第18章 【模型构建专题】 正方形中常见的几何图形结构-【木牍中考●课时A计划】2024-2025学年八年级下册数学配套课件（人教版）

RJ 数 学 8年级 下册 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 【模型构建专题】　 正方形中常见的几何图形结构 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 类型1　“十字架”结构 正方形中存在端点在正方形的边上且互相垂直的线段，看起来像“十字架”，利用垂直证明三角形全等得出线段或角的关系. -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 1.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，AE⊥BF于点G，CH⊥BF于点H，BG＝HG. (1)求证：BH＝AG； (2)若AB＝4，求CH的长. 1 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 解：(1)易证△ABG≌△BCH，∴BH＝AG. (2)由(1)知△ABG≌△BCH， ∴CH＝BG＝HG. 设CH＝BG＝x，则AG＝2x. 在Rt△ABG中，x2＋(2x)2＝42， ∴x＝(负值舍去)，即CH＝. 1 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 2.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥DE交DE于点F，交CD于点G，连接BF. (1)求证：△ADG≌△DCE； (2)求证：AB＝FB. 2 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 证明：(1)证明略. (2)延长DE交AB延长线于点H. ∵E是BC的中点，∴BE＝CE. 又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB， ∴△DCE≌△HBE， ∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点. 又∵∠AFH＝90°， ∴FB＝AH＝AB. 2 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 3.如图，已知四边形ABCD是正方形. (1)如图1，E，F分别是边CD，AD上的一点，且AE⊥BF，求证：AE＝BF. (2)如果点M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上，且MN＝EF，那么MN⊥EF？请在图2，3中画图表示，并作简要说明. 3 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 解：(1)证明略. (2)MN与EF不一定垂直. 如图1所示，当MN＝EF时，MN⊥EF； 如图2所示，当MN＝EF时，MN与EF不垂直. 3 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 类型2　“a＝2b”结构 在正方形中存在直角三角形利用斜边上的中线得“a=2b”；或在正方形中存在三角形利用其中位线得“a=2b”. -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 4.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝CF，连接AE，BF交于点O，M为AB的中点，连接OM.求证：AB＝2OM. 证明：易证△ABE≌△BCF， ∴∠BAE＝∠CBF. ∵∠ABO＋∠CBF＝90°， ∴∠ABO＋∠BAO＝90°，即∠AOB＝90°. 在Rt△ABO中，∵M是斜边AB的中点， ∴OM＝AB，即AB＝2OM. 4 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 5.如图，在正方形ABCD中，O为对角线的交点，AE平分∠BAC交BC于点E，交OB于点F.求证：CE＝2OF. 5 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 解：取AE的中点M，连接OM. 易知OA＝OC，MA＝ME，∠OFM＝67.5°， ∴OM＝CE，OM∥CE， ∴∠MOA＝∠BCA＝45°， ∴∠OMF＝∠EAC＋∠MOA＝67.5°， ∴∠OFM＝∠OMF，∴OF＝OM＝CE， ∴CE＝2OF. 5 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 类型3　“a＝b”结构 在正方形中构造一个等腰直角三角形，利用勾股定理证明“a=b”. -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 6.如图，在正方形ABCD中，AC，BD交于点O，E为OD上一点，且BE＝BA，连接AE. (1)求证：AE平分∠DAC； (2)求证：DE＝OE. 证明：(1)易得∠DAE＝∠OAE＝22.5°， ∴AE平分∠DAC. (2)过点E作EM⊥AD于点M. ∵AE平分∠DAC，EO⊥AO，EM⊥AD， ∴OE＝EM，∴DE＝EM＝OE. 6 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 7.如图，在正方形ABCD中，E为AC上一点，F为CD上一点，且ED＝EF.求证：BF＝ED. 证明：连接BE.易证△CBE≌△CDE， ∴EB＝ED＝EF，∠EBC＝∠EDC＝∠EFD. ∵∠EFD＋∠EFC＝180°， ∴∠EBC＋∠EFC＝180°， ∴∠BEF＋∠BCD＝180°. ∵∠BCD＝90°，∴∠BEF＝90°， ∴BF＝EF＝ED. 7 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 8.［2024·合肥四十五中期末改编］如图，已知四边形ABCD是正方形，P(不与点D重合)是对角线BD上的一个动点. (1)如图1，连接AP，CP，求证：△ABP≌△CBP； (2)如图2，连接CP，过点P作PE⊥CP交线段AB于点E，连接CE，求∠PCE的度数； (3)如图3，连接CP，过 点P作PE⊥CP交线段AB 于点E，在点P的运动过 程中，探究线段PB，PD， BE的数量关系，并说明理由. 8 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 解：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴BA＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°， 在△ABP和△CBP中， ∴△ABP≌△CBP(SAS). (2)过点P作PG⊥AB于点G，PH⊥BC于点H. 易证△PGE≌△PHC，∴PE＝PC， 又∵PE⊥CP，∴∠EPC＝90°， ∴△EPC是等腰直角三角形，∴∠PCE＝45°. 8 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 (3)PB－PD＝BE. 理由：过点P作PG⊥AB于点G，GP的延长线交CD于点F，PH⊥BC于点H. 由(2)可知四边形PGBH是正方形， ∴BG＝BP. ∵∠PHC＝∠HCF＝∠PFC＝90°， ∴四边形PHCF是矩形，∴CH＝PF. 又∵CH＝EG，∴EG＝PF. 8 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 ∵∠PFD＝90°，∠PDF＝45°， ∴△PDF是等腰直角三角形， ∴PF＝PD，∴EG＝PD. ∵BG＝BP，BG＝BE＋EG， ∴PB＝BE＋PD， ∴PB－PD＝BE. 8 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的几何图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 $$