1.6.2.1 正弦定理 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

1.6.2　正弦定理 第1课时　正弦定理 [学习目标]　通过探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理，能用正弦定理解决简单的解三角形问题． 导语 如图，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为600 m，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA的距离，如果船上有测角仪，我们能否计算出AB的距离？ 一、正弦定理的推导 问题1　在Rt△ABC中，＝＝，在锐角三角形或钝角三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 提示　成立，证明如下： 若△ABC是锐角三角形，如图，设CD为AB边上的高，易知CD＝bsin A＝asin B. 方法一　故＝. 同理可证＝，故＝＝. 方法二　由于△ABC的面积不变，故有 S△ABC＝AB·CD＝bcsin A＝acsin B. 因此bsin A＝asin B，即＝. 同理可证＝，即＝＝. 若△ABC为钝角三角形，也可类似得到上述结论． 知识梳理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．即＝＝. 二、已知两角及一边解三角形 例1　在△ABC中，c＝10，∠A＝45°，∠C＝30°，求a，b和∠B. 解　根据正弦定理得 a＝＝＝10. 又∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 所以b＝＝＝20sin 75° ＝20×＝5(＋)． 反思感悟　已知三角形两角及一边解三角形的方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角及对边． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边． 跟踪训练1　在△ABC中，已知∠B＝45°，∠C＝60°，c＝1，求最短边的边长． 解　因为∠B＝45°，∠C＝60°，所以∠A＝75°， 故∠B最小，所以b为最短边， 由正弦定理＝， 得b＝＝＝， 故所求的最短边长为. 三、已知两边及其中一边的对角解三角形 例2　在△ABC中，已知c＝，∠A＝45°，a＝2，解这个三角形． 解　∵＝，∴sin C＝＝＝， ∵0°<∠C<180°，∴∠C＝60°或∠C＝120°. 当∠C＝60°时，∠B＝75°，b＝＝＝＋1； 当∠C＝120°时，∠B＝15°，b＝＝ ＝－1. ∴b＝＋1，∠B＝75°，∠C＝60°或b＝－1， ∠B＝15°，∠C＝120°. 延伸探究　若把本例中的条件“∠A＝45°”改为“∠C＝45°”，则角A有几个值？ 解　∵＝，∴sin A＝＝＝. ∵c＝>2＝a，∴∠C>∠A. ∴∠A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个． 反思感悟　已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 (1)由正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角． (2)由三角形内角和定理求出第三个角． (3)根据正弦定理求出第三条边． 其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值． 跟踪训练2　在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，则cos C等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由正弦定理，得＝， 即＝，解得sin C＝， ∵AB<AC，∴∠C<∠B， ∴cos C＝＝. 四、三角形解的个数的判断 问题2　由例2可知，已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角时，三角形解的个数可能不唯一，如何判断其解的个数？ 提示　不妨设已知△ABC的两边a，b和∠A，作图步骤如下：①先把未知边c画为水平的，作出已知∠A，∠A的另一条边为已知边b；②以边b的端点C为圆心，a为半径画弧；③观察此弧与除去顶点A的射线l的公共点的个数，便可得此三角形解的个数． 显然，当∠A为锐角时，有如图所示的四种情况： 当∠A为钝角时，有如图所示的两种情况： 根据分析可知，由于a，b长度关系的不同，导致三角形有不同个数的解．若∠A为锐角，只有当a≥bsin A时才有解，并且随着a的增大，得到的解的个数也是不同的．若∠A为钝角或直角，只有当a>b时才有解． 例3　下列三角形是否有解？有解的作出解答，已知sin 75°＝. (1)a＝7，b＝8，∠A＝105°； (2)b＝10，c＝5，∠C＝60°； (3)a＝2，b＝6，∠A＝30°. 解　(1)由a＝7，b＝8，可得a<b，所以∠A<∠B， 又由∠A＝105°>90°， 所以这样的三角形无解． (2)由b＝10，c＝5， 可得b<c，所以∠B<∠C， 又由∠C＝60°<90°， 所以这样的三角形只有一解． 由正弦定理，可得sin B＝＝＝， 所以∠B＝45°， 所以∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝75°， 所以a＝＝＝＝5＋5. (3)由a＝2，b＝6，可得a<b， 又由∠A＝30°<90°，且bsin A＝6sin 30°＝3， 所以a>bsin A， 所以这样的三角形有两解； 由正弦定理，可得sin B＝＝＝，所以∠B＝60°或∠B＝120°， 当∠B＝60°时，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝90°，c＝＝＝4； 当∠B＝120°时，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝30°， c＝＝＝2， 所以∠B＝60°，∠C＝90°，c＝4或∠B＝120°， ∠C＝30°，c＝2. 反思感悟　已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． (2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a＝bsin A 一解 a<bsin A 无解 跟踪训练3　不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，∠A＝120°； (2)a＝9，b＝10，∠A＝60°； (3)b＝72，c＝50，∠C＝135°. 解　(1)sin B＝sin 120°＝×<，所以三角形有一解． (2)sin B＝sin 60°＝×＝，而<<1. 所以当∠B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°<∠B<90°.满足∠A＋∠B<180°； 当∠B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°<∠B<120°，也满足∠A＋∠B<180°.故三角形有两解． (3)sin B＝＝sin C>sin C＝. 所以∠B>45°，所以∠B＋∠C>180°，故三角形无解． 1．知识清单： (1)正弦定理． (2)利用正弦定理解三角形． (3)三角形解的个数的判断． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论． 1．在△ABC中，一定成立的等式是(　　) A．asin A＝bsin B B．acos A＝bcos B C．asin B＝bsin A D．acos B＝bcos A 答案　C 解析　由正弦定理＝，得asin B＝bsin A. 2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC等于(　　) A．4 B．2 C. D. 答案　B 解析　由正弦定理＝，得＝， 所以AC＝×＝2. 3．已知在△ABC中，b＝4，c＝2，∠C＝30°，那么此三角形(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．解的个数不确定 答案　C 解析　由正弦定理和已知条件，得＝， ∴sin B＝>1，∴此三角形无解． 4．在△ABC中， a＝5，b＝5，∠A＝30°，则∠B＝__________. 答案　60°或120° 解析　由正弦定理＝，得sin B＝＝. ∵b>a，∴∠B>∠A，且0°<∠B<180°，∴∠B＝60°或120°. 1．在△ABC中，a＝3，∠A＝30°，∠B＝15°，则c等于(　　) A．1 B. C．3 D. 答案　C 解析　∠C＝180°－30°－15°＝135°，c＝＝＝3. 2．在△ABC中，已知AB＝AC，∠B＝30°，则∠C等于(　　) A．45° B．15° C．45°或135° D．15°或105° 答案　C 解析　由正弦定理，可得＝， 即＝，可得sin C＝， 由AB＝AC可知AB>AC，所以∠C>∠B， 因为0°<∠C<180°， 所以∠C＝45°或∠C＝135°. 3．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案　B 解析　由题意及正弦定理可知，＝b＝，则sin B＝1， 又∠B∈(0，π)，故∠B为直角，△ABC是直角三角形． 4. 在△ABC中，已知∠A＝，a＝，b＝1，则c的值为(　　) A．1 B．2 C.－1 D. 答案　B 解析　由正弦定理＝， 可得＝， ∴sin B＝， 由a>b，得∠A>∠B，∴∠B∈， ∴∠B＝. 故∠C＝，由勾股定理得c＝2. 5．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　B 解析　由正弦定理，知＝，∴＝， ∴cos C＝sin C，∴tan C＝1， 又∵0°<∠C<180°，∴∠C＝45°. 6．(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　) A．a＝8，b＝16，∠A＝30°，有一解 B．b＝18，c＝20，∠B＝60°，有两解 C．a＝5，c＝2，∠A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，∠A＝150°，有一解 答案　ABD 解析　A中，∵＝，∴sin B＝＝1，∴∠B＝90°，即只有一解； B中，∵＝，∴sin C＝＝，且c>b，∴∠C>∠B，故有两解； C中，∵∠A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝＝，有解； D中，∵＝，∴sin B＝＝，又b<a，∴角B只有一解． 7．在△ABC中，若a＝，b＝，∠B＝，则∠A＝________. 答案　或 解析　由正弦定理，得sin A＝＝＝， 又∠A∈(0，π)，a>b， ∴∠A>∠B，∴∠A＝或. 8．在△ABC中，b＝7，∠B＝，cos A＝，则a＝________. 答案　3 解析　在△ABC中，b＝7，∠B＝，cos A＝， 所以sin A＝＝＝. 由正弦定理＝， 得a＝＝＝3. 9．在△ABC中，已知b＝6，c＝6，∠C＝30°，求a的值． 解　由正弦定理＝，得sin B＝＝. 因为b>c，所以∠B>∠C＝30°，所以∠B＝60°或120°. 当∠B＝60°时，∠A＝90°，a＝＝＝12. 当∠B＝120°时，∠A＝30°，a＝＝＝6. 所以a＝6或12. 10．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 a＝2csin A. (1)求角C的大小； (2)若c＝，且ab＝6，求△ABC的周长． 解　(1)由a＝2csin A及正弦定理得＝＝，因为sin A≠0，故sin C＝. 又因为△ABC为锐角三角形，所以∠C＝. (2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos ＝7， 因为ab＝6，所以a2＋b2＝13，解得或 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋. 11．在△ABC中，a＝1，b＝x，∠A＝30°，若△ABC有两解，则x的取值范围是(　　) A. B．(1，＋∞) C. D．(1,2) 答案　D 解析　如图，三角形有两解的条件为bsin A<a<b， ∴xsin 30°<1<x， 故x的取值范围是1<x<2. 12．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，b＝2＋2，已知sin 75°＝，则△ABC中最小的边长为(　　) A．2 B．4 C.＋ D.－ 答案　B 解析　因为∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－75°＝45°， 由三角形的边角关系小角对小边，可知最小的边长为c， 由正弦定理＝， 得＝， 所以c＝＝4， 所以△ABC中最小的边长为4. 13．在△ABC中，∠B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为(附：sin(A－B)＝sin Acos B－sin Bcos A)(　　) A．45° B．60° C．75° D．90° 答案　C 解析　设C为最大角，则A为最小角， ∵∠A＋∠C＝120°， ∴＝＝ ＝ ＝×＋ ＝， ∴＝1.∴tan A＝1. 又∵A为锐角，∴∠A＝45°，∠C＝75°. 14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则c＝________. 答案　 解析　在△ABC中，由cos A＝，cos C＝， 可得sin A＝，sin C＝， 又a＝1，故由正弦定理得，c＝＝. 15．在△ABC中，∠B＝120°，AB＝，角A的平分线交BC于D，AD＝，则AC＝________. 答案　 解析　如图所示，∵∠B＝120°，AB＝，AD＝， ∴由正弦定理得sin∠ADB＝＝， ∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝15°，∠BAC＝30°， ∴在△ABC中，∠C＝30°，由正弦定理得AC＝＝＝. 16．在△ABC中，a＝，∠A＝，试求△ABC周长的取值范围．(附：sin(A－B)＝sin Acos B－sin Bcos A；sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A) 解　由正弦定理，得＝＝， 即＝＝＝2， ∴b＝2sin B，c＝2sin C， ∴△ABC的周长为l＝a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C ＝＋2sin B＋2sin ＝＋3sin B＋cos B ＝＋2sin， 又B∈， ∴B＋∈， ∴sin∈， ∴l∈(2，3]． 即△ABC周长的取值范围为(2，3]． 学科网（北京）股份有限公司 $$