2.3 课时1 半角公式 学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

2.3 课时1 半角公式 【学习目标】 1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.(逻辑推理、数学运算) 2.了解半角公式的结构形式,并能利用半角公式解决简单的求值问题.(数学运算) 【自主预习】 1.我们学过三角函数的哪些公式? 2.二倍角的余弦公式是什么? 3.正弦、余弦、正切的半角公式是什么? 4.半角公式中的符号是如何确定的? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)cos=. (　　) (2)存在α∈R,使得cos=cos α. (　　) (3)对于任意α∈R,sin=sin α都不成立. (　　) (4)若α是第一象限角,则tan=. (　　) 2.若cos α=,α∈(0,π),则cos的值为(　　). A.　　　B.-　　　C.　　　D.- 3.设α∈(π,2π),则=　　　　.  【合作探究】 探究1 半角公式 　　对于公式“cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α”,探究下列问题. 问题1:若用角α替换2α,其结果是什么? 问题2:根据上述结果,试用cos α,sin α表示cos,sin,tan. 问题3:利用商数关系,tan能否不用开方的形式来表示? 新知生成 半角公式 sin =±,cos=±,tan=±. 新知运用 例1　已知cos α=,且α∈[π,2π],求sin,cos,tan的值. 方法指导　先求出的取值范围,再结合二倍角的降幂公式以及同角三角函数的基本关系可求得结果. 【方法总结】　　利用半角公式求值的思路 (1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围. (3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2 =,cos2 =计算. 已知cos θ=-,θ∈(π,2π),则sin +cos =(　　). 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.- B. C.- D. 探究2　万能公式 问题1:任意角中是否也有“全角”与“半角”之分,二者有什么数量关系? 问题2:半角公式的符号是怎样确定的? 问题3:当α≠2kπ+π(k∈Z)时,如何用的正切值表示α的正弦值、余弦值? 问题4:是α的半角,能用不带根号的α的正弦值、余弦值表示tan吗? 新知生成 1.tan==. 2.万能公式 当α≠2kπ+π(k∈Z)时, sin α=,cos α=,tan α=. 新知运用 例2　已知α∈,tan α=2,则sin2-α-2cos2α+1的值为　　　　.  方法指导　先由tan α=2求出sin 2α,cos 2α的值,再利用余弦的二倍角公式以及诱导公式化简,将sin 2α,cos 2α的值代入即可求解. 【方法总结】　　利用万能公式解题要注意公式成立的条件. 已知tan=3,则cos 2θ=　　　　.  探究3　三角函数式的化简与证明 例3　(1)化简:(π<α<2π). (2)证明:=. 方法指导　(1)利用cos α=2cos2-1消去分母和分子中的“1”,然后利用cos α=cos2-sin2合并角,分子、分母约分可得最简形式. (2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手,再通过改变函数结构向右边转化. 【方法总结】　　(1)化简三角函数式时,既要注意分析角之间的差异,寻求角的变换方法,还要观察三角函数的结构特征,寻求化同名(化弦或化切)的方法,明确变形的目的. (2)三角恒等式的证明,包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种. ①无条件的恒等式证明,常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因),证明的形式有化繁为简,左右归一,变更论证等. ②有条件的恒等式证明,常常先观察条件与欲证式中左、右两边三角函数的区别与联系,灵活使用条件,变形得证. 1.化简:(-π<α<0). 2.证明:=(tan θ+1). 【随堂检测】 1.tan=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.-1 D.-1 2.已知cos α=,α∈,则sin =(　　). A. B.- C. D. 3.若=,则sin 2θ=　　　　.  4.证明:·=tan . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 课时1 半角公式 【学习目标】 1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.(逻辑推理、数学运算) 2.了解半角公式的结构形式,并能利用半角公式解决简单的求值问题.