1.6.1 余弦定理 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

1.6.1　余弦定理 [学习目标]　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 导语 千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？ 一、余弦定理的推导 问题1　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c? 提示　如图，设＝a，＝b，＝c， 那么c＝a－b，① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c＝|c|2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算． 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b) ＝a·a＋b·b－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cos C. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C. 问题2　在问题1的探究成果中，若∠C＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示　c2＝b2＋a2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例． 知识梳理 余弦定理 (1)文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． (2)符号语言：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 二、已知两边及一角解三角形 例1　(1)一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，求三角形的另一边的长； (2)在△ABC中，已知b＝，c＝，∠B＝30°，解这个三角形． 解　(1)设a＝5，b＝3，cos C＝－， 由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C＝25＋9＋18＝52， 解得c＝2， 所以三角形的另一边长是2. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得()2＝a2＋()2－2a××cos 30°， 即a2－3a＋10＝0，解得a＝或a＝2. 当a＝时，∠A＝30°，∠C＝120°； 当a＝2时，a2＝20＝b2＋c2，所以该三角形为直角三角形，且∠A＝90°，∠C＝60°. 反思感悟　已知三角形的两边及一角解三角形的方法 先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 跟踪训练1　(1)在△ABC中，a＝2，b＝1，∠A＋∠B＝60°，则边长c＝______. 答案　 解析　由∠A＋∠B＝60°得∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝120°. 由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋1－2×2×1×＝7， 解得c＝. (2)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1. ①求∠C的大小； ②求AB的长． 解　①∵cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，且∠C∈(0，π)，∴∠C＝. ②∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根， ∴ ∴AB2＝b2＋a2－2abcos C＝(a＋b)2－ab＝10， ∴AB＝. 三、已知三边解三角形 知识梳理 余弦定理的推论 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c， 则cos A＝， cos B＝， cos C＝. 利用上述公式就可由三角形的三条边计算出三角形的三个内角． 例2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求∠A，∠B，∠C. 解　由余弦定理得cos A＝ ＝＝. ∵∠A∈(0，π)，∴∠A＝， cos C＝ ＝＝， ∵∠C∈(0，π)，∴∠C＝. ∴∠B＝π－∠A－∠C＝π－－＝， ∴∠A＝，∠B＝，∠C＝. 反思感悟　已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角． 跟踪训练2　若△ABC的三条边a，b，c满足(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，则△ABC(　　) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形 答案　C 解析　由题意知，(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，不妨设a＋b＝7k，则b＋c＝9k，c＋a＝10k(k是不为0的正常数)， 解得a＝4k，b＝3k，c＝6k. 由余弦定理可得cos C＝＝－<0， ∵0<∠C<π，∴∠C为钝角，△ABC为钝角三角形． 1．知识清单： (1)余弦定理的推导及定义． (2)已知两边及一角解三角形． (3)已知三边解三角形． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：易忽略三角形中的隐含条件． 1．一个三角形的两边长分别为4和6，它们夹角的余弦值是，则该三角形的第三条边长为(　　) A．12 B．2 C．6 D．4 答案　B 解析　设第三条边长为x， 则x2＝42＋62－2×4×6×＝12， 故x＝2. 2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵a>b>c，∴∠C为最小角且∠C为锐角， 由余弦定理得cos C＝ ＝＝. 又∠C为△ABC的内角，∴∠C＝. 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则∠B为(　　) A. B. C.或 　D.或 答案　A 解析　∵a2－b2＋c2＝ac， ∴cos B＝＝＝， 又∠B为△ABC的内角，∴∠B＝. 4．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝______. 答案　4 解析　由余弦定理得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4. 1．已知在△ABC中，c＝6，a＝4，∠B＝120°，则b等于(　　) A．76 B．2 C．27 D．2 答案　B 解析　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝76，所以b＝2. 2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由余弦定理得cos ∠BAC＝＝＝－，且∠BAC∈(0，π)，因此∠BAC＝. 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由b2＝ac，且c＝2a，由余弦定理 得cos B＝＝＝. 4．(多选)在△ABC中，已知∠A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　BD 解析　由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8. 5．若△ABC的三条边长分别为5,7,8，则△ABC的最大角与最小角之和为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　不妨设a＝5，b＝7，c＝8， 根据大边对大角可知，∠A<∠B<∠C. 由余弦定理可得，cos B＝＝＝， 又因为0<∠B<π， 所以∠B＝， 所以∠A＋∠C＝π－∠B＝π－＝， 所以△ABC的最大角与最小角之和为. 6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝4，则bcos C＋ccos B等于(　　) A．1 B. C．2 D．4 答案　D 解析　方法一　bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝ ＝＝a＝4. 方法二　如图，易知bcos C＋ccos B＝a＝4. 7．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则∠A＝ ______，AC边上的高为________． 答案　　 解析　由余弦定理，可得 cos A＝＝＝， 又0<∠A<π，所以∠A＝， 所以sin A＝. 则AC边上的高为h＝AB·sin A＝3×＝. 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3bcos C＝3a－c，且∠A＝∠C，则sin A＝________. 答案　 解析　因为3bcos C＝3a－c，且∠A＝∠C， 所以3b·＝3a－c，a＝c， 则a＝c＝b， 所以cos A＝＝＝， 又0<∠A<π，所以sin A＝＝. 9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝，∠C＝.求c的值和cos B的值． 解　在△ABC中，a＝3，b＝，∠C＝， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝32＋()2－2×3×cos ＝5，解得c＝. 则cos B＝＝＝＝. 10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长． 解　因为a－b＝4，所以a>b且a＝b＋4， 又a＋c＝2b，所以b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4， 则b>c，所以a>b>c， 所以a为最大边，故∠A＝120°，b＝a－4，c＝2b－a＝a－8. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)， 即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14. 又b＝a－4>0，所以a＝14， 即此三角形的最大边长为14. 11．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，若满足(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab， ∴a2＋b2－c2＝－ab， ∴2abcos C＝－ab， 即cos C＝－， 又∠C∈(0，π)，∴∠C＝. 12．若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为(　　) A．19 B．14 C．－18 D．－19 答案　D 解析　设三角形的三边分别为a，b，c， 依题意得a＝5，b＝6，c＝7. ∴·＝||·||·cos(π－B)＝－ac·cos B. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B， ∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2)＝(62－52－72)＝－19， ∴·＝－19. 13．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是(　　) A．(1,7) B．(1,5) C．(，5) D．(，5) 答案　C 解析　∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形， ∴cos A＝>0， 且cos C＝>0，∴7<a2<25， ∴<a<5. 14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若∠A＝∠B，b＋acos C＝c＝1，则b＝________. 答案　 解析　∵∠A＝∠B，∴a＝b. 又b＋acos C＝c＝1， 则b＋a·＝c＝1， 即b＋b·＝1， ∴4b2－2b－1＝0， 又b>0，解得b＝. 15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos A＝，则4cos(B＋C)cos 2A＝________；若a＝，则bc的最大值为________． 答案　1　6 解析　根据题意，在△ABC中，若cos A＝， 则∠A＝，则∠B＋∠C＝，∠2A＝， 则4cos(B＋C)cos 2A＝4cos cos ＝4××＝1. 若a＝，则a2＝b2＋c2－2bccos A，即b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝6，又由(b＋c)2≥4bc，则有4bc－3bc＝bc≤6，即bc的最大值为6. 16．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝4，b＝5，c＝7. (1)求cos A的值； (2)若点D在边BC上，且BD＝3CD，求AD. 解　(1)如图，在△ABC中，因为a＝4，b＝5，c＝7， 所以cos A＝＝＝. (2)方法一　因为点D在边BC上，且BD＝3CD， 所以BD＝3，CD＝， 又因为cos B＝＝， 所以在△ABD中，由余弦定理得 AD2＝c2＋BD2－2·c·BD·cos B＝72＋(3)2－2×7×3×＝25，可得AD＝5. 方法二　∵＝3， ∴＝＋， ∴||2＝2＋2＋· ＝×25＋×49＋×5×7cos∠BAC ＝＋＋×5×7×＝25， ∴||＝5，即AD＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $$