第3练 向量的数量积-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

第3练　向量的数量积 一、选择题 1．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则a·b等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　a·b＝|a||b|cos ＝1×2×cos ＝1. 2．已知|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝，则|a－b|等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意可得|a＋b|2＝19， 所以a2＋2a·b＋b2＝19， 所以2a·b＝19－4－9＝6. 于是|a－b|＝＝＝. 3．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·等于(　　) A．－a2 B．－a2 C.a2 D.a2 答案　A 解析　由题意得，||＝a，〈，〉＝150°， ∴·＝||||cos 150°＝－a2. 4．已知向量a，b，且|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则向量a在b上的投影向量是(　　) A．－2 B．－2b C．－ D．－b 答案　D 解析　由题设a和b的夹角为θ， 则cos θ＝＝－， 则向量a在b上的投影向量为 |a|cos θ·＝－b. 5．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，a⊥(a＋2b)，则向量a，b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵a⊥(a＋2b)， ∴a·(a＋2b)＝0， 即a2＋2a·b＝0， ∴a·b＝－1， 设向量a，b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝－. ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝. 6．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·等于(　　) A. B．6 C．12 D．18 答案　D 解析　如图，过点O作OD⊥AB于D， 可知AD＝AB＝3， 则·＝(＋)·＝·＋·＝3×6＋0＝18. 二、填空题 7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________. 答案　－ 解析　∵e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝， ∴(2e1－e2)·(－3e1＋2e2) ＝－6e＋7e1·e2－2e＝－. 8．已知a，b均为单位向量，若|a－2b|＝，则向量a与b的夹角为________． 答案　 解析　由|a－2b|＝，得(a－2b)2＝3， 即a2＋4b2－4a·b＝3， 设单位向量a与b的夹角为θ， 则1＋4－4cos θ＝3，解得cos θ＝. 又θ∈[0，π]，所以θ＝. 9．已知||＝||＝1，||＝，则·＝________，|＋|＝________. 答案　－　1 解析　由||＝||＝1，||＝，可知以向量，为邻边的平行四边形是菱形，，的夹角为， ∴·＝||||cos ＝－， |＋|＝＝＝1. 10．已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 答案　 解析　因为＝， 所以＝，解得λ＝. 三、解答题 11．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求： (1)a与b的夹角； (2)a－b与a＋b的夹角的余弦值． 解　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝，且|a|＝1， ∴|b|2＝，∴|b|＝. 设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°， ∴a与b的夹角为45°. (2)|a－b|＝＝ ＝＝， |a＋b|＝＝ ＝＝， 设a－b与a＋b的夹角为α， 则cos α＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$