2.2.2 二倍角的三角函数及其应用 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第2课时　二倍角的三角函数及其应用 [学习目标]　1.能利用二倍角公式对三角函数进行化简、求值.2.能够利用二倍角公式解决几何中的问题以及生活中的实际问题． 导语 上节课我们学习了二倍角的正弦、余弦、正切公式，知道了其简单的应用．这节课我们将对该知识进行深化，明确其在生产实际中的应用及与两角和与差的三角函数的综合应用．让我们一起来学习吧！ 一、二倍角公式的综合应用 例1　(1)函数f(x)＝的最小正周期为(　　) A. B. C．π D．2π 答案　C 解析　f(x)＝＝ ＝＝sin xcos x＝sin 2x，x≠kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 答案　B 解析　易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1 ＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos 2x＋， 则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Ζ)时， f(x)取得最大值，最大值为4. 反思感悟　求解此类问题的关键是熟练应用二倍角公式，化简原函数，其中当代数式中出现sin2x，cos2x时，要想到对代数式“降幂”，即sin2x＝，cos2x＝. 跟踪训练1　函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________． 答案　－4 解析　f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝1－2cos2x－3cos x＝－22＋，因为cos x∈[－1,1]，所以当cos x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－4. 二、二倍角公式同其他三角函数公式的综合应用 例2　已知cos＝，≤α＜，求cos的值． 解　∵≤α＜，∴≤α＋<. ∵cos＝>0，∴<α＋<. ∴sin＝－ ＝－＝－. ∴cos 2α＝sin＝2sincos ＝2××＝－， sin 2α＝－cos＝1－2cos2 ＝1－2×2＝. ∴cos＝cos 2α－sin 2α ＝×＝－. 反思感悟　注意几种公式的灵活应用，如： (1)sin 2x＝cos＝cos ＝2cos2－1＝1－2sin2； (2)cos 2x＝sin＝sin ＝2sincos. 跟踪训练2　已知x∈，sin＝－，求cos 2x的值． 解　方法一　因为sin＝－，所以cos x－sin x＝－，将此式两边平方得2sin xcos x＝. 由此可得(cos x＋sin x)2＝. 因为x∈，所以sin x>0，cos x>0. 所以cos x＋sin x＝. 故cos 2x＝cos2x－sin2x＝(cos x＋sin x)(cos x－sin x)＝×＝－. 方法二　因为sin＝－，x∈， 所以－x∈，cos＝. cos 2x＝sin＝sin ＝2sincos ＝2××＝－. 三、二倍角的三角函数在几何中的应用 例3　某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)． 解　如图，连接OC， 设∠COB＝θ， 则0°<θ<45°，OC＝1 m. 因为AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝(cos θ－sin θ)m， 所以S矩形ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin2θ＋sin θcos θ＝－(1－cos 2θ)＋sin 2θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)－＝cos(2θ－45°)－. 当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，(S矩形ABCD)max＝(m2)，所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2. 反思感悟　三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决，体现了数学中的化归思想． 跟踪训练3　如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最长？ 解　设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，如图所示， 则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α， 所以l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α ＝R(sin α＋cos α)＋R＝Rsin＋R. 因为0<α<，所以<α＋<， 所以当α＋＝，即α＝时，l的值最大，为R＋R＝(＋1)R，故当α＝时，△OAB的周长最长． 1．知识清单： (1)sin2x＝，cos2x＝. (2)二倍角的三角函数在几何中的应用． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：因对角“2α”与角“α±”之间的转化不熟导致错误． 1．化简等于(　　) A．1 B．2 C. D．－1 答案　B 解析　原式＝＝＝2. 2．设sin α＝，2π<α<3π，则sin ＋cos 等于(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　A 解析　∵sin α＝， ∴2＝1＋sin α＝. 又2π<α<3π，∴π<<，∴sin ＋cos ＜0， ∴sin ＋cos ＝－. 3．若sin＝，则sin 2θ等于(　　) A. B. C. D．± 答案　C 解析　若sin＝， 则sin＝－， ∴sin 2θ＝cos＝cos ＝1－2sin2＝1－2×＝. 4.如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为，若P为上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于点Q，当△POQ的面积大于时，∠POQ的取值范围为 ________. 答案　 解析　设∠POQ＝θ，则PQ＝sin θ，OQ ＝cos θ，∴S△POQ＝sin θcos θ＝sin 2θ，由sin 2θ>，得sin 2θ>.又2θ∈(0，π)，∴<2θ<，则<θ<，∴∠POQ的取值范围为. 1．已知sin α＋cos α＝，则sin2等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由sin α＋cos α＝，两边平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－， 所以sin2＝ ＝＝＝. 2．(多选)已知函数f(x)＝是奇函数，则有(　　) A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 B．函数f(x)的图象关于点对称 C．函数f(x)是奇函数 D．函数f(x)的最小正周期为π 答案　BCD 解析　因为f(x)＝＝＝－tan x，x≠(k∈Z)，所以函数f(x)是周期为π的奇函数，图象关于点对称，故选BCD. 3．若tan θ＝－2，则等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　方法一　因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限， 所以或 所以＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ＝－＝. 方法二　(弦化切法)因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝. 方法三　(正弦化余弦法)因为tan θ＝－2， 所以sin θ＝－2cos θ，则 ＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝ ＝＝＝. 4．已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α的值为(　　) A.　 B. C. D. 答案　A 解析　由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos2α－1)－8cos α＝5， 即3cos2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)． 又因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 所以sin α＝＝＝. 5．若＝，则cos的值为(　　) A. B．－ C．－ D. 答案　A 解析　因为＝，所以＝.所以cos α－sin α＝，平方得1－2cos αsin α＝，所以sin 2α＝. 所以cos＝sin 2α＝. 6．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最大值是(　　) A. B．1 C. D．1＋ 答案　A 解析　f(x)＝＋sin 2x ＝＋sin. ∵≤x≤，∴≤2x－≤， ∴当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝＋1＝. 7．设α为锐角，若sin＝，则cos的值为________． 答案　 解析　原式＝cos＝－cos ＝－＝－＝. 8．若tan＝，则tan 2α＋＝________. 答案　2 解析　由tan＝＝，可求得tan α＝，则tan 2α＋＝＋＝＝＝2. 9．已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)在下列三个条件中，选择一个作为已知条件，使得实数m的值唯一确定，并求出函数f(x)在上的最小值． 条件①：f(x)的最大值为1； 条件②：f(x)的一个对称中心为； 条件③：f(x)的一条对称轴为x＝. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m， ＝sin 2x＋cos 2x＋1＋m， ＝sin＋1＋m， 所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)选择条件①： 由f(x)的最大值为1，可知＋1＋m＝1， 所以m＝－， 所以f(x)＝sin＋1－， 因为0≤x≤，所以≤2x＋≤， 所以当2x＋＝，即x＝时， f(x)取得最小值－. 选择条件②： 由f(x)的一个对称中心为，可知 sin＋1＋m＝0， 所以m＝－1， 所以f(x)＝sin， 因为0≤x≤，所以≤2x＋≤， 所以当2x＋＝，即x＝时， f(x)取得最小值－1. 条件③：由f(x)的一条对称轴为x＝，实数m的值无法确定，不满足题意． 综上，选择条件①，f(x)在上的最小值为－； 选择条件②，f(x)在上的最小值为－1； 选择条件③，实数m的值无法确定，不满足题意． 10．已知cos＝，x∈.求： (1)sin x的值； (2)sin的值． 解　(1)因为x∈，所以x－∈.所以sin＝＝. 所以sin x＝sin ＝sincos ＋cossin  ＝×＋×＝. (2)因为x∈，所以cos x＝－＝－＝－. 所以sin 2x＝2sin xcos x＝－， cos 2x＝2cos2x－1＝－. 所以sin＝sin 2xcos ＋cos 2xsin  ＝－×＋×＝－. 11．函数f(x)＝4cos2x－4cos4x＋sin xcos x的最小值是(　　) A．－ B. C. D. 答案　A 解析　f(x)＝4cos2x－4cos4x＋sin xcos x＝4cos2x(1－cos2x)＋sin xcos x＝4sin2xcos2x＋sin xcos x＝sin22x＋sin 2x＝2－，因此，当且仅当sin 2x＝－时，f(x)取最小值－. 12．若cos＝，且0<α<，则sin等于(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　B 解析　令t＝＋α，因为0<α<， 则t∈，所以sin t>0，α＝t－， 所以cos＝cos(2t＋π)＝－cos 2t＝2sin2t－1＝，解得sin t＝. 13．设α为第四象限角，且＝，则tan 2α＝________. 答案　－ 解析　因为＝＝＝＝2cos2α＋cos 2α＝2cos 2α＋1＝， 所以cos 2α＝， 又α∈，所以2α∈(3π，4π)，所以sin 2α＝－， tan 2α＝－. 14.如图，已知OPQ是半径为5，圆心角为θ(tan θ＝2)的扇形，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形．当矩形ABCD的周长最大时，BC边的长为______． 答案　 解析　由得 设∠COP＝α，则AD＝BC＝OCsin α＝5sin α， OB＝OCcos α＝5cos α， 在Rt△OAD中，∠AOD＝θ， ∴OA＝＝sin α， ∴CD＝AB＝OB－OA＝5cos α－sin α， ∴矩形ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2×＝5 ＝5sin， 当α＋θ＝时，矩形ABCD的周长取最大值5， 此时BC＝5sin α＝5sin＝5cos θ＝. 15．(多选)已知函数f(x)＝sin2，若a＝f(lg 5)，b＝f ，则(　　) A．a＋b＝0 B．a－b＝0 C．a＋b＝1 D．a－b＝sin(2lg 5) 答案　CD 解析　由题意可得f(x)＝sin2 ＝＝. 因为a＝f(lg 5)，b＝f ＝f(－lg 5)， 所以a＋b＝＋＝1， a－b＝－＝sin(2lg 5)． 16．已知点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？ 解　如图所示． ∵AB为半圆的直径， ∴∠APB＝，又AB＝1， ∴PA＝cos α，PB＝sin α. 又PT切半圆于点P， ∴∠TPB＝∠PAB＝α， ∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB ＝PA·PB＋PT·PB·sin α ＝sin αcos α＋sin2α＝sin 2α＋(1－cos 2α)＝sin＋. ∵0<α<， ∴－<2α－<， ∴当2α－＝，即α＝时， S四边形ABTP取得最大值＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$