固 8 下列计算正确的是（ ） A． 2a 3a 6a B. 2a 3 6a3 C. 6a 2a 3a D. (a3 )2 a6 [来源 【解析】 A 、原式 6a2 ，故 A 错误； B 、原式 8a3 ，故 B 错误； C 、原式 3 ，故C 错误； 选 D ． 巩固 9 下列计算正确的是( ) A. a2 a a2 B. a6 a2 a3 C. a2b 2ba2 a2b D. ( 3 )3 2a 9 8a3 【解析】 A 、原式 a3 ，不符合题意； B 、原式 a4 ，不符合题意； C 、原式 a2b ，符合题意； D 、原式 27 ，不符合题意， 8a3 选C ． 巩固 10 下列运算中，正确的是( ) A. ( 5 ) ( 5 ) 2 2 B. 6a4b 2a3b 3ab 2 3 6 3 a a2 2a 1 C． (2a b) 8a b D．  a a 1 1 a ( 5 ) ( 5 ) ( 5 )【解析】 A 、 2 ，此选项错误，不合题意； B 、6a4b 2a3b 3a ，此选项错误，不合题意； C 、(2a2b)3 8a6b3 ，正确； 、 a a2 2a 1 a (1 a)2 ，故此选项错误，不合题意； D   a a 1 1 a a 1 1 a 选 C ( 整式乘法公式与因式分解 ) 题组三主要考察完全平方公式、平方差公式，以及提公因式法，这部分内容记住公式是关键，细节部分主要是符号。因式分解要到最后的结果才有分，所以考试时需要特别注意数字也需要提公因式。 1、整式乘法公式 平方差公式： a2 b2 (a b)(a b) 完全平方公式： (a b)2 a2 2ab b2 以下是常见的变形： a2 b2 (a b)2 2ab (a b)2 2ab (a b)2 (a b)2 4ab 2、因式分解的方法： （1） 提公因式法：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式。把多项式 ma mb mc 分解成两个因式的乘积的形式，即ma mb mc m(a b c) 。 ①用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.如： 2x2 y 6xy2 2xy x 3y ②当多项式第一项的系数是负数时，先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.如： 2 a 2 x 2 a a 2 2 x ③用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为： “＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0 而出现错误。 如： x2 x y y x x y(x2 1) x yx 1x 1 （2） 公式法：利用平方差公式： a2 b2 (a b)(a b) 和完全平方公式： (a b)2 a2 2ab b2 对多项式进行因式分解的方法。如： (2x 3)2 x2 (2x 3 x)(2x 3 x) (3x 3)(x 3) 3(x 1)(x 3) 对多项式可以先用整体法，即先令 A 2x 3, B x ，则上式变为 A2 B 2 ,简单明了，继续用公式法分解因式 A2 B2 ( A B)( A B) 。 （3） 十字相乘法 ：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 ( p q b )对于二次三项式 x2 bx c ，若存在 pq c ，则 x2 bx c x p x q 方法：拆二次项与常数项，交叉相乘和为一次项可用该方法。判断时十字交叉，书写时横向相加再相乘。 3x 2 11x 10 0 3x 2 11x 10 0 举例：1x 3x 2  5x 6x 11x 5 (x 2)(3x 5) 0 例题 6 已知 x 1 6 ，则 x2 1 x x2 （ ） A．38 B．36 C．34 D．32 【解析】把 x 1 6 两边平方得： (x 1)2 x2 1 2 36 ，则 x2 1 34 ，选C x x x2 x2 例题 7 分解因式： m2 n 4n ． 【解析】原式提取n ，再利用平方差公式分解即可．原式 n(m2 4) n(m 2)(m 2) ， 巩固 11 因式分解： x2 1 ． 【解析】原式 (x 1)(x 1) 巩固 12 分解因式： x2 4 ． 【解析】 x2 4 (x 2)(x 2) 巩固 13 分解因式：x2﹣2x+1＝ ． 【解析】 x2 2x 1 (x 1)2 巩固 14 项式 可分解为 x 5 x b ，则a , b 的值分别为 . 【解析】 x 5 x b x2 5 b x 5b ，所以5 b 3, b 2 ， a 5b, a 10 . 巩固 15 分解因式： a3 a2 a 1 ＝ . 【解析】a3 a2 a 1 a2 a 1 a 1 a 12 a 1 ( 第 10 页 共 93 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 巩固 16 将下列各式分解因式： （1） x2 y2 7xy 10 （2） a b2 4a b 3 【解析】（1） x2 y2 7xy 10 xy 2 xy 5 ；（2） a b2 4 a b 3 a b 1a b 3 . 巩固 17 若m 1 3 ，则m2 1 ． m m2 【解析】把m 1 3 两边平方得： (m 1 )2 m2 1 2 9 ，则m2 1 7 ，故答案为：7 m m m 2 m2 巩固 18 已知a b m, ab 4 ，化简(a 2)(b 2) 的结果是（ ） A． 6 B． 2m 8 C. 2m D. 2m 【解析】原式按多项式乘法运算后为ab 2(a b) 4 ，再将a b m, ab 4 代入，可得－2m． 巩固 19 若非零实数a, b 满足4a2 b2 4ab ，则 b = ． a 【解析】将原式改写为4a2 4ab b2 0 ，所以(2a b)2 0 ，可求出b=2a． ( 统计图解读与统计量分析与概率 ) 1、统计调查方法：全面调查（即普查）和抽样调查． 全面调查与抽样调查的优缺点： ①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查； ②抽样调查有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度． ③选取调查方法主要依据是调查对象的重要性，和样本容量没有联系。例如人口普查，经济普查等。 2、统计学中的几个基本概念： ①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体； ②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体； ③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本； ④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．（只是个数字， 没有单位） ⑤样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 ⑥总体平均数：总体中所有个体的平均数叫，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。 3、统计数据处理 （1） 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 （2） 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 （3） 平均数：对于n 个数 x ,x ,x ，我们把 1 x x x 叫做这n 个数的平均数 x ； 1 2 n n 1 2 n （4） 方差：在一组数据 x1,x2 , xn 中，各数据与它们的平均数 x 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。用 “ S 2 ”表示。即S 2 1 x x2 x x2 x · x2 1 x 2 x 2 x 2 x2 方差主要体现数据的稳定性，方差 n 1 2 越小，越稳定。 n n 1 2 n 4、概率的概念与辨析 （1） 必然事件:那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件． 不可能事件：那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件． 随机事件:无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件． （2） 概率与频率的区别： ①求一个事件概率的基本方法是通过大量的重复实验，但是实验结果（频率）不代表概率； ②当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事件 A 的概率； ③概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值。二者没有必然联系，概率是可能性，频率是实验结果； ④概率反映了随机事件发生的可能性的大小； 例题 8 下列判断正确的是（ ） A. 甲乙两组学生身高的平均数均为1.58 ，方差分别为S 2 2.3 ， S 2 2.3 ，则甲组学生的身高较整齐 甲 乙 B. 为了解七年级4000 名学生期中数学成绩，从中抽取100 名学生进行调查，这个问题中样本容量为4000 C. 在“童心向党，阳光下成长”合唱比赛中， 30 个参赛队成绩如下表，则这30 个参赛队成绩中位数是9.7 D. 有13 名同学出生于2003 年，那么在这个问题中“至少有两名同学出生在同一个月”属于必然事件 【解析】 A 、甲乙两组学生身高的平均数均为 1.58，方差分别为S 2 2.3 ， S 2 1.8 ， 甲 乙 则乙组学生的身高较整齐，故此选项错误； B 、为了了解某县七年级 4000 名学生的期中数学成绩，从中抽取 100 名学生的数学成绩进行调查，这个问题中样本容量为 100，故此选项错误； C 、在“童心向党，阳光下成长”合唱比赛中，30 个参赛队的决赛成绩如下表： 比赛成绩/ 分 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 参赛队个数 9 8 6 4 3 则这 30 个参赛队决赛成绩的中位数是 9.6，故此选项错误； D 、有 13 名同学出生于 2003 年，那么在这个问题中“至少有两名同学出生在同一个月”属于必然事件，正确．选 D ． 例题 9 2017 年12 月8 日，以“玉汝于成，溪达四海”为主题的 2017 一带一路数学科技文化节•玉溪暨第10 届全国三维数字化创新设计大赛（简称“全国3D 大赛”）总决赛在玉溪圆满闭幕．某学校为了解学生对这次大赛的了解程度，在全校1300 名学生中随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅统计图．下列四个选项错误的是（ ） A．抽取的学生人数为50 人 B．“非常了解”的人数占抽取的学生人数的12% C． a 72 ° D．全校“不了解”的人数估计有428 人 【解析】抽取的总人数为6 10 16 18 50 （人) ，故 A 正确， “非常了解”的人数占抽取的学生人数的 6 50 12% ，故 B 正确， 360 10 72 ，故正确， 50 全校“不了解”的人数估计有1300 18 468 （人) ，故 D 错误，选 D ． 50 巩固 20 某校随机抽查 10 名参加 2016 年云南省初中学业水平考试学生体育成绩，得到结果如表： 成绩（分） 46 47 48 49 50 人数（人） 1 2 1 2 4 下列说法正确的是（ ） A．这10 名同学的体育成绩的众数为 50 B．这10 名同学的体育成绩的中位数为 48 C．这10 名同学的体育成绩的方差为 50 D．这10 名同学的体育成绩的平均数为 48 【解析】10 名学生的体育成绩中 50 分出现的次数最多，众数为 50； 第 5 和第 6 名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为： 49 49 49 ； 2 平均数 46 2 47 48 2 49 4 50 48.6 ， 10 方差 1 [(46 48.6)2 2 (47 48.6)2 (48 48.6)2 2 (49 48.6)2 4 (50 4 8.6)2 ] 50 ； 10 选项 A 正确， B 、C 、 D 错误；选 A ． 巩固 21 某学习小组9 名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如表： 人数（人） 1 3 4 1 分数（分） 80 85 90 95 那么这9 名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ） A． 90 ， 90 B． 90 ， 85 C． 90 ， 87.5 【解析】在这一组数据中 90 是出现次数最多的，故众数是 90； D． 85 ， 85 排序后处于中间位置的那个数是 90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 90；选： A ． 巩固 22 某校九年级体育模拟测试中，六名男生引体向上的成绩如下（单位：个） :10 、6、9、11、8、10， 下列关于这组数据描述正确的是( ) A．极差是 6 B．众数是 10 C．平均数是 9.5 D．方差是 16 【解析】（A）极差为11 6 5 ，故（A）错误； （B）根据出现次数最多的数据是 10 可得，众数是 10，故（B）正确； （C）平均数为(10 6 9 11 8 10) 6 9 ，故（C）错误； （D）方差为 1 [(10 9)2 (6 9)2 (9 9)2 (11 9)2 (8 9)2 (10 9)2 ] 8 6 3 ，故（D）错误．选 B ． 巩固 23 下列说法正确的是（ ） A．要了解某公司生产的100 万只灯泡的使用寿命，可以采用抽样调查的方法 B．4 位同学数学期末成绩分别为100、95、105、110 ，则这四位同学数学期末成绩的中位数为100 C. 甲乙两人各自跳远10 次，若他们跳远成绩平均数相同，甲乙跳远成绩的方差分别为0.51 和0.62 D. 某次抽奖活动中，中奖的概率为 1 表示每抽奖50 次就有一次中奖 50 【解析】 A 、要了解灯泡的使用寿命破坏性极大，只能采用抽样调查的方法，故本选项正确； B 、 4 位同学的数学期末成绩分别为 100、95、105、110，则这四位同学数学期末成绩的中位数为 102.5，故本选项错误； C 、甲乙两人各自跳远 10 次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差不能确定， 故本选项错误； D 、某次抽奖活动中，中奖的概率为 1 50 表示每抽奖 50 次可能有一次中奖，故本选项错误选： A ． 巩固 24 下列说法正确的是( ) A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查 B．任意画一个三角形，其内角和是360 是必然事件 C. 甲、乙两名射击运动员 10 次射击成绩（单位：环）的平均数分别为x 、x ，方差分别为s2 、s2 ，若 x x ， s2 0.4 ， s2 2 ，则甲的成绩比乙的稳定 甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙 D. 一个抽奖活动中，中奖概率为 1 20 ，表示抽奖 20 次就有 1 次中奖 【解析】了解三名学生的视力情况，由于总体数量较少，且容易操作，因此宜采取普查， A 不符合题意； 任意画一个三角形，其内角和是360 是不可能事件，因此选项 B 不符合题意； 根据平均数和方差的意义可得选项C 符合题意； 一个抽奖活动中，中奖概率为 1 20 ，表示中奖的可能性为 1 20 ，不代表抽奖 20 次就有 1 次中奖， D 不符合 选 C 巩固 25 下列判断正确的是( ) A．北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查B．一组数据 6，5，8，7，9 的中位数是 8 C. 甲、乙两组学生身高的方差分别为S 2 2.3 ， S 2 1.8 ．则甲组学生的身高较整齐 甲 乙 D. 命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题 【解析】 A ．北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择全面调查，所以 A 选项错误； B ．一组数据 6，5，8，7，9 的中位数是 7，所以 B 选项错误； C ．甲、乙两组学生身高的方差分别为 S 2 2.3 ， S 2 1.8 ．则乙组学生的身高较整齐， C 选项错误； 甲 乙 D ．命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题， 巩固 26 某中学九年级甲、乙两个班参加了一次数学考试，考试人数每班都为 40 人，每个班的考试成绩分为 A、B、C、D、E五个等级，绘制的统计图如图： 根据以上统计图提供的信息，则D等级这一组人数较多的班是 ． 【解析】由题意得：甲班 D 等级的有 13 人，乙班 D 等级的人数为40 30% 12 （人) ， 13 12 ，所以 D 等级这一组人数较多的班是甲班 ( 角的度量与多边形内角和外角和计算 ) 1、三角形内角和定理：三角形的内角和为180 o 推论：三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。 2、多边形的有关计算 ①多边形内角和 (n 2) 180o 。若正多边形每个内角为，则有n (n 2) 180o ②多边形外角和 360o 。若正多边形每个外角为，则有n 360o ③多边形对角线条数 n(n 3) 2 例题 10 一个多边形的边数为 6，则这个多边形的内角和为 o ． 【解析】根据题意得，180(6 2) 720 故答案为：720 例题 11 如图 1，过直线 AB 上一点O 作射线OC ， BOC 29o18 ，则AOC 的度数为 ． 【解析】BOC 2918 ，AOC 的度数为：180 2918 15042 ．故答案为：15042 ． 巩固 27 已知一个多边形的内角和是900o ，则这个多边形是（ ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【解析】设这个多边形是n 边形，则(n 2)180 900 ，解得： n 7 ，即这个多边形为七边形．选C ． 巩固 28 若一个正多边形的内角和为720 ，则这个正多边形的每一个内角是( ) A． 60 B． 90 C．108 D．120 【解析】(n 2) 180 720 ， n 2 4 ， n 6 ．则这个正多边形的每一个内角为720 6 120 ．选 D 巩固 29 一个十二边形的内角和等于（ ） A．2160° B．2080° C ．1980° D．1800° 【解析】十二边形的内角和等于： (12 2)180 1800 ；选 D ． 巩固 30 如图 2 在AOC 中， OB 交 AC 于点 D ，量角器摆放如图所示，则CDO 的度数为（ ） A. 90o B. 95o C. 0o D. 0o 【解析】CO AO ， AOC 130 ，CAO 25 ， 又AOB 70 ，CDO CAO AOB 25 70 95 ，选 B ( 平行线性质与平行线分线段成比例的应用 ) 1、性质与判定 ①性质：两直线平行 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 ②判定：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 两直线平行 例题 12 如图，直线a // b ，直线c 与直线a、b 分别相交于 A、B 两点，若1 60 ，则∠2= ． 【解析】直线a / /b ， 1 60 ，1 3 60 ．2 与3 是对顶角，2 3 60 ( AD )例题 13 如图，在ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 上的点，若 DE // BC ， AB 【解析】 DE / / BC ，ADE∽ABC ， AD AD DE AE 1 1 ，则 AD DE AE ． 3 AB BC AC AB AB BC AC 3 巩固 31 如图， AB // CE ， BF 交CE 于点 D ， DE DF ， F 20o ，则B 的度数为 ． 【解析】 DE DF ， F 20 ，E F 20 ，CDF E F 40 ，  AB / /CE ，B CDF 40 巩固 32 如图，已知 AB // CD ，若 AB 1 ，则 OA ． CD 4 OC 【解析】 AB / /CD ，AOB∽COD ， OA AB 1 OC CD 4 巩固 33 如图，若AB∥CD，∠1＝40 度，则∠2＝ 度． 【解析】 AB / /CD ， 1 40 ，3 1 40 ，2 180 3 180 40 140 ．故答案为：140． ( 轴对称图形、中心对称图形与三视图的判别 ) 1、三视图 一物体在三个投影面内进 长对正高平齐宽相等 行正投影，在正面得到的 的视图叫主视图；在水平 三视图 面得到的叫俯视图；在侧 面内得到的视图叫左视 图.主视图、左视图、俯视 图叫做物体的三视图. ( 第 20 页 共 93 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 2、常见几何体的三视图 主视图 俯视图 左视图 球 圆柱 圆锥 正方体 3、轴对称与中心对称 中心对称 图 形 定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做 中心对称图形，这个点叫做对称中心。 轴对称图 形 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一 个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称， 两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称 线段。 轴对称性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等 ( 形； ②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线。 ) 例题 14 一个几何体的主视图、左视图、俯视图是半径相等的圆，则这个几何体是（ ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体 【解析】主视图、俯视图和左视图都是圆的几何体是球． 例题 15 下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意． 巩固 34 右侧所给几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【解析】由几何体可得：圆锥 的俯视图是圆，且有圆心．选 B． 巩固 35 下面长方体的主视图（主视图也称正视图）是（ ） A． B． C． D． 【解析】长方体的主视图（主视图也称正视图）是 巩固 36 下列图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥 【解析】由主视图以及左视图可知这是一个锥体，再根据俯视图可知是一个圆锥，故选 D． 巩固 37 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．三角形 B．菱形 C．角 D．平行四边形 【解析】A、三角形不一定是轴对称图形和中心对称图形，故本选项错误； B、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确； C、角是轴对称图形但不一定是中心对称图形，故本选项错误； D、平行四边形是中心对称图形但不一定是轴对称图形，故本选项错误，故选 B． 巩固 38 下列几何体的左视图为长方形的是（ ） A． B． C． D． 【解析】A．球的左视图是圆；B．圆台的左视图是梯形； C．圆柱的左视图是长方形；D．圆锥的左视图是三角形．故选 C． 巩固 39 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【解析】A、此图形旋转 180°后不能与原图形重合，∴此图不是中心对称图形，是轴对称图形，故 A 错； B、此图形旋转 180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此项正确； C、此图形旋转 180°后与原图形不重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； D、此图旋转 180°后不能与原图形重合，∴此图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误． ( 解三角形 ) 1、相似三角形的性质与判定 （1） 性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例； ②对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比； ③相似三角形面积比等于相似比的平方。 （2） 判定：①两个角对应相等，两个三角形相似。 ②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似. ③三边对应成比例，两个三角形相似。 2、特殊三角形性质 特殊三角形 等腰 性质 ①等腰三角形是轴对称图形 ②等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) ③等腰三角形的顶角平分线、底边中线、高线相互重合(三线合一) 等边 性 质 等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个 角都等于 60°。等边三角形三线合一 直角 性质 ①直角三角形的两锐角互余。 ②在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 ④勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长 a、b 的平方之和一定等于斜边长c 的平方，即a2 b2 c2 。 实记 勾 ( 股数 ) 3、解三角形的方法 定 义 由三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解三角形。 边角五元素之间的关系 设在 RtABC 中， C 90o ， A 、B 、C 所对的边分别为a、b、c ， 则有：①三边之间的关系： a2 b2 c2 (勾股定理)； ②锐角之间的关系： B C 90o ③边角的关系： sin A a 、cos A b 、tan A a ； c c b ④ S 1 ab 1 ch ， h 斜边的高 ABC 2 2 一般过程 ①弄清题中名词、术语意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；②将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题； ③根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形；④得出数学问题的答案并检验答案 是否符合实际意义，得出实际问题的解. 非直角三角形中恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形 例题 16 如图， D 是ABC 的边 BC 上一点， AB 4 ， AD 2 ， DAC B ．如果ABD 的面积为 15，那 么ACD 的面积为（ ） A．15 B．10 C． 15 D．5 2 【解析】DAC B ， C C ，ACD∽BCA ， AB 8 ， AD 4 ， ACD 的面积： ABC 的面积 ( AD )2 1: 4 ，ACD 的面积： ABD 的面积 1: 3 ， AB ABD 的面积为 15，ACD 的面积 5 ．选 D ． ( 34 )例题 17 在ABC 中， AB 【解析】有两种情况： ， AC 5 ，若 BC 边上的高等于3 ，则 BC 边的长为 ． ① 如图 1， AD 是ABC 的高，ADB ADC 90 ，由勾股定理得： ( AB 2 AD 2 ) ( ( 34) 2 3 2 )BD 5 ， CD 4 ， BC BD CD 5 4 9 ( AC 2 AD 2 ) ( 5 2 3 2 )② 如图 2，同理得： CD 4 ， BD 5 ， BC BD CD 5 4 1 ，综上所述， BC 的长为 9 或 1； 巩固 40 在 RtABC 中， C 90o ， AC 1 ， BC 3 ，则A 的正切值为（ ） A． 3 B． 1 C． 3 10 D． 3 10 10 10 【解析】∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=3，∴∠A 的正切值为 BC 3 =3，故选 A． AC 1 巩固 41 如图：在ABC 中， AB 13 ，BC 12 ，点 D ，E 分别是 AB ，BC 的中点，连接 DE ，CD ，如果 DE 2.5 ， 那么ACD 的周长是 ． 【解析】 D ， E 分别是 AB ， BC 的中点， AC 2DE 5 ， AC / / DE ， AC 2 BC 2 52 122 169 ， AB2 132 169 ， AC 2 BC 2 AB2 ，ACB 90 ，  AC / / DE ， DEB 90 ，又 E 是 BC 的中点，直线 DE 是线段 BC 的垂直平分线， DC BD ， ACD 的周长 AC AD CD AC AD BD AC AB 18 巩固 42 如图， AB AC ， AE EC CD ， A 60 ，若 EF 2 ，则 DF ( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】如图，过点 E 作 EG BC ，交 BC 于点G  AB AC ， A 60 ABC 是等边三角形，ACB 60 ， EC CD CED CDE 1 ACB 30 ，AEF 30 ，AFE 90 ，即 EF AB 2 ABC 是等边三角形， AE CE ， BE 平分ABC ， EG EF 2 在RtDEG 中， DE 2EG 4 ， DF EF DE 2 4 6 ，选 D ． 巩固 43 如图，在ABC 中，B 90 ， AB 6 ， BC 8 ， AD 为BAC 的角平分线，则三角形 ADC 面积为( ) A．3 B．10 C．12 D．15 ( 第 30 页 共 93 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 ( 6 2 8 2 )【解析】作 DH AC 于 H ，如图，在RtABC 中， B 90 ， AB 6 ， BC 8 ， AC  AD 为BAC 的角平分线， DB DH ， 1 AB CD 1 DH AC ， 2 2 10 ， 6(8 DH ) 10DH ，解得 DH 3 ， S ADC 1 10 3 15 ．选 D ． 2 ( 3 )巩固 44 如图，为了测得电视塔的高度 AB ，在 D 处用高为 1 米的测角仪CD ，测得电视塔顶端 A 的仰角为30 ， 再向电视塔方向前进 100 米达到 F 处，又测得电视塔顶端 A 的仰角为60 ，则这个电视塔的高度 AB （单位： 米）为( ) ( 3 )A． 50 B．51 C． 50 1 D．101 ( 3 )【解析】设 AG x ，在RtAEG 中，tan AEG AG ， EG AG EG 3 x ， 3 在RtACG 中，tan ACG AG ，CG CG x ( 3 )tan 30 3x ， 3x 3 x 100 ， 3 ( 3 )解得： x 50 ．则 AB (50 1) 米．选C ． ( 2 )巩固 45 在ABC 中， AB 12 ， AC 13 ， cos B 2 ，则 BC 边长为( ) 2 A．7 B．8 C．8 或 17 D．7 或 17 【解析】cosB 2 ，B 45 ， 2 ( 2 )当ABC 为钝角三角形时，如图 1， AB 12 ， B 45 ， AD BD 12 ， AC 13 ，由勾股定理得CD 5 ， BC BD CD 12 5 7 ； 当ABC 为锐角三角形时，如图 2， BC BD CD 12 5 17 ，选 D ． ( 15 ) ( 2 ) ( 113 )巩固 46 如图，在ABC 中， C 90 ， D 是 BC 边上一点， ADC 3BAD ， BD 4 ， DC 3 ．则 AB 为( ) ( 2 )A. 5 3 B． 2 2 C． 7 D． 【解析】如图，延长CB 到 E ，使得 BE BA ．设 BE AB a ．  BE BA ，E BAE ，ADC ABD BAD 2E BAD 3BAD ， BAD E ，ADB EDA ，ADB∽EDA ， AD DB ， ED AD ( 15 ) ( 15 ) AD2 4(4 a) 16 4a ， AC 2 AD2 CD2 AB2 BC 2 ，16 4a 32 a2 72 ， ( 15 )解得a 2 2 或2 2 （舍弃）． AB 2 2 ，选 B ． ( 四边形中的有关计算 ) 平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 性质 ①对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、邻角互补 ② S平行四边形 底高 判定 ①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等（平行）的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 矩 形 定义 有一个角为90o 的平行四边形叫做矩形 性质 ①对角线相等、3 个内角为直角 ② S矩形＝长宽 判定 ①有一（三）个角是直角的平行四边形（四边形）是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形。 菱 形 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 性质 ①四边相等、对角线平分对角 ②对角线互相垂直且平分 ③菱形面积 = 对角线乘积的一半 判定 ①有一组邻边（四边）相等的平行四边形（四边形）是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③对角线平分对角的平行四边形是菱形。 正方形 定义 4 条边相等 4 个角为直角的四边形叫做矩形 性质 ①四边相等，四个角都为90o ②对角线互相垂直、相等且互相平分。 ③ S = 1 正方形 边长×边长＝ 2 ×对角线×对角线 判定 ①对角线垂直且相等的平行四边形是正方形 ②邻边相等（对角线互相垂直）的矩形是正方形 ③有一个角是直角（对角线相等）的菱形是正方形 例题 18 如图 1， E、F、G、H 是矩形 ABCD 各边中点, AB 6 ， BC 8 ，则四边形 EFGH 的面积是 ． 【解析】 E ， F ， G ， H 分别是矩形 ABCD 各边的中点， AB 6 ， BC 8 AH DH BF CF 8 ， AE BE DG CG 3 AE DG 在AEH 与DGH 中， A D AH DH ，AEH DGH (SAS ) 同理可得AEH DGH CGF BEF S四边形EFGH S矩形ABCD · 4S AEH 6 8 4 1 3 4 48 24 24 2 ( 3 )例题 19 在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4 ，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 ． ( 3 )【解析】过 D 作 DE AB 于 E ，在RtADE 中，A 30 ， AD 4 ( 3 ) DE 1 AD 2 2 ( BD 2 DE 2 ) BE ， AE 3 AD 6 ，在RtBDE 中， BD 4 2 ( 4 2 (2 3) 2 ) 2 ( 3 )如图 1， AB 8 ，平行四边形 ABCD 的面积 ABDE 8 2 3 16 ( 3 ) ( 3 )如图 2， AB 4 ，平行四边形 ABCD 的面积 ABDE 4 2 8 巩固 47 如图，在矩形 ABCD 中，AD 10 ，CD 6 ，E 是CD 边上一点，沿 AE 折叠ADE ，使点 D 恰好落在 BC 边上的 F 处， M 是 AF 的中点，连接 BM ，则sin ABM ． 【解析】在矩形 ABCD 中， AD 10 ， CD 6 ，沿 AE 折叠ADE ，使点 D 恰好落在 BC 边上的 F 处， ( AF 2 AB 2 ) AD AF 10 ， BF 8 ，  M 是 AF 的中点， ABF 90 ， AM MF BM ， ABM BAF ， 则 sin ABM sin BAF BF 8 4 AF 10 5 巩固 48 如图 2，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且 AB＝5，BC＝13，CA＝ 12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（ ） A．4 B．6.25 C．7.5 D．9 【解析】 AB 5 ， BC 13 ， CA 12 ， AB2 CA2 BC 2 ，ABC 为直角三角形， A 90 ，  AB 、 AC 与O 分别相切于点 E 、 F OF AB ， OE AC ，四边形OFAE 为正方形， 设OE r ，则 AE AF r ， ABC 的内切圆O 与 BC 、CA 、 AB 分别相切于点 D 、 E 、 F BD BF 5 r ， CD CE 12 r ，5 r 12 r 13 ， r 5 12 13 2 ， 2 阴影部分（即四边形 AEOF ) 的面积是2 2 4 ．选 A 巩固 49 如图，在 ABCD 中，以 A 为圆心， AB 长为半径画弧交 AD 于 F ．分别以点 F ， B 为圆心，大于 1 BF 长 2 为半径作弧，两弧交于点G ，作射线 AG 交 BC 于点 E ，若 BF 6 ， AB 5 ，则 AE 的长为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 【解析】如图，设 AE 交 BF 于点O ． 由作图可知： AB AF ， AE BF ，OB OF ， BAE EAF ， 四边形 ABCD 是平行四边形， AD / / BC ，EAF AEB ，BAE AEB ， AB BE AF ， AF / / BE ，四边形 ABEF 是平行四边形，  AB AF ，四边形 ABEF 是菱形，OA OE ， OB OF 3 ， ( AB 2 OB 2 ) ( 5 2 3 3 )在RtAOB 中，AOB 90 ，OA 4 ， AE 2OA 8 ．选C ． 巩固 50 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点O ， AE BD ，垂足为 E ， AE 3 ， ED 3BE ，则 AB 的值为( ) ( 3 ) ( 3 )A．6 B．5 C． 2 D． 3 【解析】四边形 ABCD 是矩形，OB OD ， OA OC ， AC BD ，OA OB ， BE : ED 1: 3 ， BE : OB 1: 2 ， AE BD ， AB OA ，OA AB OB ，即OAB 是等边三角形， ABD 60 ， AE BD ， AE 3 ， AB AE 2 ( 3 )cos 30 ，选C ( 扇形面积与圆锥、圆柱表面积、体积 ) 内 容 图 示 扇 形 弧长公式： no l 2 R 360o 面积公式： no 1 S R2 lR 360o 2 圆 锥 圆锥展开：侧面展开图是扇形，底面是圆。 AC 为扇形半径，也叫圆锥母线长。 圆锥2 个考点： ①侧面展开图中：扇形弧长=底面圆周长。即： l 2r ②在圆锥内由勾股定理有： R2 h2 r 2 S S S r(R r) V 1 S h 1r 2h 表 侧 底 锥 3 底 3 圆 柱 圆柱展开：侧面展开图时长方形，上底和下底时圆。 2 S表 S侧 2S底 2rh 2r 2r(h r) 2 V柱 S底h r h 例题 20 如图 1，边长为 4 的正方形 ABCD 外切于⊙ O ，切点分别为 E、F、G、H ．则图中阴影部分的面积为 ． 【解析】如图，连接 HO ，延长 HO 交 BC 于点 P ，正方形 ABCD 外切于O A B AHP 90 ，四边形 AHPB 为矩形，OPB 90 又OFB 90 ，点 P 与点 F 重合,则 HF 为O 的直径，同理 EG 为O 的直径由D OGD OHD 90 且OH OG 知，四边形 BGOH 为正方形 同理四边形OGCF 、四边形OFBE 、四边形OEAH 均为正方形 DH DG GC CF 2 ， HGO FGO 45 ( GC 2 CF 2 ) ( 2 )HGF 90 ， GH GF 2 则阴影部分面积 1 S 2 O · SHGF 1 22 1 2 2 2 ( 2 )2 2 2 4 例题 21 已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若圆锥的体积等于9 3，则这个圆锥的高等于（ ） ( 3 )A． 5 3 B. 5 ( h 2 r 2 ) ( h 2 r 2 ) ( h 2 r 2 )法一：设圆锥高为 h，底面圆半径为 r，则母线= 底面圆周长为2r ，而展开图中扇形半径=母线= 故2r ( 3 ) ( 3 3 9 ) ( 3 3 )4r 2 h2 r 2 C. 3 3 D. 3 ( 3 )，并且展开图中弧长为2r ， ( 3 8 3 ) ( 3 9 ) ( 2 )r 2 h h3 34 ( 3 )3 ( 3 ) 1r 2h 9 3,h3 81 3 h 3 ( 3 3 9 )法二：利用一个结论， 圆锥展开图如果是半圆，则圆锥的母线是底面半径的 2 倍。这个方法可以先算出 h2 3r 2 , 从而h 3r 再利用 1r 2h 9 3，算出r 3 ，进一步可得h 3 ( 3 )[ 3 例题 22 如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位： cm) ，则这个几何体的侧面积为( ) A. 48cm2 B. 24cm2 C. 2cm2 D. 9cm2 【解析】由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为 8，底面圆的直径为 6， 所以这个几何体的侧面积 1 6 8 24(cm2 ) ．选 B ． 2 巩固 51 圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为6 ，16的长方形，那么这个圆柱的体积等于 ． 【解析】① 底面周长为 6 高为16， ( 6 )2 16 9 2 2 16 144 ； ② 底面周长为16高为 6， 16 2 6 64 6 384． ( ( ) )2 答：这个圆柱的体积可以是 144 或384．故答案为：144 或384． 巩固 52 一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为4的圆，那么它的左视图的高是 ． 【解析】设圆锥的底面圆的半径为r ，则r 2 4，解得r 2 ，因为圆锥的主视图是等边三角形， ( 4 2 2 2 ) ( 3 )所以圆锥的母线长为 4，所以它的左视图的高 2 ．故答案为2 3 ． 巩固 53 一个圆锥的侧面展开图是半径为 8 的半圆，则该圆锥的全面积是（ ） A．48π B．45π C．36π D．32π 【解析】侧面积是： 1r 2 1 82 32底面圆半径为： 2 8 2 4 ， 2 2 2 底面积 42 16，故圆锥的全面积是： 32 16 48．选 A ． 巩固 54 若扇形面积为3，圆心角为60 ，则该扇形的半径为( ) A．3 B．9 C． 2 3 D． 3 2 ( 60 r )2 【解析】扇形的面积 3．解得： r 3 2 ．选 D ． 360 巩固 55 已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的侧面积是( ) A. 0cm2 B. 0cm2 C. 65cm2 D. 60cm2 【解析】这个圆锥的侧面积 1 2 5 13 65(cm2 ) ，选C ． 2 巩固 56 一个圆锥的底面半径为 4．侧面展开图是半径为 8 的扇形，则该圆锥的侧面积是( ) A． 8 B．16 C． 32 D． 48 【解析】圆锥的底面半径为 4，圆锥的侧面展开扇形的弧长为8， 侧面展开扇形的半径为 8，该圆锥的侧面积为 1 lr 1 8 8 32，选C ． 2 2 巩固 57 如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径 AB 12cm ，高 BC 8cm ，则这个零件的表面积是( ) ( 第 40 页 共 93 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 A. 2cm2 B. 6cm2 C． 228cm2 D． 232cm2 【解析】易得圆锥的底面半径为6cm ， 高为8cm ，圆锥的母线长为10cm ，圆锥的侧面积 6 10 60 圆柱的侧面积 12 8 96，圆柱的底面积 36 36 零件的表面积 60 96 36 192cm2 ．选 A 巩固 58 如图，圆锥的底面半径r 6 ，高h 8 ，则圆锥的侧面积是( ) A．15 B． 30 C． 45 D． 60 ( h 2 r 2 ) ( 6 2 8 2 )【解析】圆锥的母线l 10 ， 圆锥的侧面积 106 60，选 D ． 巩固 59 已知圆锥的底面半径为 3，侧面展开图的圆心角为180 ，则圆锥的母线长是( ) ( 2 )A．6 B． 3 【解析】设母线长为 R ， C. 3 2 D．9 由题意得： 2 3 180 R ，解得： R 6 ， 180 选 A ． 巩固 60 如图所示，扇形 AOB 中， AOB 130 ，点C 为OA 中点， OA 10 ， CD AO 交 AB 于 D ，以OC 为半径画CE 交OB 于 E ，则图中阴影部分面积为 ． 【解析】如图，连接OD ． CD OA ， AC OC ， OAO 2OC ，CDO 30 ，COD 60 ， S阴 S扇形OAB S扇形OCE S扇形OAD SOCD ( 5 5 3) ) ( ( ) 130102 13052 60102 1 360 360 360 2 25 3 125 2 12 ( 圆周角、圆心角定理与垂径定理 ) ( 内 容 图 示 圆心 角 定 理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 圆周角定理 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半。 如图： ACB ADB 1 AOB 2 推论 1：半圆 （或直径 ） 所对的圆周角是直角， 90 o 的 圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）。 如图： ACB 90 o 推论 2：圆内接四边形的对角互补。 如图： A BCD 180 o ， DCE A ． )1、圆在选择填空中的考察主要以圆周角和圆心角定理为主，做题时，圈画关键词，并且抓准圆心角、圆周角是关键。 2、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分 垂径 弦所对的两条弧。 定理 推论：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧。 例题 23 如图， AB 为⊙ O 的直径， AB 6 ， AB CD ，垂足为G ， EF 切⊙ O 于点 B ，A 30o ，连接 AD 、 OC 、 BC ，下列结论不正确的是（ ） A. EF // CD C． CG DG B. COB 是等边三角形 D．弧 BC 的长为 3 2 【解析】 AB 为O 的直径， EF 切O 于点 B ， AB EF ，又 AB CD ， EF / /CD ， A 正确；  AB 弦CD ， BC BD ，COB 2A 60 ， OC OD COB 是等边三角形， B 正确；  AB 弦CD ， CG DG ， C 正确； BC 的长为： 60 3 ， D 错误，选 D 180 例题 24 如图， B、C 是⊙ A 上的两点， AB 的垂直平分线与⊙ A 交于E、F 两点， 与线 段 AC 交于D 点．若 BFC 20o ，则DBC （ ） A．30° B．29° C．28° D．20° 【解析】BFC 20 ，BAC 2BFC 40 ， AB AC ， ABC ACB 180 40 70 ．又EF 是线段 AB 的垂直平分线， AD BD ， 2 A ABD 40 ，DBC ABC ABD 70 40 30 ．选 A 例题 25 如图，在半径为 3 的O 中，直径 AB 与弦CD 相交于点 E ，连接 AC ，BD ，若 AC 2 ，则cos D ． 【解析】连接 BC ，D A ， AB 是O 的直径，ACB 90 ，  AB 3 2 6 ， AC 2 ，cos D cos A AC 2 1 AB 6 3 巩固 61 如图，点 A 、 B 、C 在O 上， ACB 54 ，则ABO 的度数是( ) A． 54 B． 27 C． 36 D．108 【解析】ACB 54 ， 圆心角AOB 2ACB 108 ( ， )OB OA ABO BAO 1 (180 AOB) 36 ，选C 2 巩固 62 如图， AB 为O 的直径，点C 、 D 在O 上，若BCD 30 ，则ABD 的大小为( ) A． 60 B． 50 C． 40 D． 20 【解析】连接 AD ． AB 是直径，ADB 90 ，A ABD 90 A BCD 30 ，ABD 60 ，选 A ． 巩固 63 如图， AB 为O 直径， CD 为弦， CD AB ，垂足为 E ，若BAC 30 ， AOD 度数为( ) A．135 B．120 C．150 D．110 【解析】 AB 为O 的直径， CD 为弦， CD AB ， BC BD ， BOD 2BAC 60 ，AOD 180 BOD 120 选 B ． 巩固 64 如图， ABC 是O 的内接三角形，已知圆心〇在 AB 边上， CD 平分ACB 交圆于点 D ，连接 BD ，若 BD BC ，则ABC 的度数为( ) A． 30 B． 42.5 C． 45 D． 60 【解析】ABC 是O 的内接三角形，圆心〇在 AB 边上， AB 为O 的直径， ACB 90 ，CD 平分ACB ，ACD BCD 45 ， BD BC ，BCD BDC 45 ， DBC 90 ，ABD ACD 45 ，ABC 90 45 45 ，选C ． 巩固 65 如图， AB 是O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上， PA AO ， PD 与O 相切于点 D ， BC AB 交 PD 的延长线于点C ，若O 的半径为 1，则 BC 的长是( ) ( 2 ) ( 3 )A．1.5 B．2 C． D． ( 2 2 1 2 ) ( 3 )【解析】连接OD ， PC 切O 于 D ，ODP 90 ，O 的半径为 1， PA AO ， AB 是O 的直径， ( OP 2 OD 2 ) PO 1 1 2 ， PB 1 1 1 3 ， OD 1 ， 由勾股定理得： PD ，  BC AB ， AB 过O ， BC 切O 于 B ， PC 切O 于 D ，CD BC ，设CD CB x ， ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )在RtPBC 中，由勾股定理得： PC 2 PB2 BC 2 ，即( x)2 32 x2 ，解得： x ，即 BC ，选 D ． ( 2 )巩固 66 如图，半径为 R 的O 的弦 AC BD ，且 AC BD 于 E ，连结 AB 、 AD ，若 AD ，则半径 R 的长为 ( ) ( 2 )A．1 B． C. 2 2 D. 1 2 【解析】 弦 AC BD ， AC BD ， BC AD ，ABD BAC ， AE BE ；连接OA ， OD ( 2 ) AC BD ， AE BE ，ABE BAE 45 ，AOD 2ABE 90 ， OA OD ， AD 2R ， AD ， R 1 ，选 A 巩固 67 如图， O 的直径 AB 垂直于弦CD ，垂足是 E ，已知A 22.5 ， OC 2 ，则CD 的长为( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 )A． 2 B． C．4 D． 4 【解析】CD AB ， AB 是直径， EC DE ， OEC 90 COE 2A 45 ，ECO EOC 45 ， EC EO ， OC 2 ， EC 2 OC ．CD 2EC 2 ( 2 ) ( 2 )2 ，选 A 巩固 68 如图，在ABC 中，AC BC 2 ，D 是 BC 的中点，过 A ，C ，D 三点的O 与 AB 边相切于点 A ，则O 的半径为( ) A. 7 3 B. 2 5 5 C．1 D． 2 14 7 【解析】如图，连接OC 、OA ，作OE AC 于点 E ， CF AB 于点 F 根据垂径定理可知： CE AE 1 AC 1 2  AC BC 2 ， D 是 BC 的中点， BD CD 1 ( 2 )O 与 AB 边相切于点 A ， 根据切割线定理可知： AB2 BDBC 2 ， AB CF AB ， AC BC AF BF 1 AB 2 ，CF 14 ( AC 2 AF 2 )2 2 2  BA 切圆于点 A ，OA AB ，OA / /CF ，OAC ACF OA OC ，OAC OCA ，OCA ACF ， OEC AFC 90 OCE∽ACF ， OC CE ， 即 OC 1 ，解得OC 2 14 所以O 的半径为 AC CF ( 2 14 )7 ．选 D 2 14 7 2 ( 几何小命题辩选 ) 1、几何小命题主要围绕的考点：三角形全等是核心，特殊三角形的性质是手段，数形结合、坐标解析法、等面积方法的综合运用 例题 26 如图， ABC 中， ABC 45 ， CD AB 于 D ， BE 平分ABC ，且 BE AC 于 E ，与CD 相交于点 F ， H 是 BC 边的中点，连接 DH 与 BE 相交于点G ，则① DH HC ；② DF FC ；③ BF AC ；④ CE 1 BF 中正 2 确有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解析】①CD AB 于 D ，BDC 90 ， H 是 BC 边的中点， DH CD ， ①正确； ②过 F 作 FM BC 于M ，则 FM FC ，  BE 平分ABC ， DF FM ， DF FC ， ②错误； ③ABC 45 ， CD AB 于 D ，BCD 是等腰直角三角形， BD CD ， CD AB 于 D ， BE AC 于 E ，DBF A 90 ， ACD A 90 ，DBF ACD ， DBF ACD 在BDF 与CDA 中， BD CD BDF CDA 90 BDF CDA(ASA) ， BF AC ， ③正确； ④ BE 平分ABC ，且 BE AC 于 E ，ABE CBE ， AEB CEB 90 ， ABE CBE 在ABE 与CBE 中， BE BE AEB CEB 90 ，ABE CBE (ASA) ， AE CE 1 AC ， 2  AC BF ，CE 1 BF ， ④正确．选C ． 2 ( 2 )例题 27 如图，半径为 R O 的弦 AC BD ， AC 、 BD 交于 E ， F 为 BC 上一点，连 AF 、 BF 、 AB 、 AD ， ( 第 50 页 共 93 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 下列结论：① AE BE ；②若 AC BD ，则 AD BF CE 1 ．其中正确的是( ) 2R ；③在②的条件下，若CF CD ， AB ，则 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解析】① 弦 AC BD ， AC BD ， BC AD ，ABD BAC ， AE BE ； ②连接OA ， OD ， AC BD ， AE BE ，ABE BAE 45 ，AOD 2ABE 90 ， OA OD ， AD 2R ； ③设 AF 与 BD 相交于点G ，连接CG ， CF CD ，FAC DAC ， AC BD ， AEG AED 90  在AGE 和ADE 中， AE AE EAG DAE ，AGE ADE (ASA) ， AG AD ， EG DE ，AGD ADG ，BGF AGD ， F ADG ， BGF F ， BG BF ， AC BD ， AE BE ， DE CE ， EG CE ， ( 2 ) BE BG EG BF CE ， AB 故其中正确的是：①②③．选 D ． ， BE ABcos 45 1 ， BF CE 1 ． 例题 28 如图，正方形 ABCD 中， AC 为对角线， E 为 AB 上一点，过点 E 作 EF // AD ， EF 与 AC 、DC 分别交点G、F , H 为CG 的中点，连接 DE ，EH ，DH ，FH ．下列结论：① EG DF ；② AEH ADH 180o ；③ EHF ≌ DHC ；④若 AE 2 ，则3S 13S 结论正确的（ ） AB 3 EDH DHC A．1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 【解析】① 四边形 ABCD 为正方形， EF / / AD ， EF AD CD ， ACD 45 ， GFC 90 ， CFG 为等腰直角三角形，GF FC  EG EF GF ， DF CD FC EG DF ，故①正确 ② CFG 为等腰直角三角形， H 为CG 的中点， FH CH ， GFH 1 GFC 45 HCD ， 2 EF CD 在EHF 和DHC 中， EFH DCH ，EHF DHC (SAS ) ，HEF HDC ， FH CH AEH ADH AEF HEF ADF HDC AEF ADF 180 ，故②正确； ③ CFG 为等腰直角三角形， H 为CG 的中点， FH CH ， GFH 1 GFC 45 HCD ， 2 EF CD 在EHF 和DHC 中， EFH DCH ，EHF DHC (SAS ) ，故③正确； FH CH ④  AE 2 ， AE 2BE ，CFG 为等腰直角三角形， H 为CG 的中点， FH GH ， FHG 90 AB 3 EGH FHG HFG 90 HFG HFD ， EG DF 在EGH 和DFH 中， EGH HFD ，EGH DFH (SAS ) ， GH FH EHG DHF ， EH DH ， DHE EHG DHG DHF DHG FHG 90 ， EHD 为等腰直角三角形， 过 H 点作 HM 垂直于CD 于M 点，如图所示：设 HM x ，则 DM 5x ， DH 26x ， CD 6x ， 则SDHC 1 HM CD 3x 2 ， S 2 EDH 1 DH 2 13x 2 ，3S 2 EDH 13S DHC ，故④正确；选 D ． 巩固 69 如图，在四边形 ABCD 中， ABC 90 ， BAD 60 ， AC AD ， AC 平分BAD ， M ， N 分别为 AC ， CD 的中点， BM 的延长线交 AD 于点 E ，连接 MN ， BN ．对于下列四个结论：① MN / / AD ；② BM MN ；③ BAE ACB ；④ AD 2BN ，其中正确结论的序号是( ) A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①② 【解析】 AM CM ， CN DN ， MN / / AD ， MN 1 AD ，故①正确， 2 ABC 90 ， AM CM ， BM 1 AC ， AC AD ， BM MN ，故②正确， 2 BAD 60 ， CA 平分BAD ，CAE BAM 30 ， MA MB ， MAB MBA 30 ，AME MAB MBA 60 ，AEB 90 ，  斜边 AC 斜边 AB ，故③错误，  MN / / AD ，BMN BED 90 ，BMN 是等腰直角三角形， BN 2MN ，  AD 2MN ， AD 2BN ，故④正确．选C ． 巩固 70 如图 1， ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点O ，AE 平分BAD 交 BC 于点 E ，且ADC 60 ，AB 1 BC ， 2 连接OE ．下列结论：① AE CE ；② S  ABCD AB AC ；③ S ABE 2S AOE ；④ OE 1 AD ，成立的有( ) 4 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解析】 四边形 ABCD 是平行四边形，ABC ADC 60 ， BAD 120 ， AE 平分BAD ， BAE EAD 60 ABE 是等边三角形， AE AB BE ， AEB 60 ，  AB 1 BC ， AE BE 1 BC ， AE CE ，故①错误； 2 2 可得EAC ACE 30 BAC 90 ， S ABCD AB AC ，故②正确；  BE EC ， E 为 BC 中点， SABE SACE ， AO CO ， SAOE SEOC 1 S 2 AEC 1 S 2 ABE ， S ABE 2S AOE ；故③正确；  四边形 ABCD 是平行四边形， AC CO ， AE CE ， EO AC ， ACE 30 ， EO 1 EC ， EC 1 AB ，OE 1 BC 1 AD ，故④正确； 2 2 4 4 故正确的个数为 3 个，选C ． 巩固 71 如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，点 E 在线段 BD 上，ACE 45 ，AE 的延长线交 BC ( 3 )于点 F ， EG EF ，连接 CG 交 BD 于点 H ．下面结论：① CE AE ；② ACG 30 ；③ EB ( 1)DE ；④ CH DH 3 AB ．其中正确的有( ) 2 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解析】ABC 是等边三角形， BD 是 AC 边上的中线， BD AC ， AD DC ， CAB ACB ABC 60 ， EC EA ，故①正确，  EC EA ，ECA EAC 45 ，BAF BAC EAC 15 ，AFC FAB ABC 75 ，  EG EF ， CE FG ，CF CG ，ECF ECG 15 ，ACG GCF 30 ，故②正确， 设 AD DC m ，则 AB AC 2m ， BD 3m ， AD DE m ， BE 3m m ， EB 3m m 1 ， EB ( 1)DE ，故③正确， ( 3 ) ( 3 )DE m 在RtCDH 中，DCH 30 ， CD m ， DH 3 CD 3 m ， CH 2 3 m ， CH DH 3m 3 3 3 3 AB ，故④正确，选 D ． 2 巩固 72 如图， RtABC 中， ACB 90 ，BAC 30 ，BAC 的平分线交 BC 于点 D ，过点 D 作 DE AB ，垂足为 E ，连接CE 交 AD 于点 F ，则以下结论：① AB 2CE ； ② AC 4CD ；③ CE AD ； ④ DBE 与ABC 的面积比是：1: (7 4 3) 其中正确结论是( ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【解析】如图，设 BE a ． 在RtBDE 中，DEB 90 ， B 60 ， BE a ， BD 2BE 2a ， DE 3a ，  DA 平分CAB ， DC AC ， DE AB ， DC DE 3a ， AB 2BC 4a 2 3a ， BEC 是钝角， BC CE ， AB 2BC ，故①错误，DAC DAE ， AE AC 3BC 3(2a 3a) 2 3a 3a ，显然 AC 4CD ，故②错误，  DE DC ， AC AE ， AD 垂直平分线段 EC ，故③正确， SDBE 2 1 ，故④正确，选C ． ( 1  a  3 a ) ( 7 4 3 )SABC 1 (2a 2 3a)(2 3a 3a) 巩固 73 如图， PA 、PB 是O 的切线，切点分别为 A 、B ， BC 是O 的直径， PO 交O 于 E 、G 两点， CE 交 PB 于 F ，连 AB ，下列结论：① AE CG ② AC / / PG ③ PF EF ④ E 为ABP 的内心，其中正确的是( ) A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②④ 【解析】连接 AE 、CG 、OA 、OC ，作OH AC ， CM PG ，  BC 是直径，BAC 90 ，即 AB AC ， PA 、 PB 是O 的切线， PG AB ， 故可得 AC / / PG ，即可得②正确； ( CM 2 MG 2 )OA OC ， 点 H 是线段 AC 的中点，由题意得， AN CM ， EN OE ON ， MG OG OM ， ( AN 2 EN 2 ) EN MG ， AE ， CG ， AE CG ，即①正确； 由题意得， FPE ABC ， FEP CEO ECO ，而 EB AC ，故不能得出FPE FEP ，也即得出 PF EF ，即③错误； PA 、 PB 是O 的切线，PAE ABE ，又 AE EB ， EAB ABE ，PAE EAB ，即可得点 E 是PAB 角平分线的交点，点 E 为ABP 的内心， 故可得④正确．综上可得①②④正确．选C ． 巩固 74 如图， AB 是半圆直径，半径OC AB 于点O ， AD 平分CAB 交弧 BC 于点 D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：① AC / /OD ；② CE OE ；③ ODE∽ADO ；④ 2CD2 CE AB ．其中正确结论的序号是( ) A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【解析】 AB 是半圆直径， AO OD ，OAD ADO ， AD 平分CAB 交弧 BC 于点 D ， CAD DAO 1 CAB ，CAD ADO ， AC / /OD ，故①正确 2 由题意得， OD R ， AC 2R ，OE : CE OD : AC 2 ，OE CE ，故②错误； 2 OED AOE OAE 90 22.5 112.5 ， AOD 90 45 135 ，OED AOD ， ODE 与ADO 不相似，故③错误；  AD 平分CAB 交弧 BC 于点 D ，CAD 1 45 22.5 ，COD 45 ， AB 是半圆直径， 2 OC OD ，OCD ODC 67.5 CAD ADO 22.5 （已证）， CDE ODC ADO 67.5 22.5 45 ，CED∽CDO ， CD CE ， CO CD CD2 COCE 1 ABCE ， 2CD2 CE AB ，故④正确．综上可得①④正确．选 D ． 2 巩固 75 如图，AB 是O 的直径，弦CD AB 于点G ．点 F 是CD 上一点，且满足 CF 1 ，连接 AF 并延长交O FD 3 于点 E ．连接 AD 、DE ，若CF 2 ， AF 3 ．给出下列结论：① ADF∽AED ；② FG 2 ；③ tan E 5 ；④ 2 ( 5 )SDEF 4 ．其中正确的是( ) A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【解析】① AB 是O 的直径，弦CD AB ， AD AC ， DG CG ，ADF AED ， FAD DAE （公共角）， ADF∽AED ；故①正确； ② CF 1 ， CF 2 ， FD 6 ，CD DF CF 8 CG DG 4 ， FG CG CF 2 ；故②正确； FD 3 ③ AF 3 ， FG 2 ， AG ， 在RtAGD 中， tan ADG AG 5 ， ( AF 2 FG 2 ) ( 5 )DG 4 tan E 5 ；故③错误； ( 21 ) ( 5 )4 ( AG 2 DG 2 ) ( 3 5 )④ DF DG FG 6 ， AD ， S ADF 1 DF AG 1 6 2 2 5 3 ，  ADF∽AED ， SADF ( SAED AF )2 ， AD SAED 3 ，S 7 AED 7 ， S DEF SAED · SADF 4 ； ( 5 ) ( 5 )故④正确．选 A ． 巩固 76 如图， AB 是O 的直径， C ， D 是O 上的点，且OC / / BD ， AD 分别与 BC ， OC 相交于点 E ， F ， 则下列结论：① AD BD ；② AOC AEC ；③ BC 平分ABD ；④ AF DF 其中一定成立的是( ) ；⑤ BD 2OF ；⑥ CEF BED ， A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤ 【解析】①、 AB 是O 的直径，ADB 90 ， AD BD ， ②假设AOC AEC ，A C ，ABC C ，A ABC ， AC BD ， OC / / BD C CBD ，ABC DBC ，即： AC CD C ，D 是半圆的三等分点，而与“ C ，D 是O 上的点”矛盾， AOC AEC ， ③、 OC / / BD ，OCB DBC ，OC OB ，OCB OBC ，OBC DBC ， BC 平分ABD ， ④、 AB 是O 的直径，ADB 90 ， AD BD ， OC / / BD ，AFO 90 ， 点O 为圆心， AF DF ， ⑤、由④有， AF DF ， 点O 为 AB 中点，OF 是ABD 的中位线， BD 2OF ， ⑥CEF 和BED 中，没有相等的边，CEF 与BED 不全等，选 D ． 巩固 77 如图 2，已知在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点O ， AE ， DF 分别是OAD 与ODC 的平分线， AE 的延长线与 DF 相交于点G ，则下列结论：① AG DF ；② EF / / AB ；③ AB AF ；④ AB 2EF ．其中正确的结论是( ) A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【解析】① 四边形 ABCD 是正方形，CAD BDC 45 ，  AE ， DF 分别是OAD 与ODC 的平分线，DAE CDF ，ADF CDF 90 ， DAF ADG 90 ，AGD 90 ，即 AG DF ，故①结论正确； GAF GAD ②在AGF 和AGD 中， AGF AGD 90 ，AGF AGD (ASA) ， GF GD ， AG AG  AG DF ， EF ED ，EFD EDF CDF ， EF / /CD / / AB ，故②正确； ③AGF AGD (ASA) ， AD AF AB ，故③正确； ( 2 ) ( 2 )④ EF / /CD ，OEF ODC 45 ，COD 90 ， EF ED 2OE ， ( ( 2 1) OE ) EF OE OE CD OD 1 ， AB CD ( 1)EF ，故④错误．选C ． 巩固 78 如图，在正方形 ABCD 中，连接 AC ，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，交 AB 、 AC 于点M ， N ， 分别以M ， N 为圆心，大于MN 长的一半为半径画弧，两弧交于点 H ，连结 AH 并延长交 BC 于点 E ，再分别以 A 、E 为圆心，以大于 AE 长的一半为半径画弧，两弧交于点 P ，Q ，作直线 PQ ，分别交CD ， AC ， AB 于 点 F ，G ， L ，交CB 的延长线于点 K ，连接GE ，下列结论：① LKB 22.5 ，② GE / / AB ，③ tan CGF KB ， LB ④ SCGE : SCAB 1: 4 ．其中正确的是( ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【解析】①  四边形 ABCD 是正方形，BAC 1 BAD 45 ，由作图可知： AE 平分BAC ， 2 BAE CAE 22.5 ， PQ 是 AE 的中垂线， AE PQ ，AOL 90 ， AOL LBK 90 ， ALO KLB ，LKB BAE 22.5 ；故①正确； ② OG 是 AE 的中垂线， AG EG ，AEG EAG 22.5 BAE ， EG / / AB ，故②正确； ③ LAO GAO ， AOL AOG 90 ，ALO AGO ，CGF AGO ， BLK ALO ， CGF BLK ，在RtBKL 中， tan CGF tan BLK BK ，故③正确； BL ④ 连接 EL ， AL AG EG ， EG / / AB ， 四边形 ALEG 是菱形， AL EL EG BL ， EG 1 ， EG / / AB ，CEG∽CBA ， SCEG ( EG )2 1 ，故④不正确； ( 第 60 页 共 93 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 AB 2 SCBA AB 4 本题正确的是：①②③，选 A ． 巩固 79 如图 3，已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，E 为CD 上一点，且 DE 1 ，F 为射线 BC 上一动点， 过点 E 作 EG AF 于点 P ，交直线 AB 于点G ．则下列结论中：① AF EG ；②若BAF PCF ，则 PC PE ； ( 13 )③当CPF 45 时， BF 1 ；④ PC 的最小值为 2 ．其中正确的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解析】连接 AE ，过 E 作 EH AB 于 H ，则 EH BC ， AB BC ， EH AB ，  EG AF ，BAF AGP BAF AFB 90 ，EGH AFB ， B EHG 90 ，HEG ABF (AA) ， AF EG ，故①正确；  AB / /CD ，AGE CEG ，BAF AGP 90 ， PCF PCE 90 ， BAF PCF ，AGE PCE ，PEC PCE ， PE PC ；故②正确； 连接 EF ，EPF FCE 90 ， 点 E ， P ， F ， C 四点共圆，FEC FPC 45 ， EC FC ， BF DE 1 ，同理当 F 运动到C 点右侧时，此时FPC 45 ，且 EPCF 四点共圆， EC FC 3 ，故此时 BF BC CF 4 3 7 ．因此 BF 1 或 7，故③错误； 取 AE 的中点O ，连接 PO ， CO ， AO PO 1 AE ，APE 90 ， 2 点 P 在以O 为圆心， AE 为直径的圆上， 当OC 最小时， CP 的值最小， PC�OC OP ， PC 的最小值 OC OP OC 1 AE ， 2 OC 65 ， AE ， PC 的最小值为 65 17 ，故④错误，选 B ( 2 2 ( 7 ) 2 2 ) ( 4 2 1 2 ) ( 17 )2 2 2 ( 根式、分式有意义条件与自变量取值范围 ) 主要考察分式、根式有意义的条件以及函数中自变量取值范围内容，属于简单题，关键识记知识。 1、函数中自变量的取值范围 类型 特点 自变量的取值范 围 举例 整式型 等式右边是关于自变量的整 式 全体实数 y 2x 1 x 属于一切实数 分式型 等式右边是关于自变量的分 式 使分母不为0 的实 数 y 1 x 2 0 x 2 根式型 等式右边是自变量开偶次方式子 使根号下的式子大于或等于0 的实 数 y x 2 x 2 0 零次幂 等式右边是关于自变量的零 次幂 使底数不为0 的实 数 y 2x 10 2x 1 0 例题 29 函数 y 1 ( 2 x )x 3 中自变量 x 的取值范围是（ ） A. x 2 B. x 3 C. x 2 且 x 3 D. x 2 且 x 3 ( 【解析】由题意可得： x ，解得： ，所以 选 3 0 )2 x 0 x 2 A 巩固 80 函数 y 1 x 2 的自变量 x 的取值范围为（ ） A. x 2 B. x 2 C. x 2 D. x 2 【解析】 函数 y 1 x 2 的分母中含有自变量 x ， 自变量 x 的取值范围为： x 2 0 ，即 x 2 ．选： D ( 2 x )巩固 81 如果整数 x 3 ，那么使函数 y 有意义的 x 的值是 （只填一个） 【解析】 y ， 2x�0 ，即 x� ， 整数 x 3 ， 当 x 0 时符合要求，故答案为：0． ( 2 x )2 ( 9 x )巩固 82 使 ( 9 x )【解析】 有意义的 x 的取值范围为 ． 有意义的条件： 9 x 0 ，所以 x 9 ( x 1 )巩固 83 要使 2 有意义，则x的取值范围为（ ） A．x≤0 B．x≥﹣1 C．x≥0 D．x≤﹣1 【解析】要使根式有意义，则令x+1≥0，得x≥﹣1 巩固 84 使代数式 ( x )2x 1 有意义的 x 的取值范围是（ ） A. x 0 B. x 1 2 C. x 0 且 x 1 2 D. 一切实数 ( 2 x 1 0 )【解析】解不等式组x 0 得 x 0 且 x 1 ，故选 C． 2 巩固 85 若 【解析】由 x 1- ( 1 x ) ( x 1 ) (x y) 2 ，则 x y 的值为 . ( 1 x )，知x=1，∴(x+y)2=0，∴y=-1，∴x-y=2. 巩固 86 若分式 1 x2 2x m 不论 x 取何实数总有意义，则m 的取值范围是 ． 【解析】若分式 1 x2 2x m 不论x取何实数总有意义，则分母 x2 2x m ≠0， 设 y x2 2x m ，当△＜0 即可， 4 4m＜0, m＞1 . ( 方程与不等式 ) 1、不等式解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 2、分式方程的解法： ⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。 ⑵解整式方程，得到整式方程的解。 ⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0 ，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0 ，则是原方程的解。 3、增根：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根. x b a 产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为 0。 4、一元二次方程根与判别式 判别式：一元二次方程ax2 bx c 0 中b2 4ac 叫一元二次方程根的判别式，用“ ”表示， b2 4ac . ①当 0 时，一元二次方程有2 个不相等的实数根； ②当 0 时，一元二次方程有2 个相等的实数根； ③当 0 时，一元二次方程没有实数根. x 1 0 例题 30 不等式组 3x 1 2x 1 ，的解集在以下数轴表示中正确的是( ) 2 A． B． C． D． x 1 0 【解析】 3x 1 2x 1 � �， 解不等式①得： x 1 ，解不等式②得： x 3 ， 2 不等式组的解集是1 x 3 ，在数轴上表示为：选 B ． ， 例题 31 关于 x 的方程 2 x 2 ax x2 4 3 x 2 有增根，则a 的值为 ． 【解析】方程两边都乘以(x 2)(x 2) ,得2(x 2) ax 3(x 2). 整理得(a 1)x 10 . 当a= 1 时,方程无解. 当a 1 时, x 10 a 1 .如果方程有增根,那么(x 2)(x 2) 0 ,即 x 2 或 x 2 . 当 x 2 时, 10 a 1 2 ,所以a 4 ; 当 x 2 时, 10 a 1 2 ,所以a= 6 . 所以当a 4 或a= 6 原方程会产生增根. 例题 32 如果关于 x 的一元二次方程 x2 2ax a 2 0 有两个相等的实数根，则实数a 的值为 ． 【解析】 关于 x 的一元二次方程 x2 2ax a 2 0 有两个相等的实数根， △ 0 ，即4a2 4(a 2) 0 ，解得a 1 或 2．故答案为： 1 或 2． 例题 33 施工队要铺设 2000 米的下水管道，因在中考期间需停工 3 天，每天要比原计划多施工 40 米才能按时完成任务．设原计划每天施工 x 米，所列方程正确的是( ) A． 2000 2000 3 B． 2000 2000 3 x x 40 x 40 x C． 2000 2000 3 D． 2000 2000 3 x x 40 x 40 x 【解析】设原计划每天施工 x 米，根据题意，可列方程： 2000 2000 3 ，选 A ． x x 40 巩固 87 一元二次方程 x2 4x 4 的根的情况是（ ） A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【解析】在方程 x2 4x 4 0 中，△ (4)2 4 1 4 0 ， 该方程有两个相等的实数根．选 B ． 巩固 88 已知关于 x 的方程2x a 5 0 的解是 x 1 ，则a 的值为 ． 【解析】把 x 1 代入方程得： 2 a 5 0 ，解得： a 7 ，故答案为： 7 ． 巩固 89 关于 x 的一元二次方程 x2 2 3x m 0 有两个不相等实数根，则实数m 取值范围是（ ） A. m 3 B. m 3 C. m 3 D. m 3 【解析】 关于 x 的一元二次方程 x2 2 3x m 0 有两个不相等的实数根， △ (2 3)2 4m 0 ， m 3 ，选 A ． 巩固 90 若关于 x 的方程 ax x 1 3 x 1 1 无解，则a 的值是 ． 【解析】去分母，得： ax 3 x 1 ，整理，得： (a 1)x 2 ， 当 x 1 时，分式方程无解，则a 1 2 ，解得： a 3 ； 当整式方程无解时， a 1 ，故答案为：3 或 1． 巩固 91 若关于 x 的方程 x 2 m 的解为正数，则m 的取值范围是 ． x 3 3 x 【解析】去分母，得 x 2(x 3) m ，解得： x m 6 ， 根据题意得： m 6 3 0 且m 6 0 ，解得： m 6 且m 3 ． 故答案是： m 6 且m 3 ． 巩固 92 若关于 x 的分式方程 x m 3 1 无解，则m 的值为 ． x 1 x 【解析】去分母得： x2 mx 3x 3 x2 x ，解得： (2 m)x 3 ， 由分式方程无解，得到2 m 0 ，即m 2 或 x 综上， m 的值为2 或 1．故答案为： 2 或 1 3 2 m 1 ，即m 1 ， 巩固 93 有一项工程，若甲、乙合作 10 天可以完成，甲单独工作 13 天后，因某原因离开了，此后由乙来接替，乙三天后完成了这项工程，则甲的工作效率是乙的 倍． 【解析】 7 设乙单独做 x 天完成，则乙每天完成总共量的 1 ，故甲每天完成总共量的( 1 1 ) ， 3 则13 ( 1 1) 3 1 1 ，解得： x 10 x x 7 3 100 ，检验得： x 3 ( 3 3 )100 x 是原方程根， 10 x 则 1 1 7 ．所以 100 7 ，即甲的工作效率是乙的 7 倍．故答案是： 7 ． 10 x 100 3 3 100 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 巩固 94 “五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为 180 元， 出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了 3 元钱车费，设实际参加游览的同学共 x 人，则所列方程为( ) A． 180 180 3 x x 2 C． 180 180 3 x x 2 B． 180 x 2 D． 180 x 2 180 3 x 180 3 x 【解析】设实际参加游览的同学共 x 人，根据题意得： 180 x 2 180 3 ．选 D ． x 巩固 95 八年级学生去距学校10 千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 分钟后，其余学生乘 汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2 倍．设骑车学生的速度为 x km 方程正确的是（ ） h ，则列 A． 10 10 20 B． 10 10 20 C． 10 10 1 D． 10 10 1 x 2x 2x x x 2x 3 2x x 3 【解析】 设甲、乙两船在静水中的速度均为 xkm / h ， 则求两船在静水中的速度可列方程为： 180 x 6 120 x 6 ．选 A ． 巩固 96 等式组x 3 1 3x 2 4x 的解集为（ ） A. x 2 B. x 4 C． 2 x 4 D． x 2 【解析】 解不等式 x 3 1 ，得： x 4 ，解不等式3x 2� 4x ，得： x�2 ， 不等式组的解集为： 2� x 4 ，选C ． 2x 1 2 巩固 97 若关于x的不等式组 a x 0 的解集是x＞a，则a的取值范围是（ ） A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2 2(x 1) 2, 【解析】解关于 x 的不等式组a x 0 得x 2 ( x a ) , a�2 ,选 D ． x 1� 11 x 巩固 98 若整数 a 使关于 x 的不等式组 2 3 ， 有且只有 45 个整数解， 且使关于 y 的方程 2 y a 2 60 4x a x 1 1 的解为非正数，则a 的值为( ) y 1 1 y A． 61 或58 C． 60 或59 B． 61 或59 D． 61 或60 或59 【解析】解不等式组，得 a 1 x� 25 ， 不等式组有且只有 45 个整数解，20� a 1 19 ， 3 3 解得61� a 58 ，因为关于 y 的方程 2 y a 2 60 1 的解为： y a 61 ， y� 0 ，a 61� 0 y 1 1 y 解得a� 61 ， y 1 0 ， y 1 ， a 60 则a 的值为： 61 或59 ．选 B ． ( 函数图像 ) 1、一次函数图像性质 解析式 y kx b 参 数 k b 代表直线的斜率，含义是直线的倾斜程度。k tan y1 yo x1 xo 代表直线的纵截距，含义是直线与 y 轴相交的点的纵坐标。 图 像 k 0,b 0 k 0,b 0 k 0,b 0 k 0,b 0 增减性 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的减小而减小 2、反比例函数图像性质 解析式 y k x 图 像 k 0 k 0 增减性 当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大； ( 第 70 页 共 93 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 3、二次函数图像性质 函 数 一般式： y ax2 bx c (书写的规范：题目对解析式没有要求，均需写成一般式) 顶点式： y a(x h)2 k (分析性质：涉及函数最值对称性增减性需化为顶点式） 交点式： y a(x x1 )(x x2 )（交点问题：涉及函数与 x 轴的交点时可用交点式） ★一般式与顶点式互化： b 4ac b2 y a(x )2 2a 4a 图 象 a 0 a 0 对称轴 直线 x b 2a 顶 点 b 4ac b2 2a , 4a 增减性 x b 时， y 随 x 增大而减小 2a x b 时， y 随 x 增大而增大 2a x b 时， y 随 x 增大而增大； 2a x b 时， y 随 x 增大而减小． 2a 最 值 当 x b 时， y 有最小值， 2a 当 x b 时， y 有最大值， 2a 例题 34 一次函数 y acx b 与二次函数 y ax2 bx c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A． B． C． D． 【解析】 A 、由抛物线可知， a 0 ， b 0 ， c 0 ，则ac 0 ，由直线可知， ac 0 ， b 0 ，本选项错误； B 、由抛物线可知， a 0 ， b 0 ， c 0 ，则ac 0 ，由直线可知， ac 0 ， b 0 ，故选项正确 C 、由抛物线可知， a 0 ， b 0 ， c 0 ，则ac 0 ，由直线可知， ac 0 ， b 0 ，故选项错误； D 、由抛物线可知， a 0 ， b 0 ， c 0 ，则ac 0 ，由直线可知， ac 0 ， b 0 ，故选项错误． 选 B 例题 35 已知正比例函数 y k x 和反比例函数 y k2 ，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k k 0 1 x 1 2 的是( ) A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【解析】①中k1 0 ， k2 0 ，故k1 k2 0 ，故①符合题意； ②中k1 0 ， k2 0 ，故k1 k2 0 ，故②不符合题意； ③中k1 0 ， k2 0 ，故k1 k2 0 ，故③不符合题意； ④中k1 0 ， k2 0 ，故k1 k2 0 ，故④符合题意；选 B ． ( 2 )例题 36 如图，在RtABC 中，A 90 ，AB AC ，AC 2 ，E 为 BC 上的动点，DE BC 交折线 B A C 于 点 D ，设 BE x ， BDE 的面积为 y ，则 y 与 x 的函数图象符合题意的是( ) A． B． C． D． ( 2 ) ( 2 )【解析】 在RtABC 中， A 90 ， AB AC ， AC 2 ，B C 45 ， BC 2 2 4 ． ① 当0 x� 2 时， BE x ， DE BE x ，BDE 的面积 y 1 x2 ， 函数图象为顶点在原点，开 2 口向上的抛物线，故 A 、C 错误； ② 当2 x� 4 时， BE x ， DE CE 4 x ，BDE 的面积 y 1 x(4 x) 1 x 2 2x ， 2 2 函数图象为开口向下的抛物线，故 B 正确， D 错误．选 B ． 巩固 99 在同一平面直角坐标系中，函数 y ax2 bx 2b 与 y ax b 的图象可能是( ) ( A． B． C． D． ) 【解析】 A 、一次函数的图象经过一、二、四象限，则a 0 ，即a 0 ， b 0 ，所以函数 y ax2 bx 2b 的图象开口向上，对称轴 x 0 ，与 y 轴的交点位于直线的上方，由ax2 bx 2b ax b 整理得ax2 (a b)x b 0 ， 由于△ (a b)2 4ab (a b)2 �0 ，则两图象有交点，故 A 错误； B 、一次函数的图象经过一、二、四象限，则a 0 ，即a 0 ， b 0 ， 所以函数 y ax2 bx 2b 开口向上，对称轴 x 0 ，故 B 错误； C 、一次函数的图象经过一、二、三象限，则a 0 ，即a 0 ， b 0 ， 所以函数 y ax2 bx 2b 开口向下，对称轴 x 0 ，故C 错误； D 、一次函数的图象经过二、三，四象限，则a 0 ，即a 0 ， b 0 ， 所以函数 y ax2 bx 2b 开口向上，对称轴 x 0 ，故 D 正确；选 D ． 巩固 100 在同一坐标系中，二次函数 y ax2 b 与一次函数 y bx a 的图象可能是( ) A． B． C． D． 【解析】 A 、由抛物线 y ax2 b 可知，图象开口向上，与 y 轴交在负半轴a 0 ， b 0 ， 由直线 y bx a 可知，图象过一，二，三象限， b 0 ， a 0 ，故此选项错误； B 、由抛物线 y ax2 b 可知，图象开口向上且与 y 轴交在正半轴a 0 ， b 0 ， 由直线 y bx a 可知，图象过一，二，四象限， b 0 ， a 0 ，故此选项错误； C 、由抛物线可 y ax2 b 知，图象开口向下且与 y 轴交在正半轴a 0 ， b 0 ， 由直线 y bx a 可知，图象过一，三，四象限b 0 ， a 0 ，故此选项正确； D 、由抛物线可 y ax2 b 知，图象开口向下且与 y 轴交在负半轴a 0 ， b 0 ， 由直线 y bx a 可知，图象过一，二，三象限b 0 ， a 0 ，故此选项错误；选C ． 巩固 101 同一平面直角坐标系内，二次函数 y ax2 bx b(a 0) 与一次函数 y ax b 图象可能是( ) ( A． B． C． D． ) 【解析】 A 、二次函数图象开口向上，对称轴在 y 轴右侧，a 0 ， b 0 ， 一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于 y 轴负半轴的同一点，故 A 错误； B 、 二次函数图象开口向下，对称轴在 y 轴左侧， a 0 ， b 0 ， 一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于 y 轴负半轴的同一点，故 B 错误； C 、二次函数图象开口向上，对称轴在 y 轴右侧，a 0 ， b 0 ， 一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于 y 轴负半轴的同一点，故C 正确；  D 、二次函数图象开口向上，对称轴在 y 轴右侧，a 0 ， b 0 ， 一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于 y 轴负半轴的同一点，故 D 错误； 选C ． 巩固 102 函数 y k 与 y kx k (k 为常数且k 0) 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) x A． B． C． D． 【解析】 A 、 由反比例函数的图象在一、三象限可知， k 0 ，k 0 ， 一次函数 y kx k 的图象经过一、三、四象限，故本选项错误； B 、 由反比例函数的图象在二、四象限可知， k 0 ，k 0 ， 一次函数 y kx k 的图象经一、二、四象限，故本选项错误； C 、 由反比例函数的图象在一、三象限可知， k 0 ，k 0 ， 一次函数 y kx k 的图象经过一、三、四象限，故本选项正确； D 、 由反比例函数的图象在一、三象限可知， k 0 ，k 0 ， 一次函数 y kx k 的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；选C ． 巩固 103 在四边形 ABCD 中， AB / / DC ， A 60 ， AD DC BC 4 ，点 E 沿 A D C B 运动，同时点 F 沿 A B C 运动，运动速度均为每秒 1 个单位，当两点相遇时，运动停止，则AEF 的面积 y 与运动时间 x 秒之间的图象大致为( ) A． B． C． D． 【解析】 点 E 沿 A D C B 运动，同时点 F 沿 A B C 运动，运动速度均为每秒 1 个单位， A 60 ， AEF 为等边三角形， AD DC BC 4 当0� x� 4 时， AE AF x ， AEF 的面积 y 1 xxsin 60 3 x2 2 4 ( 3 )当4 x� 8 时，如图 1， AF x ，作 DG AB 于G ，则 DG 4sin 60 2 AEF 的面积 y 1 AF DG 1 x 4 3 3x 2 2 2 当8 x� 10 时，如图 2， CE x 8 ， BF x 8 ，则 EF 4 (x 8) (x 8) 20 2x 过 D 作 DG AB ， CH AB ，连接 AC ， AB / / DC ， AD DC BC 4 四边形 ABCD 为等腰梯形， AG BH 4 cos 60 2 ， GH DC 4 ( 3 ) AH 2 4 6 ， CH DG 2 ， AB 2 4 2 8 ( AH 2 CH 2 )由勾股定理得： AC 4 ， AC 2 BC 2 48 16 64 AB2 ( 6 2 (2 3) 2 ) ( 3 )ACB 90 ，AEF 的面积 y 1 AC EF 2 3(20 2x) ， 此时 y 为 x 的一次函数， A 正确．选 A 2 巩固 104 如图，在四边形 ABCD 中， AD / / BC ， D 90 ， AB 4 ， BC 6 ， BAD 30 ．动点 P 沿路径A B C D 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点 D 运动．过点 P 作 PH AD ，垂足为 H ．设点 P 运动的时间为 x （单位： s) ， APH 的面积为 y ，则 y 关于 x 的函数图象大致是( ) A． B． C． D． 【解析】 ① 当点 P 在 AB 上运动时， y 1 AH PH 1 AP sin A AP cos A 1 x 2 3 3 x 2 ，图象为二次函数； 2 2 2 4 8 ② 当点 P 在 BC 上运动时，如下图， 由①知， BH AB sin A 4 1 2 ，同理 AH 2 ， ( 3 )2 则 y 1 AH PH 1 (2 3 x 4) 2 2 3 4 x ，为一次函数； 2 2 ( 3 )③ 当点 P 在CD 上运动时，同理可得： y 1 (2 2 6) (4 6 2 x) (3 3)(12 x) ，为一次函数； 选 D ． ( 2 )巩固 105 如图，在RtABC 中，ACB 90 ，AC BC 2 ，CD AB 于点 D ．点 P 从点 A 出发，沿 A D C 的路径运动，运动到点C 停止，过点 P 作 PE AC 于点 E ，作 PF BC 于点 F ．设点 P 运动的路程为 x ，四边形CEPF 的面积为 y ，则能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是( ) A． B． C． D． ( 2 )【解析】 在RtABC 中， ACB 90 ， AC BC 2 ， AB 4 ， A 45 ，CD AB 于点 D ， AD BD 2 ， PE AC ， PF BC ， 四边形CEPF 是矩形，CE PF ， PE CF ，  点 P 运动的路程为 x ， 当点 P 从点 A 出发，沿 A D 路径运动时， 即0 x 2 时， AP x ，则 AE PE xsin 45 2 x ，CE AC AE 2 ( 2 )2 2 x ， 2  四边形CEPF 的面积为 y ， y PECE 2 x(2 2 x) 1 x2 2x 1 (x 2)2 2 ， ( 2 )2 2 2 2 当0 x 2 时，抛物线开口向下； 当点 P 沿 D C 路径运动时，即2� x 4 时，CD 是ACB 的平分线， PE PF ， 四边形CEPF 是正方形， AD 2 ， PD x 2 ，CP 4 x ， y 1 (4 x)2 1 (x 4)2 ． 2 2 当2� x 4 时，抛物线开口向上， 综上所述：能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是： A ．选 A ． ( 二次函数系数与图像 ) 题组三主要考察分式、根式有意义的条件以及函数中自变量取值范围内容，属于简单题，关键识记知识。 1、二次函数中参数小命题 （1） 单参数 ① a 看抛物线的开口方向，开口向上 a 0 ，开口向下 a 0 ； ② b 看抛物线对称轴：左同右异。对称轴在 y 轴左边则与a 同号，对称轴在 y 轴右边则与a 异号 ③ c 看抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交点在 x 轴上方 c 0 ，在 x 轴下方 c 0 ， 乘积型abc、ac、bc 或商型 ab 以单个参数思路解决 （2） 多参数： c ① ma nb t 类型（含a,b ）：以对称轴 x0 b 2a 为出发点 ② n2a nb tc 类型（ a，b，c 都含的）：将其看作 x n 时的函数值 ③ nb2 mac 类型：利用判别式 与根的情况判断 ma nc t 、mb nc t 类型（含c,b 或a, c ）综合利用①②的思路解决 （3） 引入新参数eg : m(am b) 4a 2b ①配凑：左右同时 c ： am2 bm c 4a 2b c ，即 yxm yx2 ，不等式是否成立结合图像判断即可。 ②最值：移项： am2 bm 4a 2b 0 ，令 y am2 bm 4a 2b 把它当作 y 关于m 的二次函数。研究 y am2 bm 4a 2b 的最大（小）值是否大于（小于）零即可。 例题 37 如图，二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象与 x 轴交于 A ，B 两点，点 B 位于(4, 0) 、(5, 0) 之间，与 y 轴交于点C ，对称轴为直线 x 2 ，直线 y x c 与抛物线 y ax2 bx c 交于C ，D 两点， D 点在 x 轴上方且横坐标小于 5，则下列结论：① 4a b c 0 ；② a b c 0 ；③ m(am b) 4a 2b （其中m 为任意实数）；④ a 1 ， 其中正确的是( ) A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【解析】 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c 0 ， 抛物线的对称轴为直线 x 2b 4a ， 4a b c 4a 4a c c 0 ，所以①正确；  抛物线的对称轴为直线 x 2 ，与 x 轴的一个交点 B 位于(4, 0) 、(5, 0) 之间， 抛物线与 x 轴的另一个交点位于(0, 0) 、(1, 0) 之间， 即当 x 1 时， y 0 ，也就是a b c 0 ，因此②正确； 对称轴为 x 2 ， x 2 时的函数值大于或等于 x m 时函数值，即，当 x 2 时，函数值最大， am2 bm c� 4a 2b c ，即， m(am b)� 4a 2b ，因此③不正确；  直线 y x c 与抛物线 y ax2 bx c 交于C 、 D 两点， D 点在 x 轴上方且横坐标小于 5， x 5 时，一次函数值比二次函数值大，即25a 5b c 5 c ，而b 4a ， 25a 20a 5 ，解得a 1 ，因此④正确；综上所述，正确的结论有①②④，选C ． 例题 38 如图是二次函数 y ax2 bx c 图象的一部分，图象过点 A(3, 0) ，对称轴为直线 x 1 ，给出 6 个结论： ① 2a b 0 ；② abc 0 ；③ 5a b ．；④一元二次方程ax2 bx c 0 有两个根为 x 3 ， x 1 ．⑤ 3a c 0 ； 1 2 ⑥ m(am b) a(m 为任意实数），其中正确的个数有( ) A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个 ( 第 80 页 共 93 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 【解析】①  对称轴为 x b 2a 1 ， 2a b ， 2a b 4a ， a 0 ，故①错误； ②  抛物线的开口向下， a 0 ， 与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， c 0 ，  对称轴为 x b 2a 0 b 0 ， abc 0 ，故②正确； ③ 把 x 1 ， x 3 代入解析式得a b c 0 ， 9a 3b c 0 ， 两边相加整理得5a b c 0 ，即5a b ，故③正确； ④  对称轴为 x 1 ，图象过点 A(3, 0) ， 图象与 x 轴另一个交点(1, 0) ， 关于 x 的一元二次方程ax2 bx c 0 的解为 x 3 或 x 1 ，故④正确； ⑤ 由图象可知当 x 1 时，二次函数的最大值为 y a b c ， 即am2 bm c� a b c(m 为任意实数），整理得m(am b)� a b ， b 2a ， m(am b)� a(m 为任意实数），故⑤错误；选 D ． 巩固 106 二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的部分图象如图所示，图象过点(1, 0) ，对称轴为直线 x 1 ，下列结 论：① 2a b 0 ；② 9a c 3b ；③若点 A(3, y ) 、点 B( 1 ， y ) 、点C(7 ， y ) 在该函数图象上，则 y y y ： 1 2 2 2 3 1 3 2 ④若方程ax2 bx c 3(a 0) 的两根为 x 和 x ，且 x x ，则 x 1 3 x ；⑤ m(am b) b a ．其中正确的结 论有( ) 1 2 1 2 1 2 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解析】①由题意可知：对称轴 x 1 ， b 2a 1， 2a b 0 ，故①正确； ②当 x 3 时， y 0 ， y 9a 3b c 0 ，故②错误； ③ ( 7 ， y ) 关于直线 x 1 的对称点为( 3 ， y ) ，由图可知： x 1 时， y 随着 x 的增大而减小， 2 3 2 3 由于3 3 1 ， y y y ，故③正确； 2 2 1 3 2 ④ 设 y ax2 bx c ， y 3 ，由于图象可知：直线 y 3 与抛物线 y ax2 bx c 有两个交点， 方程ax2 bx c 3(a 0) 的两根为 x 和 x ， x 1 3 x ，故④正确； 1 2 1 2 ⑤ 当 x 1 时， y a b c ，此时a b c 为最大值，当 x m 时， y am2 bm c ， am2 bm c� a b c ，即m(am b) b� a ，故⑤错误；选C ． 巩固 107 二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象如图所示，分析下列四个结论，其中正确结论的个数有( ) ① abc 0 ；② 3a c 0 ；③ (a c)2 b2 ；④ 4ac 8a b2 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解析】抛物线开口向下， a 0 ，对称轴在 y 轴左侧， a 、b 同号， b 0 ， 抛物线与 y 轴的交点在(0, 2) 上方， c 2 ，所以， abc 0 ，因此①不正确； 当 x 1 时， y a b c 0 ，当 x 1 时， y a b c 0 ，(a b c)(a b c) 0 ， 即(a c)2 b2 0 ，也就是(a c)2 b2 ，因此③正确； 抛物线顶点纵坐标 y 2 ，即 4ac b2 4a 2 ，又a 0 ，因此有4ac 8a b2 ，所以④正确； 对称轴在0 ~ 1 之间，因此有 b 2a 1 ，又a 0 ，故有b 2a ， 而a b c 0 ，有a 2a c 0 ，即3a c 0 ，因此②不正确； 综上所述，正确的结论有：③④，选 B ． 巩固 108 如图，抛物线 y ax2 bx c(a 0) 与 x 轴交于点 A(1, 0) ，与 y 轴的交点 B 在点(0, 2) 与点(0,3) 之间（不包括这两点），对称轴为直线 x 2 ．有下列结论： ① abc 0 ； ② 5a 3b c 0 ；③ 3 a 2 ；④若点M (9a, y ) ， N (5 a ， y ) 在抛物线上，则 y y ．其 5 5 中正确结论的个数是( ) 1 3 2 1 2 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】① 由开口可知： a 0 ， 对称轴 x b 2a 0 ，b 0 ， 由抛物线与 y 轴的交点可知： c 0 ， abc 0 ，故①正确； ②  对称轴 x b 2a 2 ，b 4a ，5a 3b c 5a 12a c 7a c ，  a 0 ， c 0 ，7a c 0 ，5a 3b c 0 ，故②正确； ③  x 1 ， y 0 ， a b c 0 ，b 4a ， c 5a ， 2 c 3 ， 2 5a 3 ， 3 a 2 ，故③正确， 5 5 ( 5 )④ 点M (9a, y ) ， N ( a ， y ) 在抛物线上，则 9a 5 a 3 11 a ， 1 3 2 2 3 当 11 a 2 时， y y ；当 11 a 2 时， y y ；故④错误；选C ． 3 1 2 3 1 2 巩固 109 如图，抛物线 y ax2 bx c(a 0) 与 x 轴交于点(3, 0) ，其对称轴为直线 x 1 ，结合图象分析下列 2 结论：① abc 0 ；②当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大；③ 3a c 0 ；④若m ，n(m n) 为方程a(x 3)(x 2) 3 0 的两个根，则m 3 且n 2 ，其中正确的结论有( ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【解析】抛物线开口向下， a 0 ，对称轴为 x b 2a 1 ，即a b ，因此b 0 ，与 y 的交点在正半轴， c 0 ， 2 所以abc 0 ，因此①正确； a 0 ，对称轴为 x 1 ， 当 x 1 时， y 随 x 的增大而增大， 2 2 因此②不正确；由对称性可知，抛物线与 x 轴的两个交点为(3 ， 0)(2 ， 0) ， 4a 2b c 0 ， 又 a b ，6a c 0 ， a 0 ，3a c 0 ，因此③正确；  抛物线与 x 轴的两个交点为(3 ， 0)(2 ， 0) ， m ， n(m n) 为方程a(x 3)(x 2) 3 0 的两个根，实际上就是当 y 3 时，函数 y a(x 3)(x 2) 相应的自变量 x 的值为m 、n ；，根据图象可知， m 3 且n 2 ，因此④正确；综上所述，正确的结论有：①③④，选 B ． 巩固 110 如图，二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象经过点(1, 2) 且与 x 轴交点的横坐标分别为 x ， x ，其中 1 2 1 x1 0 ，1 x2 2 ．给出下列结论：① abc 0 ，② a b c 0 ，③ 2a b 0 ，④1 a b 2c 2 ，⑤ 4a b 2 ．其中正确结论的个数是( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解析】抛物线开口向下，a 0 ，对称轴在 y 轴的右侧，a 、b 异号，因此b 0 ，与 y 轴的交点在正半轴，c 0 ， 所以abc 0 ，故①错误；当 x 1 时， y a b c 0 ，因此②正确； 对称轴在0 ~ 1 之间，于是有0 b 2a 1 ，又a 0 ，所以2a b 0 ，故③正确； 当 x 1 时， y a b c 2 ，又c 1 ，所以a b 2c 3 ，故④不正确； 当 x 2 时， y 4a 2b c 0 ，又因为a b c 2 ，即b c 2 a ，所以4a b (2 a) 0 ，也就 3a b 2 ，而a 0 ，因此4a b 2 ，⑤正确；综上所述，正确的结论有：②③⑤，选C ． 巩固 111 如图，已知二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴相交于 A(2, 0) 、B(1, 0) 两点．则以下结论：① ac 0 ； ②二次函数 y ax2 bx c 的图象的对称轴为 x 1 ；③ 2a c 0 ；④ a b c 0 ．其中正确的有( ) 个． A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】对于①：二次函数开口向下，故a 0 ，与 y 轴的交点在 y 的正半轴， 故c 0 ，故ac 0 ，因此①错误； 对于②：二次函数的图象与 x 轴相交于 A(2, 0) 、 B(1, 0) ，由对称性可知， 其对称轴为： x 2 1 1 ，因此②错误； 2 2 对于③：设二次函数 y ax2 bx c 的交点式为 y a(x 2)(x 1) ax2 ax 2a ， 比较一般式与交点式的系数可知： b a ， c 2a ，故2a c 0 ，因此③正确； 对于④：当 x 1 时对应的 y a b c ，观察图象可知 x 1 时对应的函数图象的 y 值在 x 轴上方故a b c 0 ，因此④正确． 只有③④是正确的．选C ． ( 反比例函数中 k 的求解与运用 ) 1、反比例函数k 的求解问题中，核心点是：把落在反比例函数上的点的坐标表示出来。结合运用三角形全等、三角形相似、锐角三角函数等知识点综合解题 2、k 的几何意义与面积模型 k 的几何 意义 ①过双曲线 y k (k 0) 上任意一点作 x 轴、 y 轴的垂 x 线 ， 所 得 矩 形 的 面 积 为 定 值 k ， S PM PN y x xy ②过双曲线 y k ( k ≠0) 上任意一点作一坐标轴的 x 垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 k . 2 矩形面积 模型 点A 和点B 在反比例函数 y k 图象上，过 x A、B 分别做x 轴y 轴的垂线得到两个矩形。有： S1 S2 三角形面积模型 点C 和点 D 在反比例函数 y k 图象上,连接O 、D 、C x 可得ODC ,过C、D 分别做 x 轴的垂线,垂足分别为 A 、 B , AD 与OC 交于 E 。 有：① SOCD S梯形ABCD SODE S梯形ABCE ② S 1 x x y y 1 x x y y OCD 2 D C D C 2 D C D C 3、几何结论 条 件 结 论 图 示 几何结论 直线k 1 AB CD ACOE 为矩形 BD //CE 例题 39 位于第一象限的点 E 在反比例函数 y k 的图象上，点 F 在 x 轴的正半轴上， O 是坐标原点．若 x EO EF ， EOF 的面积等于2 ，则k （ ） A．4 B．2 C．1 D．﹣2 【解析】因为位于第一象限的点 E 在反比例函数 y k 的图象上，点 F 在 x 轴的正半轴上， O 是坐标原点． x 若 EO EF ， EOF 的面积等于 2，所以 1 2xy 2 ，解得： xy 2 ，所以： k 2 ，选 B 2 例题 40 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的顶点 A 与原点O 重合，顶点 B 落在 x 轴的正半轴上，对 角线 AC 、 BD 交于点M ，点 D 、M 恰好都在反比例函数 y k (x 0) 的图象上，则 AC 值为( ) x BD ( 3 ) ( 5 )A． 2 B． C．2 D． 【解析】设 D(m, k ) ， B(t, 0) ， M 点为菱形对角线的交点， BD AC ， AM CM ， BM DM ， m M ( m t ， k ) ，把M ( m t ， k ) 代入 y k 得 m t  k k ，t 3m ， 2 2m 2 2m x 2 2m  四边形 ABCD 为菱形，OD AB t ， m2 ( k )2 (3m)2 ，解得k 2 2m2 ，M (2m, 2m) ， ( 2 )m 在RtABM 中， tan MAB BM AM 2m 1 2m ， AC BD 2 ．选 A 巩固 112 已知点 P(a,b) 在反比例函数 y 2 的图象上，则ab ． x 【解析】 点 P(a, b) 在反比例函数 y 2 的图象上，b 2 ， ab 2 x a ( x )巩固 113 若点（3，5）在反比例函数 y ␰ k（k≠0）的图象上，则k＝ ． 【解析】把点(3,5) 的纵横坐标代入反比例函数 y k 得： k 3 5 15 x 巩固 114 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y k (x 0) 的图 x 象经过对角线OB 的中点 D 和顶点C ．若菱形OABC 的面积为 12，则k 的值为( ) A．6 B．5 C．4 D．3 【解析】 设点 A 的坐标为(a, 0) ，点C 的坐标为(c, k ) ， c a k 12 c 则a k 12 ，点 D 的坐标为( a c , k ) ， k k ，解得， k 4 ，选C ． ( 2 c )c 2 2c a c 2 ( x )巩固 115 如图 1，反比例函数 y k (x 0) 的图象过 A、B 两点，过 A 作 AC x 轴，过点 B 作 BD x 轴，垂足为 D ，连接 AQ ， BO 交 AC 于 E ，若OC CD ，四边形 BDCE 的面积为2 ，则k 的值为 ． 【解析】 设点 B 坐标为(a,b) ，则 DO a ， BD b , AC x 轴， BD x 轴 BD / / AC ,OC CD ,CE 1 BD 1 b ， CD 1 DO 1 a 2 2 2 2  四边形 BDCE 的面积为 2, 1 (BD CE) CD 2 ，即 1 (b 1 b) ( 1 a) 2 ab 16 2 2 2 2 3 将 B(a, b) 代入反比例函数 y k (k 0) ，得k ab 16 故答案为： 16 x 3 3 巩固 116 已知点 A(a,b) 在双曲线 y 5 上，若a、b 都是正整数，则图象经 过 B(a,0) 、C(0，b) 两点的一次 x 函数的解析式（也称关系式）为 ． 【解析】 点 A(a,b) 在 y 5 上， ab 5 ， a 、b 都是正整数， a 1 ，b 5 或a 5 ，b 1 x 设经过B(a, 0) 、C(0,b) 两点的一次函数的解析式为 y mx n ． ( 第 90 页 共 93 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 ① 当a 1 ， b 5 时，由题意， 得 n 5 ，解得m 5 ( m n 0 ) ( n 5 ) ， y 5x 5 ； 5m n 0 m 1 1 ② 当a 5 ， b 1 时，由题意， 得 n 1 ，解得 n 1 5 ， y 5 x 1 ． 则所求解析式为 y 5x 5 或 y 1 x 1 ．故答案为 y 5x 5 或 y 1 x 1 ． 5 5 巩固 117 如图 2，点 A 在双曲线 y k (x 0) 上，过点 A 作 AB x 轴，垂足为点 B ，分别以点O 和点 A 为 x 圆心，大于 1 OA 的长为半径作弧，两弧相交于 D ， E 两点，作直线 DE 交 x 轴于点C ，交 y 轴于点 F (0,2) ， 2 连接 AC ．若 AC 1 ，则k 的值为（ ） A． 2 B． 32 C． 4 3 25 5 D． 2 5 2 5 【解析】 如图，设OA 交CF 于 K ．由作图可知， CF 垂直平分线段OA ，OC CA 1 ， OK AK ， 在RtOFC 中， CF 5 ， AK OK 1 2 2 5 ，OA 4 5 ， ( OF 2 OC 2 ) ( 5 )5 5 由 FOC∽OBA ， OF OC CF ， 2 1 5 ，OB 8 ， AB 4 ， A(8 ， 4) ， k 32 选 B OB AB OA OB AB 4 5 5 5 5 5 5 25 ， 巩固 118 如图，直线 y x 2 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，与反比例函数 y k (x 0) 的图象交于点C ， x 点 D(3, a) 在直线 y x 2 上，连接OD ， OC ，若COD 135 ，则k 的值为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【解析】作CH y 轴于 H ，如图，当 x 0 时， y x 2 2 ，则 B(0, 2) ； ( 2 )当 y 0 时， x 2 0 ，解得 x 2 ，则 A(2, 0) ，当 x 3 时， y x 2 1 ，则 D(3, 1) ， ( (3 2) 2 1 2 ) AD ，OA OB ，OAB 为等腰直角三角形，OAB ABO 45 ， OBC OAD 135 ， CBH 45 ，COD 135 ，而AOB 90 ，1 2 45 ， OAB 2 3 45 ，1 3 ，OBC∽DAO ， ( 2 ) BC OB ， 即 BC 2 ，解得 BC 2 ，BCH 为等腰直角三角形，CH BH 2 BC 2 ， ( 2 )OA AD 2 2 C(2, 4) ，把C (2, 4) 代入 y k 得k 2 4 8 ．选 D ． x 巩固 119 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点 A 、C 分别在 x 轴、y 轴上，反比例函数 y k (k 0, x 0) 的图象与正方形OABC 的两边 AB 、 BC 分别交于点M 、 N ， ND x 轴，垂 x ( 2 )足为 D ，连接OM 、ON 、MN ，则下列选项中的结论错误的是( ) A． OCN OAM C． ON MN B．四边形 DAMN 与OMN 面积相等D．若MON 45 ， MN 2 ，则点C 的坐标为(0, 1) 【解析】 点M 、 N 都在 y k 的图象上， S S 1 k ，即 1 OCNC 1 OA AM ， x ONC OAM 2 2 2  四边形 ABCO 为正方形，OC OA ， OCN OAM 90 ， NC AM OCN OAM ， A 正确；  SOND SOAM 1 k ，而S 2 OND · S四边形DAMN SOAM · SOMN ， 四边形 DAMN 与MON 面积相等， B 正确； OCN OAM ，ON OM ， k 的值不能确定，MON 的值不能确定， ONM 只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，ON MN ， C 错误； ( 2 )作 NE OM 于 E 点，如图所示：MON 45 ，ONE 为等腰直角三角形， NE OE ，设 NE x ，则ON 2x ，OM 2x ， EM 2x x ( 1)x ， ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )在RtNEM 中， MN 2 ， MN 2 NE2 EM 2 ，即22 x2 [( 1)x]2 ， x2 2 ， ON 2 ( 2x)2 4 2 ，CN AM ， CB AB ， BN BM ，BMN 为等腰直角三角形， BN 2 MN ，设正方形 ABCO 的边长为a ，则OC a ， CN a ， ( 2 ) ( 2 )2 在RtOCN 中，OC 2 CN 2 ON 2 ，a2 (a 2)2 4 2 ，解得a 1 ， a 1 （舍去）， ( 2 ) ( 2 )1 2 ( 2 ) ( 2 )OC 1， C 点坐标为(0, 1) ， D 正确．选C $$