第5章 概率章末检测试卷(5) -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

章末检测试卷(五) (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．若“A＋B”发生(A，B中至少有一个发生)的概率为0.6，则，同时发生的概率为(　　) A．0.6 B．0.36 C．0.24 D．0.4 答案　D 解析　“A＋B”发生指A，B中至少有一个发生，它的对立事件为A，B都不发生，即，同时发生． 2．某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表： 时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数 5 544 9 013 13 520 17 191 男婴数 2 716 4 899 6 812 8 590 这一地区男婴出生的概率约是(　　) A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 答案　B 解析　由表格可知，男婴出生的频率依次约为0.49，0.54，0.50,0.50，故这一地区男婴出生的概率约为0.5. 3．甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏(石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头)，现两人同时随机出拳，则游戏只进行一回合就分出胜负的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　甲、乙两人同时随机出拳一次的可能结果共有3×3＝9(种)，其中游戏只进行一回合就分出胜负的可能结果共有3＋3＝6(种)，故所求概率P＝＝. 4．某娱乐节目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到苦脸就未获奖．参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会，某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　该观众翻两次牌后，还有18个商标，其中只有3个有奖金，所以第三次翻牌获奖的概率为＝. 5．一个骰子连续投2次，点数和为i(i＝2,3，…，12)的概率记作Pi，则Pi的最大值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　所有的样本点是 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)； (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)； (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)； (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)； (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)； (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)， 共有36个．其中两数之和等于7的有6个，两数之和等于其余数字的都少于6个，故P7＝＝最大． 6．学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，若这一天下雨，则推迟至后一天，若这三天都下雨，则推迟至下一周．已知这三天每天下雨的概率均为，则这周能进行决赛的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设这周能进行决赛为事件A，则这周不能进行决赛为，若三天都下雨，则推迟到下一周，所以P()＝××＝，则P(A)＝1－P()＝. 7．从一批苹果中随机抽取50个，其质量(单位：克)的频数分布表如下： 分组 [80,85) [85,90) [90,95) [95,100] 频数 5 10 20 15 用分层抽样的方法从质量在[80,85)和[95,100]内的苹果中共抽取4个，再从抽取的4个苹果中任取2个，则有1个苹果的质量在[80,85)内的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设从质量在[80,85)内的苹果中抽取x个，则从质量在[95,100]内的苹果中抽取(4－x)个，因为频数分布表中[80,85)，[95,100]两组的频数分别为5,15，所以5∶15＝x∶(4－x)，解得x＝1，即抽取的4个苹果中质量在[80,85)内的有1个，记为a，质量在[95,100]内的有3个，记为b1，b2，b3，任取2个有ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3，b2b3共6个样本点，其中有1个苹果的质量在[80,85)内的样本点有ab1，ab2，ab3，共3个，所以所求概率为＝. 8．甲袋中装有m个白球，n个黑球，乙袋中装有n个白球，m个黑球(m≠n)，现从两袋中各摸一个球，A＝“两球同色”，B＝“两球异色”，则P(A)与P(B)的大小关系为(　　) A．P(A)<P(B) B．P(A)＝P(B) C．P(A)>P(B) D．视m，n的大小而定 答案　A 解析　设A1＝“取出的都是白球”，A2＝“取出的都是黑球”，则A1，A2互斥且A＝A1∪A2，P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝. 设B1＝“从甲袋取出白球，乙袋取出黑球”， B2＝“从甲袋取出黑球，乙袋取出白球”， 则B1，B2互斥且B＝B1∪B2，P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝. 由于m≠n，故2mn<m2＋n2.故P(A)<P(B)． 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是(　　) A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B．上海今天可能降雨，而北京可能不降雨 C．北京和上海都可能不降雨 D．北京降雨的可能性比上海大 答案　BCD 解析　概率表示某个随机事件发生的可能性大小，因此BCD正确，A错误． 10．下列说法中正确的有(　　) A．若事件A与事件B是互斥事件，则P(AB)＝0 B．若事件A与事件B是对立事件，则P(A＋B)＝1 C．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D．把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 答案　ABC 解析　事件A与事件B互斥，则不可能同时发生，所以P(AB)＝0，故A正确；事件A与事件B是对立事件，则事件B即为事件，所以P(A＋B)＝1，故B正确；事件“至少有两次中靶”与“至多有一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，所以为对立事件，故C正确；事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，所以不是互斥事件，故D错误． 11．从甲袋中摸出1个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从甲袋、乙袋各摸出1个球，则下列结论正确的是(　　) A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 答案　ACD 解析　设从“甲袋中摸出1个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出1个红球”为事件A2，则P(A1)＝，P(A2)＝，且A1，A2独立．对于A选项，2个球都是红球为A1A2，其概率为×＝，故A正确；对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为1－＝，故B错误；对于C选项，2个球中至少有1个红球的概率为1－P(1)P(2)＝1－×＝，故C正确；对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为×＋×＝，故D正确． 12．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a，b)．则(　　) A．所有的数对(a，b)共有30种可能 B．函数y＝f(x)有零点的概率为 C．使函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增的数对(a，b)共有13个 D．函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增的概率为 答案　BC 解析　(a，b)有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共15种情况，故A错误； 函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种情况满足条件，所以函数y＝f(x)有零点的概率为＝，故B正确； 因为a>0，函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝，在区间[1，＋∞)上单调递增，所以有≤1.满足条件的有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共13种情况．所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增的概率为，故C正确，D错误． 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝的概率是 ________. 答案　 解析　样本点总数为10，满足cos x＝的样本点数为3，故所求概率为P＝. 14．在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为________，“是整数”的概率为________． 答案　　 解析　因为在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，所以样本点总数n＝4×3＝12. “不是整数”包含的样本点有，，，，，，，，共8个，所以“不是整数”的概率为＝.“是整数”与“不是整数”是对立事件，其概率为1－＝. 15．为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只，标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚________只． 答案　160 000 解析　设保护区内有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以＝，解得x＝160 000. 16．甲、乙两人投篮命中的概率分别为p，q，已知p＝，且他们各投2次，甲比乙投中次数多的概率为，则q的值为________． 答案　 解析　甲比乙投中次数多的可能情形有两种，设为事件A，B.事件A：甲投中1次，乙投中0次；事件B：甲投中2次，乙投中1次或0次．P(乙投中0次)＝(1－q)(1－q)，所以P(A)＝(1－q)2.P(甲投中2次)＝p2＝，P(乙投中1次)＝q(1－q)＋(1－q)q，所以P(B)＝×[2q(1－q)＋(1－q)2]．显然事件A，B互斥，所以由甲比乙投中次数多的概率为得P(A)＋P(B)＝，即(1－q)2＋×[2q(1－q)＋(1－q)2]＝，解得q＝或q＝(舍)．故q的值为. 四、解答题(本题共6小题，共70分) 17．(10分)某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑，希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑． (1)写出所有选购方案； (2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？(直接写出结果即可) 解　(1)画出树状图如图： 则选购方案为(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)． (2)A型号电脑被选中的情形为(A，D)，(A，E)，即含2个样本点，所以A型号电脑被选中的概率为P＝＝. 18．(12分)某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张．甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张． (1)两人都抽到足球票的概率是多少？ (2)两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？ 解　记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A；“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B；“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件；“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件， 于是P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝. 由于甲(或乙)是否抽到足球票，对乙(或甲)是否抽到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件． (1)甲、乙两人都抽到足球票就是事件AB发生，根据相互独立事件的概率公式，得P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝. (2)甲、乙两人均未抽到足球票(事件发生)的概率为P( )＝P()P()＝×＝， 所以两人中至少有1人抽到足球票的概率为P＝1－P( )＝1－＝. 19．(12分)有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字(指针指到分界线上时重转)．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种： A．猜“是奇数”或“是偶数”； B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”； C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”． 请回答下列问题： (1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？ (2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？ (3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性． 解　(1)A方案中，“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5；B方案中，“是4的整数倍数”的概率为0.2，“不是4的整数倍数”的概率为0.8；C方案中，“是大于4的数”的概率为0.6，“不是大于4的数”的概率为0.4.故选择B方案，猜“不是4的整数倍数”获胜的概率最大． (2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的． (3)可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，也可以保证游戏的公平性(答案不唯一)． 20．(12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区抽取7个工厂进行调查．已知A，B，C区分别有18,27,18个工厂． (1)求从A，B，C区分别抽取的工厂个数； (2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果对比，求这2个工厂中至少有1个来自A区的概率． 解　(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为＝，所以从A，B，C三个区分别抽取的工厂个数为2,3,2. (2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，样本点有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21个． 随机抽取的2个工厂至少有1个来自A区(记为事件X)的样本点有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共有11个，所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝. 21．(12分)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表： 投资股市： 投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20% 概率 购买基金： 投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10% 概率 p q (1)当p＝时，求q的值； (2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围． 解　(1)因为“购买基金”的投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果两两互斥，所以p＋＋q＝1，又p＝，所以q＝. (2)记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C＝A∪B∪AB，且A，B相互独立． 由题意可知P(A)＝，P(B)＝p. 所以P(C)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝×(1－p)＋p＋p＝＋p. 因为P(C)＝＋p>， 所以p>. 又p＋＋q＝1，q≥0，所以p≤. 所以<p≤. 22．(12分)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛．在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队(每队3人)狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响． (1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队得分与乙队得分为1∶2的概率． 解　(1)记“乙队总得分为3分”为事件A，“乙队总得分为1分”为事件B.乙队得3分，即三人都回答正确，其概率P(A)＝3＝.乙队得1分，即三人中只有1人答对，其余两人都答错，其概率P(B)＝3××2＝. (2)记“甲队总得分为1分”为事件C，“乙队总得分为2分”为事件D. 事件C即甲队三人中只有1人答对，其余2人答错，则P(C)＝××＋××＋××＝， 事件D即乙队三人中只有2人答对，剩余1人答错，则P(D)＝3×2×＝， 则甲队得分与乙队得分为1∶2的概率P＝P(C)P(D)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$