4.5 课时1 几种简单几何体的表面积 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第4章 立体几何初步 4.5 几种简单几何体的表面积和体积 1 课时1 几种简单几何体的表面积 2 #b# 1.通过对柱体、锥体、台体、球的研究，掌握柱体、锥体、台体、球的表面积的求法. （直观想象、数学运算） #b# 2.了解柱体、锥体、台体、球的表面积计算公式.（直观想象、数学运算） #b# 3.能运用柱体、锥体、台体、球的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.（直观想 象、数学运算） 学习目标 3 被誉为世界七大奇迹之首的胡夫金字塔一直是世界上最高的建筑物，呈正四棱锥形.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔的?这真是一个十分难解的谜. 自主预习 4 1.如果已知金字塔的底面边长和侧棱长，如何计算胡夫金字塔的侧面积? [答案] 胡夫金字塔的四个侧面是等腰三角形，底边和侧棱长已知，可以求出侧面等腰三角形的高，然后根据三角形的面积公式求解即可. 2.怎样计算柱体、锥体、台体的表面积？ [答案] 柱体、锥体、台体的表面积等于该几何体的侧面积与底面积 的和，即 . 3.球的表面积如何计算？ [答案] . 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.( ) × （2）几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.( ) √ （3）把柱体、锥体、台体的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图形状 都相同，面积都相等.( ) √ （4）空间几何体的侧面积即是表面积.( ) × 自主预习 6 2.在正方体中，三棱锥 的表面积与正 方体的表面积之比为( ) . C A. B. C. D. [解析] 设正方体的棱长为 ，由题意知，三棱锥的各面都是正三角 形，其表面积为 ,正方体的表 面积为，所以三棱锥 的表面积与正方体的表面积的比为 ． 自主预习 7 3.已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形， 则该四棱台的表面积为____________． [解析] 如图所示，在四棱台中，过点 作 ，垂足为 ． 在中，， ， 所以 ， 所以 ， 则四棱台的侧面积 ， 所以 ． 自主预习 8 探究1 棱柱的表面积 问题1： 棱柱的侧面展开图是什么？ [答案] 棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长，如图所示. 合作探究 9 问题2： 如果是直棱柱，其侧面展开图是什么图形？ [答案] 侧面展开图是矩形. 问题3： 你能求出直棱柱的表面积吗？ [答案] 直棱柱的表面积直棱柱的侧面面积 两底面面积. 合作探究 10 新知生成 1.直棱柱 ，其中为直棱柱的底面周长， 为直棱柱的高. 2.表面积 一般地，表面积侧面积 底面积. 合作探究 11 新知运用 例1 已知在斜三棱柱中，底面 是边长为2的等边三角形，侧棱长 为2，其中一条侧棱与底面两边，所在直线的夹角为 ，则该斜三 棱柱的侧面积为_________. 方法指导 首先证得 ，然后分别求出三个侧面的面积再相加即可得出结果. 合作探究 12 [解析] 过点作于点，连接 ，如图所示，因为 ，所以 ，所以 ，即 ， 又因为，所以 平面 ， 又因为 平面，所以 ， 又因为，所以 ， 故该斜三棱柱的侧面积为 . 合作探究 13 &1& 求棱柱的表面积的方法：（1）对于直棱柱，可以直接利用公式求解； （2）对于斜棱柱，可将其展开，分别求出各个面的面积，再相加. 合作探究 14 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长分别为9和15，高是5，求该直四棱柱的表面积. 合作探究 15 [解析] 如图，设底面对角线，，交点为 ，体 对角线， ， ， ， 解得， ， 该直四棱柱的底面是菱形， 该直四棱柱的底面积为 ， 又 ， ， 该直四棱柱的侧面积 ， 故该直四棱柱的表面积为 . 合作探究 16 探究2 棱锥的表面积 问题1： 三棱锥的展开图是什么？ [答案] 三棱锥的展开图是四个三角形，如图所示. 合作探究 17 问题2： 已知正三棱锥的底面边长为6，点到底面 的距离为3，如何求该 三棱锥的表面积？ [答案] 由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为 ， 所以正三棱锥侧面等腰三角形的高为 ， 所以这个正三棱锥的侧面积为 ，正三棱锥的底 面积为 ， 所以正三棱锥的表面积为 . 合作探究 18 问题3： 已知如图所示的正棱锥，如何求它的侧面积？ [答案] ，其中为正棱锥的底面周长， 为侧面等腰三角形的高. 合作探究 19 新知