第15章 概率 章末复习课-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

一、随机事件的概率 1．通过具体实例，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．了解概率的意义及频率与概率的区别． 2．掌握随机事件概率的应用，提升数学抽象和数学运算素养． 例1　对某市今年4月份的天气情况进行统计，结果如表所示． 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 (1)在4月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率； (2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率． 解　(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，该市不下雨的概率为P＝＝. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为， 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为. 反思感悟　(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． (2)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验无关，可以用频率估计概率． 跟踪训练1　电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)? 解　(1)由题意知，样本中电影的总部数是 140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000， 第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0.25＝50. 故所求概率为＝0.025. (2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是 140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372. 故所求概率估计为1－＝0.814. (3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率． 二、古典概型 1．古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m. 2．掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学抽象、数据分析的数学素养． 例2　(1)我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《数书九章》《缉古算经》有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于东汉、魏晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有1部是东汉、魏晋、南北朝时期专著的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　记这5部专著分别为A，B，C，D，E，其中A，B，C产生于东汉、魏晋、南北朝时期，则从这5部专著中选择2部的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)}，共包含10个样本点，所选的2部专著都不是东汉、魏晋、南北朝时期专著的样本点只有(D，E)这1个，根据对立事件的概率公式可知，所选2部专著中至少有1部是东汉、魏晋、南北朝时期的概率为1－＝. (2)袋中装有除颜色外其他均相同的6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中任取两球，求下列事件的概率． ①A：取出的两球都是白球； ②B：取出的两球一个是白球，另一个是红球． 解　设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性相同． ①“从袋中的6个球中任取两球，所取的两球全是白球”为事件A，则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有6个样本点．所以P(A)＝＝. ②“从袋中的6个球中任取两球，其中一个是白球，另一个是红球”为事件B，则B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，共含有8个样本点，所以P(B)＝. 反思感悟　在古典概型中，计算概率的关键是准确找到样本点的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树形图，把样本点一一列出．而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的数目． 跟踪训练2　海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测． 地区 A B C 数量 50 150 100 (1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量； (2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率． 解　(1)因为总体容量为50＋150＋100＝300， 所以样本包含三个地区的个体数量分别是 6×＝1,6×＝3,6×＝2. 所以这6件样品中来自A，B，C三个地区的数量分别为1,3,2. (2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2， 则从这6件样品中抽取的2件商品构成的所有样本点为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个． 记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个． 所以P(D)＝， 即这2件商品来自相同地区的概率为. 三、互斥事件、对立事件与相互独立事件 1．互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况． 2．若事件A，B满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，且当A与B相互独立时，A与，与B，与也相互独立． 3．掌握互斥事件和对立事件的概率公式、相互独立事件的判断方法及应用，提升逻辑推理和数学运算素养． 例3　(1)把标有1,2的两张卡片随机地分给甲、乙，把标有3,4的两张卡片随机地分给丙、丁，每人一张，事件“甲得1号纸片”与“丙得4号纸片”是(　　) A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．相互独立事件 D．以上答案都不对 答案　C 解析　相互独立的两个事件彼此没有影响，可以同时发生，因此它们不可能互斥． (2)(多选)中国篮球职业联赛中，某运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 没投中 100 55 18 27 记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中正确的是(　　) A．P(A)＝0.55 B．P(A＋B)＝0.18 C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55 答案　AC 解析　由题意可知，P(A)＝＝0.55， P(B)＝＝0.18，P(C)＝＝0.27， 易知事件A，B，C两两互斥， 所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.73， P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.45. 反思感悟　事件间的关系的判断方法 (1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系． (2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断． (3)判断两事件是否相互独立，有两种方法：①直接法；②看P(AB)与P(A)P(B)是否相等，若相等，则A，B相互独立，否则不相互独立． 跟踪训练3　(1)若干个人站成一排，其中为互斥事件的是(　　) A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 答案　A 解析　由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件． (2)某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如表所示． 人数 0 1 2 3 4 大于等于5 概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 ①求派出医生至多2人的概率； ②求派出医生至少2人的概率． 解　设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04. ①“派出医生至多2人”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. ②方法一　“派出医生至少2人”的概率为P(C＋D＋E＋F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74. 方法二　“派出医生至少2人”的概率为 1－P(A＋B)＝1－0.1－0.16＝0.74. 四、相互独立事件概率的计算 1．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解． 2．掌握相互独立事件的概率公式的应用，提升数学抽象和逻辑推理的数学素养． 例4　某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，则给予10分降分资格；若考核为优秀，则给予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为，，，他们考核所得的等级相互独立． (1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率； (2)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生所得降分之和为40的概率． 解　(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E. 则事件A，B，C是相互独立事件，事件与事件E是对立事件，于是 P(E)＝1－P() ＝1－××＝. (2)设“在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为40”为事件D， 则D＝A＋B＋C， 故所求概率为P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝. 反思感悟　解此类题的步骤 (1)标记事件． (2)判断事件的独立性． (3)分清所涉及的事件及事件状态(互斥还是对立)． (4)套用公式． 跟踪训练4　某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第二轮考核的概率． 解　记“该选手正确回答第i轮问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝. (1)该选手进入第三轮才被淘汰的概率为 P(A1A23)＝P(A1)P(A2)P(3)＝××＝. (2)该选手至多进入第二轮考核的概率为 P(1＋A12)＝P(1)＋P(A1)P(2)＝＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$