2.1.1 两角和与差的余弦公式 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

2.1.1　两角和与差的余弦公式 [学习目标]　1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程.2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行求值、计算． 导语 同学们，大家知道，求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器计算，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式． 一、两角差的余弦公式 问题1　已知角α的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标． 提示　P(cos α，sin α)． 问题2　如图，设α＝∠xOP，β＝∠xOP′，如何借助所学的向量知识求cos(α－β)的值？ 提示　(1)当α－β∈[0，π]时，如图，在OP及OP′上分别取两个单位向量＝a，＝b， 则∠AOB＝α－β就是a与b的夹角． 由平面向量基本定理知，a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)． 所以a·b＝cos αcos β＋sin αsin β. 又当α－β∈[0，π]时，则cos〈a，b〉＝cos(α－β)， 所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝cos(α－β)， 即cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. (2)对任意的角α，β，总可选取适当的整数k，使得α－β－2kπ∈[－π，π)， 记β1＝β＋2kπ，则β1与β的终边相同，且α－β1∈[－π，π)，如图，从而0≤|α－β1|≤π，则|α－β1|就是a，b的夹角〈a，b〉． 因此cos〈a，b〉＝cos|α－β1|＝cos(α－β1)＝cos(α－β－2kπ)＝cos(α－β)． 因此有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 知识梳理 两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β，其中α，β∈R，简记为C(α－β)． 注意点： (1)公式的结构特征 (2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合． (3)公式的逆用仍然成立． 例1　(1)cos(－15°)＝________. 答案　 解析　cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝. (2)求下列各式的值： ①cos cos ＋cos sin ； ②cos 105°＋sin 105°. 解　①原式＝cos cos ＋cossin ＝cos cos ＋sin sin ＝cos ＝cos ＝. ②原式＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105° ＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝. 反思感悟　两角差的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解． (2)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解． (3)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再逆用两角差的余弦公式求解． 跟踪训练1　求下列各式的值： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； (2)－sin 167°sin 223°＋sin 257°sin 313°； (3)sin ＋cos . 解　(1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝. (2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)sin(360°－47°) ＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝. (3)原式＝2 ＝2 ＝2cos＝2cos ＝. 二、两角和的余弦公式 问题3　试比较cos(α－β)和cos(α＋β)，观察两者之间的联系，你能发现什么？ 提示　我们注意到α－β与α＋β有联系，α＋β＝α－(－β)，于是我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开．即cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos α·cos(－β)＋sin αsin(－β)＝cos αcos β－sin αsin β，于是我们得到了两角和的余弦公式． 知识梳理 两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，其中α，β∈R，简记为C(α＋β)． 注意点： 公式展开形式的记忆口诀：两角和差之余弦，余余正正号相反． 例2　已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos(α＋β)的值． 解　∵α∈，sin α＝， ∴cos α＝－＝－. 又β∈，cos β＝－， ∴sin β＝－＝－. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝. 反思感悟　给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①α＝(α＋β)－β； ②β＝－； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β)． 跟踪训练2　若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，求cos(θ＋φ)的值． 解　∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，∴sin θ＝， 又θ是第二象限角，∴cos θ＝－. ∵sin＝cos φ＝－，且φ是第三象限角， ∴sin φ＝－， ∴cos(θ＋φ)＝cos θcos φ－sin θsin φ ＝×－×＝＋＝. 三、给值求角 问题4　若0<α<，0<β<，你能求β－α的取值范围吗？ 提示　－<β－α<. 例3　已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值． 解　由cos α＝，0<α<，得 sin α＝＝＝. 由0<β<α<，得0<α－β<. 又∵cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝ ＝＝. ∵β＝α－(α－β)， ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×＝. ∵0<β<，∴β＝. 反思感悟　已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案． 跟踪训练3　已知α，β∈，且sin α＝，cos β＝，求α＋β的值． 解　∵α，β∈， sin α＝，cos β＝， ∴cos α＝，sin β＝， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝－. 又0<α＋β<π， ∴α＋β＝. 1．知识清单： (1)两角和与差的余弦公式的推导． (2)给角求值、给值求值、给值求角． 2．方法归纳：构造法． 3．常见误区：求角时忽视角的范围． 1．cos 20°等于(　　) A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10° B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10° C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30° D．sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30° 答案　B 解析　cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°. 2．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos 60°＝. 3．已知cos α＝，α∈，则cos的值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为α∈，所以sin α＝－， 所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝. 4．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，且α，β均为锐角，α<β，则α＋β＝________. 答案　 解析　因为0<α<，0<β<，α<β. 所以－<α－β<0. 又cos(α－β)＝， 所以sin(α－β)＝－＝－. 又因为0<2α<π，cos 2α＝， 所以sin 2α＝＝， 所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝×＋× ＝－， 又0<α＋β<π，故α＋β＝. 1．sin 20°cos 10°＋sin 10°sin 70°的值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　原式＝cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10° ＝cos(70°－10°)＝cos 60°＝. 2．设α∈，若sin α＝，则cos等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　A 解析　∵α∈，sin α＝，∴cos α＝. ∴cos＝cos αcos －sin αsin ＝(cos α－sin α) ＝×＝. 3．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是(　　) A．α＝，β＝ B．α＝，β＝ C．α＝，β＝ D．α＝，β＝ 答案　B 解析　由题意得cos αcos β＋sin αsin β＝， 即cos(α－β)＝，∴α－β＝±＋2kπ，k∈Z， 选项B中，α－β＝满足上式． 4．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　∵α为锐角，且cos α＝， ∴sin α＝＝. ∵β为第三象限角，且sin β＝－， ∴cos β＝－＝－， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×＋×＝－. 5．若0＜α＜＜β＜π，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，则cos α等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵cos β＝－，＜β＜π，∴sin β＝， ∵0＜α＜＜β＜π，sin(α＋β)＝， ∴＜α＋β＜π，∴cos(α＋β)＝－＝－， ∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－×＋×＝. 6．(多选)若sin x＋cos x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值是(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　AC 解析　对比公式特征知，cos＝cos(x＋φ)， 所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，结合选项知φ＝－，都合适． 7．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos αcos β＝________. 答案　0 解析　cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－， 两式相加可得2cos αcos β＝0，即cos αcos β＝0. 8.＝________. 答案　 解析　原式＝ ＝ ＝＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝. 9.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点，且A，B两点的纵坐标分别为，. (1)求cos α和sin β的值； (2)求cos(β－α)的值． 解　(1)∵OA＝1，OB＝1，且点A，B的纵坐标分别为，， ∴sin α＝，sin β＝， 又∵α为锐角， ∴cos α＝＝. (2)∵β为钝角， ∴由(1)知cos β＝－＝－， ∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝－×＋×＝. 10．若sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，求角α＋β的值． 解　因为<α<，所以－<－α<0， 因为<β<，所以<＋β<， 由已知可得cos＝，cos＝－. 则cos(α＋β)＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝－. 因为<α＋β<π，所以α＋β＝. 11．已知cos＝－，则cos x＋cos的值是(　　) A．－ B．± C．－1 D．±1 答案　C 解析　cos x＋cos ＝cos x＋cos x＋sin x ＝cos x＋sin x＝ ＝cos＝－1. 12．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　C 解析　sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋cos β＝－cos γ，两式分别平方，然后相加可得 2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝1， 所以sin αsin β＋cos αcos β＝－， 即cos(α－β)＝－. 13．在△ABC中，有关系式tan A＝成立，则△ABC为(　　) A．等腰三角形 B．A＝60°的三角形 C．等腰三角形或A＝60°的三角形 D．不能确定 答案　B 解析　由题意知sin C≠sin B，又tan A＝＝，所以sin Asin C－sin Asin B＝cos Acos B－cos Acos C，所以cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos B＋sin Asin B，即cos(A－C)＝cos(A－B)，所以A－C＝A－B或A－C＋A－B＝0，所以C＝B(舍)或A＝60°，所以△ABC为A＝60°的三角形． 14．已知0＜α＜π，sin＝，则cos α＝______. 答案　 解析　由0＜α＜π，得＜α＋＜，又sin＝＜，故＜α＋＜π，即位于第二象限，由同角三角函数关系得cos＝－＝－， cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝－×＋×＝. 15.《周髀算经》中给出了如图所示的弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形的面积之比为9∶25，则cos(α－β)的值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形的面积之比为9∶25，可得小正方形的边长为，可得cos α－sin α＝①，sin β－cos β＝②.由图可得cos α＝sin β，sin α＝cos β，所以①×②得＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin2β＋cos2β－cos(α－β)＝1－cos(α－β)，解得cos(α－β)＝. 16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为. (1)求sin B·sin C； (2)若6cos B·cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长． 解　(1)由题设得ac·sin B＝， 则c·sin B＝， 由正弦定理得sin C·sin B＝， ∴sin B·sin C＝. (2)由题设及(1)得 cos B·cos C－sin B·sin C＝－， 则cos(B＋C)＝－， 又B，C为三角形内角， ∴B＋C＝，故A＝. 由题设得bc·sin A＝，a＝3，∴bc＝8. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A 得9＝(b＋c)2－3bc， ∴b＋c＝， 故△ABC的周长为3＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$