4.5.1 几种简单几何体的表面积 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

4.5.1　几种简单几何体的表面积 [学习目标]　1.知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积的计算公式.2.能用公式解决简单的实际问题． 导语 金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬的物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形．金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色、璀璨夺目的钻石．如图就是一块正八面体的金刚石． 如果已知该金刚石的棱长，你能求出它的表面积吗？让我们一起学习今天的知识来解决该类问题吧！ 一、柱体、锥体、台体的表面积 问题1　棱柱、棱锥、棱台的表面都由底面和侧面组成，因而其表面积(也称全面积)就是其底面积和侧面积之和，底面积容易计算，那么如何求其侧面积？ 提示　可借助其侧面展开图来求侧面积． 知识梳理 1．棱柱的表面积 (1)直棱柱的侧面展开图 (2)直棱柱的侧面积公式S直棱柱侧＝Ch，其中，C为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高． 2．棱锥的表面积 (1)正棱锥的侧面展开图 (2)正棱锥的侧面积公式S正棱锥侧＝Ch′，其中，C为正棱锥的底面周长，h′为侧面等腰三角形的高． 3．棱台的表面积 (1)正棱台的侧面展开图 (2)正棱台的侧面积公式S正棱台侧＝(C＋C′)h′，其中C，C′为棱台两底面的周长，h′为棱台侧面的高． 4．几类常见旋转体的侧面积、表面积 旋转体 图形 表面积公式 圆柱 底面积：S底＝2πr2， 侧面积：S侧＝2πrl， 表面积：S＝2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝πr2， 侧面积：S侧＝πrl， 表面积：S＝πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2， 下底面面积：S下底＝πr2， 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)， 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 例1　(1)已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积． 解　如图所示，画出正三棱台ABC－A1B1C1，其中O1，O分别为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高， 四边形ODD1O1为直角梯形， 所以DD1＝＝＝， 所以此三棱台的表面积S表＝S侧＋S底＝×(3×3＋3×6)×＋×32＋×62＝ (cm2)． (2)已知圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等．则圆柱的表面积和圆锥的表面积之比为________． 答案　(－1)∶1　 解析　如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R，则有＝， 即＝， 所以R＝2r，圆锥的母线长l＝R， 所以＝＝＝＝＝－1. 反思感悟　(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积的求法 ①求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长、高、斜高、侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用． ②正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数． ③棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大小棱锥的侧面积作差得到． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积的计算，先求相关分量，代入公式求解即可． 跟踪训练1　已知一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． 解　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝2＋2＝＝＝64， ∴AB＝8. ∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160. 二、球的表面积 问题2　棱柱、棱锥、棱台可以通过展开成平面图形来计算表面积，这种方法是否同样适用于球的表面积的计算？ 提示　不适用，球的表面积由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数． 知识梳理 球的表面积公式：S球＝4πR2(R为球的半径)． 例2　已知△ABC的三个顶点在球O的表面上，且AB＝4，AC＝2，BC＝6.若球心O与BC中点的连线长为4，求球的表面积． 解　∵AB＝4，AC＝2，BC＝6， ∴AB2＋AC2＝BC2， 即△ABC为直角三角形． ∴平面ABC被球所截得的图形是以BC为直径的圆． 由已知，球心O与截面圆圆心的距离为4， ∴球的半径R＝＝5. ∴球的表面积S＝4πR2＝100π. 反思感悟　(1)公式是计算球的表面积的关键，半径与球心是确定球的条件． (2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方． 跟踪训练2　已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________． 答案　 解析　如图，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2得 HA＝·2R＝R，∴OH＝. ∵截面面积为π＝π·(HM)2， ∴HM＝1. 在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2， ∴R2＝R2＋HM2＝R2＋1， ∴R2＝，∴S球＝4πR2＝4π×＝. 三、组合体的表面积 例3　某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积． 解　该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 反思感悟　求组合体的表面积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减． 跟踪训练3　某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均为正方形，侧面为全等等腰梯形的四棱台A1B1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面为全等矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2. 现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，则需加工处理费多少元？ 解　因为四棱柱ABCD－A2B2C2D2的底面为正方形，侧面为全等的矩形，则其表面积S1＝＋S四个矩形侧面＝(A2B2)2＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1 300(cm2)． 又因为四棱台A1B1C1D1－ABCD的上、下底面均为正方形，侧面为全等的等腰梯形，则其表面积 S2＝＋S四个侧面梯形 ＝(A1B1)2＋4×(AB＋A1B1)h等腰梯形 ＝202＋4××(10＋20)× ＝1 120(cm2)． 所以该实心零部件的表面积为 S＝S1＋S2＝1 300＋1 120＝2 420(cm2)， 故所需加工处理费为0.2S＝0.2×2 420＝484(元)． 1．知识清单： (1)柱体、锥体、台体的表面积． (2)球的表面积． (3)组合体的表面积． 2．方法归纳：公式法、展开图法． 3．常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚；组合体的表面积计算时没考虑公共面． 1．已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶6 D．1∶8 答案　B 解析　∵半径之比为1∶2，且S＝4πR2，∴表面积之比为半径之比的平方，为1∶4. 2．若正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为(　　) A．3a2 B．2a2 C.a2 D．4a2 答案　C 解析　S＝4××a×a＝a2. 3.如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为(　　) A．12＋3π B．12＋1.5π C．24＋2π D．24＋1.5π 答案　D 解析　几何体的表面积为 S＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π. 4．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为 ______ cm2. 答案　1 012 解析　易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为＝12(cm)，所以正四棱台的表面积S＝4××(8＋18)×12＋82＋182＝1 012(cm2)． 1．已知正四棱柱的底面边长为3 cm，侧面的对角线长是3 cm，则这个正四棱柱的表面积为(　　) A．90 cm2 B．36 cm2 C．72 cm2 D．54 cm2 答案　A 解析　由题意得，侧棱长为＝6(cm)，所以正四棱柱的表面积为4×3×6＋2×32＝90(cm2)． 2．已知一球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是(　　) A. B. C. D．2πC2 答案　C 解析　由2πR＝C，得R＝，所以S球＝4πR2＝. 3．若一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为(　　) A．8 B．8 C．8 D．4 答案　A 解析　∵球的半径为1，且正方体内接于球， ∴球的直径为正方体的体对角线，即正方体的体对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a，则有(a)2＝4，即a2＝. ∴正方体的表面积为6a2＝6×＝8. 4．已知正三棱锥的底面边长为a，高为a，则其侧面积为(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 答案　A 解析　正三棱锥如图所示，其中PO为其高，PD为△PBC的高， ∴OD＝××a＝a， 则PD＝＝a， ∴S侧＝×BC×PD×3＝×a×a×3＝a2. 5．若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的表面积为(　　) A．50 B．100 C．248 D．168 答案　D 解析　由题意可知，正四棱台的斜高为＝5， 故侧面积等于4××5＝100， 表面积为S＝100＋22＋82＝168. 6．若正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线的长为2，则它的表面积为(　　) A．4(3＋4) B．12(＋2) C．12(2＋1) D．3(＋8) 答案　B 解析　如图，由正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为2，最长的一条对角线的长为2， 得BB1＝＝＝2，它的表面积S表＝2S底＋6S矩形＝2×6××2×2×sin ＋6×2×2＝12＋24＝12(＋2)． 7．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为5 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为 ________ cm2. 答案　60 解析　棱柱的侧面展开图的面积即为棱柱的侧面积，∴棱柱的侧面积为3×5×4＝60(cm2)． 8．已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰好等于两底面面积之和，则该正四棱台的高为________． 答案　 解析　设正四棱台的高和斜高分别为h，h′. 由题意得4××(1＋2)×h′＝12＋22， 解得h′＝. 根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形， 可得h2＋2＝2，解得h＝. 9.如图，在正四棱锥S－ABCD中，SO是这个四棱锥的高，SM是斜高，且SO＝8，SM＝11. (1)求这个四棱锥的侧棱长； (2)求这个四棱锥的表面积． 解　(1)在Rt△SOM中，OM＝＝＝. 在Rt△SBM中，SM＝11，BM＝OM＝， ∴侧棱长SB＝＝＝. (2)结合(1)得，S侧＝4××BC×SM＝4××2×11＝44，S底＝BC2＝(2)2＝228， ∴S表＝S侧＋S底＝44＋228. 10．如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积． 解　如图，设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，高为h，表面积为S. 则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2，h＝AO－AE＝，即AE＝. 易知△AEB∽△AOC，∴＝， 即＝，∴r＝1， 则S圆柱底＝2πr2＝2π，S圆柱侧＝2πr·h＝2π. ∴S＝S圆柱底＋S圆柱侧＝2π＋2π＝(2＋2)π. 11．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示，正方体的A′，C′，D，B四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为a，则正四面体边长为a.∴正方体表面积S1＝6a2，正四面体表面积为S2＝4××(a)2＝2a2， ∴＝＝. 12．某几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积为(　　) A．36＋12π B．36＋16π C．40＋12π D．40＋16π 答案　C 解析　由几何体的直观图可知该几何体为长方体与半圆柱的组合体， 其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4,2,2， ∴几何体的表面积S＝π×22×2＋×π×4×4＋2×4＋2×4×2＋2×4＋2×2×2＝40＋12π. 13．如图所示，正方体的棱长为4，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为________． 答案　16 解析　由题意知所得几何体是八面体，且八面体是由两个底面边长为2，高为2的四棱锥组成，则该八面体的表面积是这两个四棱锥的侧面积之和．又四棱锥的侧棱长为l＝＝2，所以以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的表面积为S＝8××2×2×sin 60°＝16. 14．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________． 答案　8 解析　图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图中所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8. 15.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积(含最底层正方体的底面积)为 ________. 答案　36 解析　易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1， ∴S表＝6×[22＋()2＋12]－2×12－2×()2＝36. ∴该塔形几何体的表面积为36. 16．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，求圆锥的侧面积和球的表面积之比． 解　如图，△ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O， 由题意知AD＝3OE， 则OA＝2OE， 设OE＝r， 则OA＝2r，AD＝3r， 在Rt△AEO中，sin∠EAO＝， 又∵0°<∠EAO<90°，∴∠EAO＝30°. 在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝＝， ∴BD＝r. 则AB＝＝＝2r， 圆锥的侧面积为π×BD×AB＝6πr2， 球的表面积为4πr2， ∴所求的比值为6πr2∶4πr2＝3∶2. 学科网（北京）股份有限公司 $$