15.3.2 独立事件-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

第2课时　独立事件 [学习目标]　1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题． 导语 在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个“臭皮匠”能答对某题目的概率分别为50%,45%,40%，“诸葛亮”能答对该题目的概率为85%，如果将“三个臭皮匠”组成一组与“诸葛亮”进行比赛，各选手独立答题，不得商量，团队中只有一人答出即为该组获胜．试问：哪方获胜的可能性大？本节课我们就一起来研究一下吧！ 一、相互独立事件 问题1　分别抛掷两枚质地均匀的硬币，事件A为“第一枚硬币正面朝上”，事件B为“第二枚硬币反面朝上”．计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？ 提示　用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点．而A＝{(1,1)，(1,0)}，B＝{(1,0)，(0,0)}，所以AB＝{(1,0)}．由古典概型概率公式，得 P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝. 于是P(AB)＝P(A)P(B)． 结论：积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积． 问题2　如果事件A与事件B满足P(AB)＝P(A)·P(B)，那么P()＝P()P()成立吗？ 提示　成立． 知识梳理 1．相互独立事件 (1)定义：一般地，对于两个随机事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，那么称A，B为相互独立事件． (2)结论：事件A发生与否不影响事件B发生的概率． A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)． 2．相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与 也相互独立． 3．独立事件的推广 独立事件可以推广到n个事件的情形(n∈N，n>2)．一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 注意点： 必然事件Ω、不可能事件∅都与任意事件相互独立． 例1　判断下列事件是否为相互独立事件． (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”． (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”． 解　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． 反思感悟　两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B为相互独立事件． 跟踪训练1　掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　) A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥 C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥 答案　B 解析　事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}． 所以P(A)＝＝，P(B)＝＝， P(AB)＝＝×， 即P(AB)＝P(A)P(B)， 因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生， 所以A，B不是互斥事件． 二、相互独立事件概率的计算 例2　根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立． (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率． 解　记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6. (1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”， 则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3. (2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝B， 所以P(D)＝P(B)＝P()P(B) ＝(1－0.5)×0.6＝0.3. 延伸探究　本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？ 解　记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”， 方法一　则事件E包括B，A，AB，且它们彼此为互斥事件． 所以P(E)＝P(B＋A＋AB) ＝P(B)＋P(A)＋P(AB) ＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8. 方法二　事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件． 所以P(E)＝1－P()＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8. 反思感悟　(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 跟踪训练2　甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译密码时，以下事件发生的概率： (1)两人都能破译出密码的概率； (2)恰有一人能破译出密码的概率； (3)至多有一人能破译出密码的概率． 解　记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”． (1)两个人都破译出密码的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. (2)“恰有一人能破译出密码”分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即A＋B， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝×＋×＝. (3)“至多有一人能破译出密码”的对立事件是“两人都破译出密码”， ∴其概率为1－P(AB)＝1－＝. 三、相互独立事件概率的综合应用 例3　计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ (2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率． 解　(1)记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则 P(A)＝×＝， P(B)＝×＝， P(C)＝×＝. 因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大． (2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D， 由题意知三人是否获得合格证书相互独立，则 P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC) ＝××＋××＋××＝. 反思感悟　求较复杂事件的概率的一般步骤 (1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． (2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式． (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 跟踪训练3　小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率． 解　用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9， 所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1. (1)由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB) ＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P() ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1 ＝0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2＝1－P() ＝1－P()P()P() ＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994. 1．知识清单： (1)相互独立事件的判断． (2)相互独立事件概率的计算． 2．方法归纳：方程思想、正难则反思想． 3．常见误区：相互独立事件与互斥事件易混淆． 1．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球两次，用A1表示第1次摸到白球，A2表示第2次摸到白球，则A1与A2(　　) A．是互斥事件 B．是相互独立事件 C．是对立事件 D．不是相互独立事件 答案　D 解析　互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错．而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者不是相互独立事件． 2．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为(　　) A．0.2 B．0.8 C．0.4 D．0.3 答案　D 解析　事件“问题由乙答对”的含义是甲答错与乙答对同时发生了，由相互独立事件同时发生的概率可知，概率为P＝0.6×0.5＝0.3. 3．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该生各项标准均合格的概率为(假设各项标准是否合格互不影响)(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　P＝××＝. 4．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，且3人是否击中目标相互独立．若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为________． 答案　0.009 解析　3人向目标各发1枪，由相互独立事件的概率计算公式，得目标没有被击中的概率 P＝(1－0.7)×(1－0.8)×(1－0.85) ＝0.3×0.2×0.15＝0.009. 1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A为“甲击中目标”，事件B为“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　) A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立 C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥 答案　A 解析　对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与事件B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与事件B可能同时发生，所以事件A与事件B不是互斥事件． 2．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　) A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又独立 答案　C 解析　∵P(A)＝1－P()＝1－＝， ∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴事件A与B相互独立． 3．某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是(　　) A．0.64 B．0.56 C．0.81 D．0.99 答案　C 解析　Ai表示“第i次击中目标”，i＝1,2， 则P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81. 4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为(　　) A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.88 答案　D 解析　设“甲被录取”记为事件A，“乙被录取”记为事件B，则两人至少有一人被录取的概率 P＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)] ＝1－0.4×0.3＝0.88. 5．从甲袋中摸出1个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则可能是(　　) A．2个球不都是红球的概率 B．2个球都是红球的概率 C．至少有1个红球的概率 D．2个球中恰有1个红球的概率 答案　C 解析　记4个选项中的事件分别为A，B，C，D，则 P(A)＝1－×＝， P(B)＝×＝， P(C)＝1－×＝， P(D)＝×＋×＝. 6.在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC＋AB＋AC，且A，B，C相互独立， ABC，AB，AC互斥，所以 P(E)＝P(ABC＋AB＋AC) ＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC) ＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C) ＝××＋××＋××＝. 7．某篮球队队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________． 答案　 解析　设此队员每次罚球的命中率为P， 则1－P2＝，所以P＝. 8．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________． 答案　 解析　“从甲盒内取一个A型螺杆”记为事件M，“从乙盒内取一个A型螺母”记为事件N，因为事件M，N相互独立，所以能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝. 9．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求： (1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； (2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率． 解　记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5； 记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6； 记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”； 记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”； 记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”． (1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3. (2)易知D＝A∪B，则P(D)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5. (3)易知＝，则P()＝P()＝P()P()＝0.5×0.4＝0.2.故P(E)＝1－P()＝0.8. 10．为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表： 200元 300元 400元 500元 老年 0.4 0.3 0.2 0.1 中年 0.3 0.4 0.2 0.1 青年 0.3 0.3 0.2 0.2 某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点． (1)求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率； (2)求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率． 解　(1)设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1， 则P1＝(0.7)2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448. (2)消费总额为1 500元的概率是 0．1×0.1×0.2＝0.002， 消费总额为1 400元的概率是 (0.1)2×0.2＋2×(0.2)2×0.1＝0.010， 消费总额为1 300元的概率是 (0.1)2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋0.23＋2×0.22×0.1＝0.033， 所以消费总额大于或等于1 300元的概率是0.002＋0.01＋0.033＝0.045. 11．(多选)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有(　　) A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M为“出现的点数为奇数”，事件N为“出现的点数为偶数” B．袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M为“第1次摸到白球”，事件N为“第2次摸到白球” C．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M为“第1枚为正面”，事件N为“两枚结果相同” D．一枚硬币掷两次，事件M为“第一次为正面”，事件N为“第二次为反面” 答案　CD 解析　在A中，M，N是互斥事件，不相互独立； 在B中，M，N不是相互独立事件； 在C中，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝， P(MN)＝P(M)P(N)， 因此M，N是相互独立事件； 在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件． 12.同时转动如图所示的两个质地均匀的转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中，满足xy＝4的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　满足xy＝4的所有可能如下： x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1. ∴所求事件的概率为 P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1) ＝×＋×＋×＝. 13．设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意知，P()·P()＝， P()·P(B)＝P(A)·P()． 设P(A)＝x，P(B)＝y， 则即 ∴x2－2x＋1＝， ∴x－1＝－，或x－1＝(舍去)， ∴x＝. 14．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________． 答案　0.128 解析　由已知条件知，第2个问题答错，第3,4个问题答对，记“问题回答正确”为事件A，则P(A)＝0.8，故P＝P[(A＋)AA]＝[1－P(A)]·P(A)·P(A)＝0.128. 15．(多选)如图所示的电路中，5只盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是(　　) A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为 B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为 C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为 D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为 答案　ACD 解析　由题意知，P(A)＝，P(B)＝， P(C)＝，P(D)＝，P(E)＝， 所以A，B两个盒子串联后畅通的概率为 ×＝，因此A正确； D，E两个盒子并联后畅通的概率为 1－×＝1－＝，因此B错误； A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为 1－×＝1－＝，因此C正确； 当开关合上时，整个电路畅通的概率为 ×＝，因此D正确． 16．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率． 解　甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为 1－－＝，1－－＝. (1)租车费用相同可分为租车费用都为0元，2元，4元三种情况． 都付0元的概率为P1＝×＝； 都付2元的概率为P2＝×＝； 都付4元的概率为P3＝×＝. 所以，甲、乙两人所付租车费用相同的概率为 P＝P1＋P2＋P3＝. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元，4元；②2元，2元；③4元，0元． 所以P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝， 即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $$