5.4 随机事件的独立性 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

[学习目标]　结合有限样本空间，了解两个事件独立性的含义，结合古典概型，利用独立性计算概率． 导语 我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生．因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关．那么，这种关系会是怎样的呢？本节课我们就一起来研究吧！ 一、相互独立事件的概念 问题1　分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”．计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？ 提示　用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点．而A＝{(1,1)，(1,0)}，B＝{(1,0)，(0,0)}，所以AB＝{(1,0)}．由古典概型概率公式，得 P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝. 于是P(AB)＝P(A)P(B)． 结论：积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积． 知识梳理　 相互独立事件的定义 在概率论中，设A，B为两个事件，若P(A∩B)＝P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立，简称为独立． 注意点： 注意要把相互独立事件与互斥事件相区别． 例1　判断下列事件是否为相互独立事件． (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”． 解　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． 反思感悟　两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件． 跟踪训练1　掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　) A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥 C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥 答案　B 解析　事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}． 所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝×，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件． 二、相互独立事件的性质 问题2　如果事件A与B相互独立，那么A与相互独立吗？请给予证明． 提示　独立．证明如下： 因为A＝A∩Ω＝A∩(B∪)＝AB∪A，且AB与A互斥， 所以P(A)＝P(AB∪A)＝P(AB)＋P(A)． 所以P(A)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)·P(B)＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)P()． 故A与相互独立． 知识梳理 若事件A，B独立，则A与，与B，与也独立． 例2　一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与2是(　　) A．相互独立事件 B．不相互独立事件 C．互斥事件 D．对立事件 答案　A 解析　由题意可得2表示“第二次摸到的不是白球”，即2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与2是相互独立事件． 反思感悟　互斥事件与相互独立事件都描述了两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 跟踪训练2　若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　) A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又相互独立 答案　C 解析　因为P()＝，所以P(A)＝， 又P(B)＝，P(AB)＝，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但不一定互斥． 三、相互独立事件概率的计算 例3　甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： (1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率； (4)2人至多有1人射中目标的概率． 解　设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件． (1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72. (2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生)．根据题意，事件A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为 P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26. (3)“2人至少有1人射中目标”包括“2人都射中”和“2人有1人射中”两种情况，其概率为P＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.72＋0.26＝0.98. (4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况， 故所求概率为P＝P()＋P(A)＋P(B)＝P()P()＋0.26＝0.02＋0.26＝0.28. 反思感悟　(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 跟踪训练3　根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立． (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率； (3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率． 解　记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6. (1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”， 则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3. (2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”， 则D＝B，所以P(D)＝P(B)＝P()P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3. (3)记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”， 方法一　则事件E包括B，A，AB，且它们彼此为互斥事件． 所以P(E)＝P(B＋A ＋AB)＝P(B)＋P(A)＋P(AB)＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8. 方法二　事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件． 所以P(E)＝1－P()＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8. 1.知识清单： (1)相互独立事件的判断及性质． (2)相互独立事件概率的计算． 2．方法归纳：列举法、定义法． 3．常见误区：对事件是否相互独立判断错误． 1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球2次，用A1表示第1次摸到白球，A2表示第2次摸到白球，则A1与A2(　　) A．是互斥事件 B．是相互独立事件 C．是对立事件 D．不是相互独立事件 答案　D 解析　互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错．而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者不是相互独立事件． 2．甲、乙两班各有36名学生，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名学生参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　两班各自派出学生是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. 3．甲、乙两学生独立地解答同一道数学问题，甲解答正确的概率是0.9，乙解答正确的概率是0.8，那么至少有一学生解答正确的概率是(　　) A．0.26 B．0.28 C．0.72 D．0.98 答案　D 解析　记“甲解答数学问题正确”为事件A，“乙解答数学问题正确”为事件B，由题意可得P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，则至少有一学生解答正确的概率P＝1－[1－P(A)]·[1－P(B)]＝0.98. 4．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________，P()＝________. 答案　　 解析　∵A，B是相互独立事件， ∴A与，与也是相互独立事件． 又∵P(A)＝，P(B)＝， 故P()＝1－＝，P()＝1－＝， ∴P(A)＝P(A)P()＝×＝； P()＝P()P()＝×＝. 1．设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独立，则下列命题一定成立的是(　　) A．A与B相互独立 B．A与C互斥 C．B与C互斥 D.与相互独立 答案　D 解析　注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指的是不可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响．因为B与C相互独立，由两事件相互独立的性质易知D正确． 2．(多选)下列各对事件中，不是相互独立事件的有(　　) A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标” D．甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标” 答案　ACD 解析　在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在B中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在D中，设“至少有1人射中目标”为事件A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B，则AB＝B，因此当P(A)≠1时，P(AB)≠P(A)P(B)，故A，B不独立．故选ACD. 3．天气预报，在假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56 答案　C 解析　因为甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，所以这两地中恰有一个地方降雨的概率为0.2×(1－0.3)＋(1－0.2)×0.3＝0.38. 4．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设事件A＝“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件B＝“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为，身体关节构造不合格的概率为，所以P(B)＝×＝，故P(A)＝1－P(B)＝1－＝. 5．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的．现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设“从甲盒中任取一螺杆为A型螺杆”为事件M，“从乙盒中任取一螺母为A型螺母”为事件N，则M与N相互独立，P(M)＝＝，P(N)＝＝，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝.故选C. 6．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意知，P()P()＝， P()P(B)＝P(A)P()． 设P(A)＝x，P(B)＝y，x，y∈[0,1]， 则即 ∴x2－2x＋1＝， ∴x－1＝－，或x－1＝(舍去)，∴x＝. 7．假设P(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A与B相互独立，则P(AB)＝________.P(A∪B)＝________. 答案　0.56　0.94 解析　P(AB)＝P(A)P(B)＝0.7×0.8＝0.56. P(A∪B)＝1－P()P()＝1－0.3×0.2 ＝0.94. 8．某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如下： 满意度评分分组 高一 高二 [50,60) 1 2 [60,70) 3 6 [70,80) 6 5 [80,90) 6 5 [90,100) 4 2 合计 20 20 根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 评分<70分 70≤评分<90 评分≥90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件A＝“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”，则事件A发生的概率为________． 答案　0.42 解析　由已知，高一家长满意度等级为不满意的概率为，满意的概率为，非常满意的概率为， 高二家长满意度等级为不满意的概率为，满意的概率为，非常满意的概率为， 高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况： (1)高一家长满意，高二家长不满意，其概率为×＝； (2)高一家长非常满意，高二家长不满意，其概率为×＝； (3)高一家长非常满意，高二家长满意，其概率为×＝. ∴事件A发生的概率为＋＋＝＝0.42. 9．甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译出密码的概率为0.8，乙破译出密码的概率为0.7.记事件A：甲破译出密码，事件B：乙破译出密码． (1)求甲、乙二人都破译出密码的概率； (2)求恰有一人破译出密码的概率； (3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下： 解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译出密码”，所以随机事件“密码被破译”可以表示为A＋B，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8＋0.7＝1.5. 请指出小明同学错误的原因，并给出正确解答过程． 解　(1)由题意可知P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，且事件A，B相互独立，事件“甲、乙二人都破译出密码”可表示为AB，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.7＝0.56. (2)事件“恰有一人破译出密码”可表示为B＋A，且B，A互斥，所以P(B＋A)＝P(B)＋P(A)＝P()P(B)＋P(A)P()＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38. (3)小明同学错误的原因是事件A，B不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式． 正确解答过程如下： “密码被破译”也就是“甲、乙二人至少有一个破译密码”，可以表示为B＋A＋AB，且B，A，AB两两互斥，所以P(B＋A＋AB)＝P(B)＋P(A)＋P(AB)＝P()P(B)＋P(A)P()＋P(A)P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＋0.8×0.7＝0.94. 10．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为. (1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率； (2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率． 解　(1)甲队获第一名且丙队获第二名为事件A， 则P(A)＝××＝. (2)甲队至少得3分，有两种情况． 两场只胜一场，两场都胜，设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B∪C，P(B∪C)＝P(B)＋P(C) ＝×＋×＋×＝＋＝. 11.同时转动如图所示的两个质地均匀的转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中，满足xy＝4的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　满足xy＝4的所有可能如下： x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1. ∴所求事件的概率为 P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)＝×＋×＋×＝. 12．为了提高全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　“第1球投进”记为事件A，“第1球投进，第2球投进”记为事件B，“第1球投不进，第2球投进”记为事件C，则由题意得P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P(C)＝，则他第2球投进的概率为P＝P(A)P(B)＋P()P(C)＝×＋×＝. 13．(多选)一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为奇数”，事件B为“第一次记录的数字为奇数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论错误的是(　　) A．事件B与事件C是对立事件 B．事件A与事件B不是相互独立事件 C．P(ABC)＝ D．P(A)P(B)P(C)＝ 答案　ABC 解析　对于A，事件B与事件C是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；对于B，P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝＝P(A)P(B)，所以事件A与事件B是相互独立事件，故B错误；对于C，事件ABC表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数，故P(ABC)＝＝，故C错误；对于D，由选项B的解答过程可得，P(A)P(B)P(C)＝3＝，故D正确． 14．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________． 答案　0.128 解析　由已知条件知，第2个问题答错，第3,4个问题答对，记“问题回答正确”为事件A，则P(A)＝0.8，故P＝P((A＋)AA)＝[1－P(A)]·P(A)·P(A)＝0.128. 15．(多选)如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.箱中所示数值表示通电时保险丝被断开的概率，下列结论正确的是(　　) A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为 B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为 C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为 D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为 答案　ACD 解析　由题意知，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，P(E)＝，所以A，B两个盒子串联后畅通的概率为×＝，因此A正确；D，E两个盒子并联后畅通的概率为1－×＝1－＝，因此B错误；A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为1－×＝1－＝，因此C正确；当开关合上时，整个电路畅通的概率为×＝，因此D正确． 16．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率． 解　甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为 1－－＝，1－－＝. (1)租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况． 都付0元的概率为P1＝×＝； 都付2元的概率为P2＝×＝； 都付4元的概率为P3＝×＝. 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元，4元；②2元，2元；③4元，0元． 所以可得P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝， 即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $$