15.2.2 频率与概率 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

第2课时　频率与概率 第15章　§15.2　随机事件的概率 学习目标 1.掌握概率的基本性质. 2.了解频率与概率的区别. 3.理解概率的意义. 某地“36选7”电脑福利彩票的投注方法是，从36个号码中选择7个号码为1注，每注金额为人民币2元.中奖号码由6个基本号码和1个特别号码组成，投注者根据当期彩票上的投注号码与中奖号码相符的个数多少(顺序不限)，确定相应的中奖资格. 那么买一注彩票，能够中奖的概率(可能性)有多大？能够中一等奖的概率有多大呢？本节课就让我们一起来研究这种题的做题方法吧！ 导语 内容索引 一、频率的稳定性 二、利用频率估计概率 课时对点练 三、概率的应用 随堂演练 频率的稳定性 一 问题　利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20,100,500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数和频率，结果如表所示： 序号 n＝20 n＝100 n＝500 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.5 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 随着试验次数的增加，频率有什么变化规律？频率与概率有什么关系？ 提示　随着试验次数的增加，频率的值越来越接近一个常数；当试验次数非常大时，可以用频率近似地估计概率，这个常数即为概率. 1.频率的稳定性 一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的 会在随机事件A发生的概率P(A)的附近摆动并趋于稳定，我们将频率的这个性质称为频率的稳定性. 频率 2.频率与概率的关系 若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验次数n很大时，可以用事件A发生的频率_____来估计事件A的概率，即P(A)≈_____. 知识梳理 8 3.概率的意义 对于随机现象，虽然事先无法确定某个随机事件是否发生，但是在相同条件下进行大量重复试验时，可以发现随机事件的发生与否呈现出某种规律性. 注意点： (1)频率是概率的试验值，会随试验次数的增大逐渐稳定，概率是频率理论上的稳定值. (2)在实际中可用频率估计概率. 知识梳理 9 例1　(1)(多选)下列说法正确的是 A.频率反映事件出现的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小 B.做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率P(A)＝ C.含百分比的数是频率，但不是概率 D.频率是不能脱离n次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值 √ √ 10 逐个判断各说法，根据频率与概率的定义，可知A正确； 频率不是概率，B中求出的是事件A发生的频率，因此B错误； 概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此C错误； 根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此D正确. 11 (2)试解释下面情况中概率的意义. ①某商场为促进销售，实行有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20； 指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%； ②一生产厂家称：“我们厂生产的产品合格的概率为0.98.” 是说其生产的产品合格的可能性是98%. 12 概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，概率大，只能说明这个随机事件发生的可能性大，而不是必然发生或必然不发生. 反思感悟 13 跟踪训练1　(1)某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了7次，则下列说法正确的是 A.正面朝上的概率为0.7 B.正面朝上的频率为0.7 C.正面朝上的概率为7 D.正面朝上的概率接近于0.7 √ 14 (2)试题中共8道单项选择题，每道题有4个选项，其中只有1个选项是正确的.某同学说：“每个选项正确的概率是 ，若每题都选择第一个选项，则一定有2道题的选择结果正确”.这句话 A.正确 B.错误 C.有一定道理 D.无法解释 √ 15 二 利用频率估计概率 例2　下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表： 抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率             (1)计算各组优等品频率，填入上表； 17 (2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率. 由(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故估计事件“抽取的是优等品”的概率是0.95. 18 延伸探究　在本例条件不变的情况下，某校购买了该品牌乒乓球200个，则“优等品”的个数大约有多少？ 因为“优等品”的概率为0.95,200×0.95＝190，所以“优等品”的个数大约为190. 19 (1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率. (2)解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率. 反思感悟 20 跟踪训练2　某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示： 分组 频数 频率 [500,900) 48   [900,1 100) 121   [1 100,1 300) 208   [1 300,1 500) 223   [1 500,1 700) 193   [1 700,1 900) 165   [1 900，＋∞) 42   21 (1)求各组的频率； 频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042. 22 (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率. 样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600， 即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6. 23 三 概率的应用 例3　某转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下两种方案中选一种： A.猜“是奇数”或“是偶数”； B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”. 请回答下列问题： (1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？ 25 26 为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性. (2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？ 27 概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定发生，只是认为发生的可能性大. 反思感悟 28 跟踪训练3　为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数. 29 设水库中鱼的尾数为n，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，若从水库中任意捕出一尾， 设事件A为“带有记号的鱼”， 30 解得n≈25 000. 所以水库内约有鱼25 000尾. 31 1.知识清单： (1)概率的基本性质. (2)频率与概率的区别. (3)概率的意义. 2.方法归纳：数学建模思想. 3.常见误区：不理解概率的意义导致出错. 课堂小结 随堂演练 四 1.下列结论正确的是 A.事件A的概率P(A)的值满足0<P(A)<1 B.若P(A)＝0.999，则A为必然事件 C.灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，是合格品的可能性为99% D.若P(A)＝0.001，则A为不可能事件 1 2 3 4 √ 由概率的基本性质，可知事件A的概率P(A)的值满足0≤P(A)≤1，故A错误； 必然事件的概率为1，故B错误； 不可能事件的概率为0，故D错误. 1 2 3 4 2.老师讲一道数学题，某同学能听懂的概率是0.8，是指 A.老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂 B.老师在讲的10道题中，该同学能听懂8道 C.该同学听懂老师所讲这道题的可能性为80% D.以上解释都不对 1 2 3 4 √ 概率的意义就是事件发生的可能性大小. 3.样本容量为200的频率直方图如图所示.根据样本的频率直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为____，估计数据落在[2,10)内的概率约为_____. 1 2 3 4 64 0.4 1 2 3 4 数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64，落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4，由频率估计概率知，所求概率约为0.4. 4.对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下： 1 2 3 4 抽查件数 50 100 200 300 500 合格品件数 47 92 192 285 478 根据上表所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品. 1 000 合格品的频率从左到右依次为0.94,0.92，0.96，0.95,0.956，逐渐稳定在0.95附近，故估计合格率约是0.95，所以950÷0.95＝1 000，故大约需抽查1 000件产品. 课时对点练 五 1.(多选)下列说法中正确的是 A.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 B.买彩票中奖的概率是0.001，那么买1 000张彩票一定能中奖 C.乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数 中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的 D.昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水概率为90%”是错 误的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ 根据概率的意义逐一判断可知AC正确，BD不正确. 2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数大约为 A.160 B.7 840 C.7 998 D.7 800 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 8 000×(1－2%)＝7 840(件). 4.(多选)下列说法中不正确的有 A.做9次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有5次出现正面，所以出现正面 的频率是 B.盒子中装有大小均匀的3个红球，3个黑球，2个白球，每种颜色的球被 摸到的可能性相同 C.从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取得的数小于0和不小于0 的可能性相同 D.分别从2名男生，3名女生中各选1名作为代表，那么每名学生被选中的 可能性相同 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ B中，摸到白球的概率要小于摸到红球或黑球的概率； C中，取得的数小于0的概率大于不小于0的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有 5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为 A.200颗 B.300颗 C.400颗 D.500颗 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 落在桌面的数字 1 2 3 4 5 频数 32 18 15 13 22 则落在桌面的数字不小于4的频率为________. 0.35 8.从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 分组 [90,100) [100,110) [110,120) 频数 1 2 3 分组 [120,130) [130,140) [140,150] 频数 10 3 1 则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的_____%. 70 9.某出版社对某教辅图书的写作风格进行了5次“读者问卷调查”，结果如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 被调查人数n 1 001 1 000 1 004 1 003 1 000 满意人数m 999 998 1 002 1 002 1 000 满意频率           (1)计算表中的各组频率(精确到0.001)； 表中各个频率依次是0.998,0.998,0.998,0.999,1.000. (2)读者对此教辅图书满意的概率P(A)约是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由第(1)问的结果，知该出版社在5次“读者问卷调查”中，收到的反馈信息是读者对此教辅图书满意的概率约是P(A)＝0.998. 用百分数表示就是P(A)＝99.8%. (3)根据(1)(2)说明读者对此教辅图书的满意情况. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)(2)可以看出，读者对此教辅图书满意程度较高. 10.某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3和4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平？为什么？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 该方案是公平的，理由如下： 各种情况如下表所示： 和 4 5 6 7 1 5 6 7 8 2 6 7 8 9 3 7 8 9 10 由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出两句的有45人，能说出三句及以上的有32人，据此估计该校三年级的500名学生中，对二十四节气歌只能说出一句或一句也说不出的有 A.69人 B.84人 C.108人 D.115人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，随机抽查的100名学生中，只能说出一句或一句也说不出的学生有100－45－32＝23(人)， 12.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 13.(多选)下列对概率的理解正确的是 A.某厂生产的电子产品合格的概率为0.997是指生产1 000件电子产品大约 有997件是合格的 B.某商场进行促销活动，购买商品满200元，即可参加抽奖活动，中奖的 概率为0.6是指购买商品满200元，一定会中奖120元 C.一位气象学工作者说，明天下雨的概率是0.8是指在今天的条件下，明 天下雨的可能性是80% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B中，中奖的概率为0.6是指每次购买额满200元，抽奖中奖的可能性为0.6，其他选项均正确. 14.在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.为此，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1,2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6.由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组.例如，产生了20组随机数： 423　231　423　344　114　453　525　323　152　342 345　443　512　541　125　342　334　252　324　254 相当于做了20次试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0.65 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，20组随机数中甲获胜的有 423　231　423　114　323　152　342　512　125　342　334　252　324，共13组， 所以甲获得冠军的概率的近似值约为0.65. 15.在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给出正确答复，因此需要特别的调查方法，调查人员设计了一个随机化装置，在袋中装有形状、大小、质地完全相同的50个黑球和50个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球.若摸到黑球，则需要如实回答问题一：你公历生日的月份是奇数吗？若摸到白球，则如实回答问题二：你是否在考试中作过弊.若100人中有52人回答了“是”，48人回答了“否”，则问题二回答“是”的百分比为________.(以100人的频率估计概率) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 54% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径(单位：厘米)检验，结果如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直径 个数 d∈[6.88,6.89] 1 d∈(6.89,6.90] 2 d∈(6.90,6.91] 10 d∈(6.91,6.92] 17 d∈(6.92,6.93] 17 直径 个数 d∈(6.93,6.94] 26 d∈(6.94,6.95] 15 d∈(6.95,6.96] 8 d∈(6.96,6.97] 2 d∈(6.97,6.98] 2 从这100个螺母中任意取一个，检验其直径的大小，求下列事件的频率： (1)事件A：螺母的直径在(6.93,6.95]范围内； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 螺母的直径在(6.93,6.95]范围内的频数为nA＝26＋15＝41， (2)事件B：螺母的直径在(6.91,6.95]范围内； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 螺母的直径在(6.91,6.95]范围内的频数为 nB＝17＋17＋26＋15＝75， (3)事件C：螺母的直径大于6.96. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 螺母的直径大于6.96的频数为nC＝2＋2＝4， 正面朝上的频率为＝0.7，正面朝上的概率为0.5，故B正确，A，C，D错误. 从四个选项中正确选择选项是一个随机事件，是指这个事件发生的概率，实际上，做8道选择题相当于做8次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，8个正确.因此该同学的说法是错误的. 根据优等品频率＝，可得优等品的频率从左到右依次为0.9,0.92,0.97,0.94，0.954，0.951. 所以样本中使用寿命不足1 500小时的频率是＝0.6. 为了尽可能获胜，乙应选择方案B，猜“不是4的整数倍数”，这是因为“不是4的整数倍数”的概率为＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B. 易知P(A)＝， ① 第二次从水库中捕出500尾，观察其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的频数m＝40，由概率的统计定义可知P(A)≈， ② 由①②两式，得≈， A. B. C. D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，则每一次出现正面朝上的概率均为. D中，男生被选中的概率为，而女生被选中的概率为，故BCD均不正确. 设白色围棋子的数目为n，则由已知可得＝，解得n＝300，即白色围棋子的数目大约有300颗. A. B. C. D. 由题意得，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200＋2 100＝3 300，所以随机调查的网上购物的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为＝.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为. 落在桌面的数字不小于4，即为数字4,5的频数为13＋22＝35，所以频率为＝0.35. 由题意知＝0.7＝70%. 为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝＝， (2)班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的. ∴只能说出一句或一句也说不出的学生所占的比例为， 估计该校三年级的500名学生中，只能说出一句或一句也说不出的学生共有500×＝115(人). A. B. C. D. 不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有45种方法，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为＝. D.按照法国著名数学家拉普拉斯的研究结果，一个婴儿将是女孩的概率是 ，是指出生一个新婴儿，这个婴儿将是女孩的可能性是 所以甲获胜的频率为＝0.65， 由题意可知，每名调查者从袋中抽到白球或黑球的概率均为0.5.所以100人中回答问题一的人数为100×0.5＝50，则另外50人回答了问题二.在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率为，即摸到黑球且回答“是”的人数为50×＝25.则摸到白球且回答“是”的人数为52－25＝27，所以问题二回答“是”的百分比为＝0.54＝54%. 所以事件A的频率为＝0.41. 所以事件B的频率为＝0.75. 所以事件C的频率为＝0.04. $$