第9章 平面向量 章末复习课-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

一、平面向量的线性运算及应用 1．向量线性运算的基本原则和求解策略 (1)基本原则： 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面． (2)求解策略： ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧． ②字符表示下线性运算的常用技巧： 首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝. 2．通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养． 例1　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b等于(　　) A．(7，－2) B．(1，－2) C．(1，－3) D．(7，2) 答案　A 解析　∵a＝(2,1)，b＝(－3,4)， ∴2a－b＝2(2,1)－(－3,4)＝(4,2)－(－3,4)＝(4＋3,2－4)＝(7，－2)． (2)如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________． 答案　 解析　设＝λ， ∵＝＋＝－＋m＋＝(m－1)＋. ＝＋＝－＋. ∴(m－1)＋＝－λ＋λ， ∴∴m＝. 反思感悟　向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题． 跟踪训练1　(1)在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，则r＋s＝________. 答案　0 解析　∵＝2， ∴＝＝(－)＝－， 又∵＝r＋s， ∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0. (2)如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A. B. C. D．2 答案　B 解析　因为＝λ＋μ ＝λ(＋)＋μ(＋) ＝λ＋μ(－＋) ＝(λ－μ)＋，且＝＋， 所以解得所以λ＋μ＝. 二、向量的数量积 1．向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等． 2．通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养． 例2　(1)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________． 答案　 解析　由⊥，知·＝0， 即·＝(λ＋)·(－) ＝(λ－1)·－λ2＋2 ＝(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0， 解得λ＝. (2)已知|a|＝1，a·b＝，|a－b|2＝1，则a与b的夹角等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 答案　C 解析　设a与b的夹角为θ， 因为a·b＝|a||b|cos θ＝， 且|a|＝1， 所以|b|cos θ＝.① 又|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1， 即1＋|b|2－1＝1，故|b|＝1.② 由①②得cos θ＝. 又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°. 反思感悟　(1)向量数量积的两种计算方法 ①当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ； ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (2)利用向量数量积可以解决以下问题 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， ①a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)； ②求向量的夹角和模的问题 |a|＝. 两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) cos θ＝＝. 跟踪训练2　(1)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案　C 解析　由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4. (2)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　) A．－ B. C. D. 答案　B 解析　∵＝－， ＝＋＝＋＝＋， ∴·＝(－)· ＝－－· ＝×1×1－×1×1－×1×1×cos 60°＝. 三、平面向量在几何中的应用 1．向量在平面几何中的应用是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题． 2．对于有些平面图形的问题，常建立平面直角坐标系，转化为代数运算解决．考查学生转化与化归和数形结合的能力． 例3　如图，半径为的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A. B. C. D．2 答案　A 解析　由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图， 则O(0,0)，A(0，)，C(，0)， B(cos 30°，－sin 30°)＝， 因为＝λ＋μ， 所以(，0)＝λ(0，)＋μ， 即则 所以λ＋μ＝. 反思感悟　把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性． 跟踪训练3　在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________． 答案　 解析　作CO⊥AB于点O，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A，B，C，D， 所以E，F， 所以＝，＝， 所以·＝·＝＋＝. 四、平面向量在物理中的应用 1．向量在物理中的应用是用向量的线性运算及数量积解决物理中的力、速度、功等问题． 2．对于有些物理问题，可以转化为数学中的向量问题解决，培养转化与化归和数形结合的能力． 例4　奥运会帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动．如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度大小为20 km/h，此时水的流向是正东，流速大小为20 km/h，若不考虑其他因素，求帆船行驶的速度大小与方向． 解　如图所示，建立平面直角坐标系(x轴的正方向为东，y轴的正方向为北)．风力的方向为北偏东30°，速度大小为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度大小为|v2|＝20 km/h，帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2. 由题意可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,10)，向量v2＝(20,0)， 则帆船行驶的速度 v＝v1＋v2＝(10,10)＋(20,0)＝(30,10)． ∴|v|＝＝20(km/h)， tan α＝＝. ∵α为锐角，∴α＝30°. ∴帆船向北偏东60°方向行驶，速度大小为20km/h. 反思感悟　(1)求力(向量)、速度(向量)常用的方法：一般是将向量几何化，借助向量加法的平行四边形法则求解． (2)把物理问题转化为数学问题，建立以向量为主体的数学模型求出数学模型的有关解，然后回到问题的初始状态，解释相关的物理现象，从而得出答案． 跟踪训练4　若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝ N，F1与F2的夹角为45°，求： (1)F3的大小； (2)F3与F1夹角的大小． 解　(1)∵三个力平衡， ∴F1＋F2＋F3＝0， ∴|F3|＝|F1＋F2|＝ ＝ ＝＝(1＋)N. (2)设F3与F1的夹角为θ， 则|F2|＝， 即＝， 解得cos θ＝－， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$