2.2.1 二倍角的正弦、余弦、正切公式 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第1课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 [学习目标]　1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形使用． 导语 同学们，唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”的诗句，一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情，这里的“倍”何止二倍、三倍，更是百倍、千倍，就像大家期盼寒假一样的心情，同学们，让我们加倍努力，期待我们的成绩加倍提高，说不定，寒假时，你们的父母会对你们有加倍的奖励哦．今天，就让我们共同探究三角函数中的“二倍”关系． 一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 问题1　请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式． 提示　sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； tan(α＋β)＝. 问题2　当α＝β时，你能写出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？ 提示　sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α； tan 2α＝tan(α＋α)＝＝. 知识梳理 1．二倍角的正弦公式 sin 2α＝2sin αcos α，其中α∈R，简记为S(2α)． 2．二倍角的余弦公式 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，其中α∈R，简记为C(2α)． 3．二倍角的正切公式 tan 2α＝，其中α，2α≠kπ＋(k∈Z)，简记为T(2α)． 注意点： (1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去． (2)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想． (3)正切二倍角的范围：α≠＋且α≠＋kπ(k∈Z)． (4)常见二倍角公式的变形：cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)； 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2； 降幂公式：sin αcos α＝sin 2α；cos2α＝；sin2α＝. 升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α. 例1　求下列各式的值： (1)sin2－cos2； (2)； (3)－. 解　(1)原式＝－＝－cos ＝－cos＝cos ＝. (2)原式＝＝2× ＝2×＝2. (3)－＝ ＝ ＝＝＝4. 反思感悟　对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 跟踪训练1　求下列各式的值： (1)sin cos ＝________； (2)＝________； (3)cos4－sin4＝________. 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)原式＝×2sin cos ＝×sin ＝. (2)原式＝×＝×tan 45°＝. (3)原式＝ ＝cos2－sin2 ＝cos ＝. 二、给值求值 例2　已知cos ＝，0<α<2π，求sin ，cos ，tan 的值． 解　由0<α<2π，得0<<，所以sin ＝， 所以sin ＝2sin cos ＝2××＝； cos ＝cos2－sin2＝2－2＝－； tan ＝＝＝－. 反思感悟　解决给值求值问题的方法 给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． 跟踪训练2　已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝. (1)求的值； (2)求的值． 解　由sin θ＋cos θ＝，① 两边平方并化简得2sin θcos θ＝－＜0， ∵θ∈(0，π)，∴sin θ＞0，cos θ＜0， sin θ－cos θ＝＝＝，② 由①②得sin θ＝，cos θ＝－. (1)原式＝ ＝＝. (2)原式＝ ＝＝2sin θcos θ＝－. 三、三角函数式的化简与证明 例3　化简与证明： (1)化简：； (2)证明：＝. (1)解　原式＝ ＝ ＝＝＝＝1. (2)证明　左边＝ ＝ ＝＝＝右边， 所以原等式成立． 反思感悟　三角函数式化简与证明的方法 (1)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ. (2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件． 跟踪训练3　(1)若α为第三象限角，则－＝__________. 答案　0 解析　因为α为第三象限角，所以cos α<0，sin α<0，所以－＝－＝－＝0. (2)求证：＝. 证明　左边＝2cos2α·(－cos 2α)· ＝cos2αcos 2αtan α＝sin αcos αcos 2α＝sin 2α·cos 2α＝＝右边，所以原等式成立． 1．知识清单： (1)二倍角公式的推导． (2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：化简求值开根号时，忽视角的范围、实际问题中隐含的条件． 1．下列各式中，值为的是(　　) A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215° C．2sin215° D．sin215°＋cos215° 答案　B 解析　2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝； cos215°－sin215°＝cos 30°＝； 2sin215°＝1－cos 30°＝1－； sin215°＋cos215°＝1. 2．cos2的值为(　　) A. B. C.－ D.＋ 答案　C 解析　原式＝＝＝－. 3．已知sin 2α＝－，则cos2的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　原式＝ ＝＝＝＝. 4．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________． 答案　 解析　∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α. 由α∈知sin α≠0， ∴cos α＝－，∴α＝，即2α＝， ∴tan 2α＝. 1．cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于(　　) A. B. C. D．1＋ 答案　C 解析　原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋sin 30°＝1＋＝. 2．若tan α＝3，则的值等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案　D 解析　原式＝＝2tan α＝6. 3．已知sin(15°＋α)＝，则sin(240°－2α)等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　原式＝sin[270°－(30°＋2α)]＝－cos(30°＋2α)＝2sin2(15°＋α)－1＝2×2－1＝－. 4．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则 等于(　　) A．4 B.＋1 C．2 D.－1 答案　C 解析　由题意可知2sin 18°＝m＝， 所以m2＝4sin218°， 则＝ ＝ ＝＝ ＝2. 5．已知α是第二象限角，P(x,4)为其终边上一点，且cos α＝，则tan 2α等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　因为α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，所以x<0， 因为OP＝，cos α＝＝， 所以x＝－3，所以tan α＝－， 所以tan 2α＝＝＝. 6．(多选)下列各式中，值为的是(　　) A. B．cos2－sin2 C．cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45° D. 答案　AB 解析　选项A，原式＝＝sin 60°＝； 选项B，原式＝cos ＝； 选项C，原式＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝； 选项D，原式＝×＝tan 30°＝×＝. 7．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的余弦值是________． 答案　 解析　设等腰三角形的底角为α ，则顶角为π－2α. 则cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×2－1＝. 8.＋的值为________． 答案　4 解析　原式＝ ＝ ＝＝＝4. 9．求证：＝tan4α. 证明　左边＝ ＝ ＝ ＝＝tan4α＝右边． 10．已知α为第二象限角，且sin α＝，求的值． 解　原式＝ ＝. 因为α为第二象限角，且sin α＝， 所以sin α＋cos α≠0，cos α＝－， 所以原式＝＝－. 11．已知角α的顶点为坐标原点，始边在x轴非负半轴上，且角α的终边上有一点P(2,1)，则sin 2α等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　由题意，sin α＝＝，cos α＝＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝. 12．若f(sin θ)＝3－cos 2θ，则f(cos θ)等于(　　) A．3＋cos 2θ B．3－cos 2θ C．3－sin θ D．3＋cos θ 答案　A 解析　由f(sin θ)＝3－cos 2θ＝3－(1－2sin2θ)＝2＋2sin2θ，令t＝sin θ∈[－1,1]，则f(t)＝2＋2t2， 所以f(cos θ)＝2＋2cos2θ＝3＋cos 2θ. 13．sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　原式＝cos 20°cos 40°cos 80° ＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝. 14．已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则cos 2α的值为________． 答案　－ 解析　∵sin α＋cos α＝，∴1＋2sin αcos α＝， ∴sin αcos α＝－.又∵α∈(0，π)， ∴sin α>0，cos α<0， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝， ∴sin α－cos α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－. 15.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值为 ________. 答案　 解析　设直角三角形的两直角边长分别为a，b，则有4×ab＋1＝25，所以ab＝12.又因为大正方形的面积为25，所以大正方形的边长为5，即直角三角形的斜边长为5.所以a2＋b2＝25.解方程组得或 因为θ为直角三角形中较小的锐角，所以cos θ＝.所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝. 16．由倍角公式cos 2x＝2cos2x－1，可知cos 2x可以表示为cos x的二次多项式．对于cos 3x，我们有cos 3x＝cos(2x＋x)＝cos 2xcos x－sin 2xsin x ＝(2cos2x－1)cos x－2sin xcos xsin x ＝2cos3x－cos x－2(1－cos2x)cos x ＝4cos3x－3cos x. 可见cos 3x可以表示为cos x的三次多项式． 一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得cos nx＝Pn(cos x)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式． (1)请尝试求出P4(t)，即用一个cos x的四次多项式来表示cos 4x； (2)利用结论cos 3x＝4cos3x－3cos x，求出sin 18°的值． 解　(1)cos 4x＝cos(2×2x)＝2cos22x－1＝2(2cos2x－1)2－1＝2(4cos4x－4cos2x＋1)－1 ＝8cos4x－8cos2x＋1. (2)∵sin 36°＝cos 54°， ∴2sin 18°cos 18°＝4cos318°－3cos 18°， ∴2sin 18°＝4cos218°－3， ∴4sin218°＋2sin 18°－1＝0， ∴sin 18°＝或sin 18°＝(舍去)． ∴sin 18°的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$