（练习）课时分层作业47 独立事件-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(四十七)　独立事件 一、选择题 1．有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 B　[事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝＝，事件丁发生的概率P(丁)＝＝．事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)·P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．故选B．] 2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(　　) A．　　 B． C．　　 D． A　[“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A，则P(A)＝＝，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B，则P(B)＝＝，事件A，B相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×＝，故选A．] 3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队赢得每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　) A．　　 B． C．　　 D． A　[问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝．故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝．] 4．甲、乙二人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，两个人射中与否相互之间没有影响，那么其中恰有1人击中目标的概率是(　　) A．0.49　 B．0.42 C．0.7　 D．0.91 B　[由题意可知，两人恰有1人击中目标有两种情况：甲击中乙没击中或甲没击中乙击中，设“恰有1人击中目标”为事件A，则P(A)＝0.7×(1－0.7)＋(1－0.7)×0.7＝0.42．] 5．高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立的．假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为a，b，，且该同学可以进入两个社团的概率为，三个社团都进不了的概率为，则ab＝(　　) A． B． C． D． B　[依题意，得ab＋a(1－b)＋b(1－a)＝，(1－a)(1－b)＝，整理得，所以ab＝．故选B．] 二、填空题 6．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为________． 0.864　[可知K，A1，A2三类元件是否正常工作相互独立，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－(1－0.8)2＝0.96， 所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864．] 7．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________． 　[从甲袋中任取一球是白球的概率为＝，是红球的概率为＝；从乙袋中任取一球是白球的概率为＝，是红球的概率为＝，故所求事件的概率为×＋×＝．] 8．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________． 0.902　[设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为，，， 则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1， 至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立． ∴至少两颗预报准确的概率为 P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC) ＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902．] 三、解答题 9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立． (1)求该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． [解]　记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险； B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险； C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种； D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买； E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B， P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8． (2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2， P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384． 10．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： (1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率； (4)2人至多有1人射中目标的概率． [解]　设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件． (1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72． (2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生)．根据题意，事件A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为 P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26． (3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人恰有1人射中”2种情况， 其概率为P＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.72＋0.26＝0.98． (4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况， 故所求概率为P＝P( )＋P(A)＋P(B) ＝P()·P()＋P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28． 11．(多选题)有一道数学题，学生甲解出的概率为，学生乙解出的概率为，学生丙解出的概率为．若甲、乙、丙三人独立去解答此题，则(　　) A．恰有一人解出的概率为 B．没有人能解出的概率为 C．至多一人解出的概率为 D．至少两人解出的概率为 AC　[恰有一个解出的概率为××＋××＋××＝，故A正确；没有人能解出的概率为××＝，故B错误；由A，B知，至多一人解出的概率为＋＝，故C正确；由题易知，选项C，D是对立事件，故至少两人解出的概率为1－＝，故D错误．故选AC．] 12．(多选题)甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是(　　) A．P(B)＝ B．事件B与事件A1相互独立 C．事件B与事件A2相互独立 D．A1，A2互斥 AD　[首先根据题意画出树形图，得到有关事件的样本点数如图所示． P(B)＝＝，故A正确；因为P(A1)＝＝，P(A1B)＝＝，所以P(A1B)≠P(A1)P(B)，故B错误；因为P(A2)＝＝，P(A2B)＝＝，所以P(A2B)≠P(A2)P(B)，故C错误；事件A1，A2不可能同时发生，彼此互斥，故D正确．故选AD．] 13．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________． 　　[∵P(AB)＝P(AB)P()＝P()＝， ∴P()＝，即P(C)＝． 又P(C)＝P()·P(C)＝， ∴P()＝，P(B)＝． 又P(AB)＝，则P(A)＝， ∴P(B)＝P()·P(B)＝×＝．] 14．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________． 0.18　[记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18．] 15．在一个选拔项目中，每个选手都要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为，，，，且各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率． [解]　设事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝． (1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”， 则P(B)＝P(A1A23)＝P(A1)P(A2)P(3) ＝××＝． (2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P(C)＝P(1＋A1＋A1A23) ＝P(1)＋P(A12)＋P(A1A23) ＝＋×＋××＝． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$