10.1.3 两角和与差的正切 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

10.1.3　两角和与差的正切 第10章　§10.1　两角和与差的三角函数 学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用. 导语 内容索引 一、两角和与差的正切公式 二、给值求值(角) 课时对点练 三、两角和与差的正切公式的综合应用 随堂演练 两角和与差的正切公式 一 问题1　根据两角和与差的正弦、余弦公式，如何求tan 15°的值？ 问题2　如何由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？ 问题3　如何由两角和的正切公式得到两角差的正切公式？ 提示　用－β代替tan(α＋β)中的β即可， 两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切公式 tan(α＋β) ＝____________ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切公式 tan(α－β) ＝____________ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 知识梳理 8 注意点： (1)T(α±β)公式适用的条件应满足tan α，tan β，tan(α±β)有意义. (2)公式的结构特征：右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和. (3)符号规律：分子同，分母反. 知识梳理 9 10 11 12 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式. T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换. (2)注意隐含条件，能缩小角的范围. 反思感悟 13 √ 14 (2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝_____. 2 (1＋tan 18°)(1＋tan 27°) ＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27° ＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝2. 15 二 给值求值(角) √ 延伸探究　在本例(2)的条件下，求2α－β. 由本例(2)知，tan(2α－β)＝1. 2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0). (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解. (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小. 反思感悟 21 (2)α＋β的值. 三 两角和与差的正切公式的综合应用 因为tan α＝2， 所以左边＝右边， 所以原等式成立. (2)如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值. 由AB＋BP＝PD， 设∠APB＝α，∠DPC＝β， 又∠APD＋α＋β＝π， 当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan αtan β”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围. 反思感悟 30 跟踪训练3　(1)如图，在某开发区内新建两栋高楼AB，CD(AC为水平地面)，P是AC的中点，在点P处测得两楼顶的张角∠BPD＝45°，AB＝AC＝50 m.试求楼CD的高度(测量仪器的高度不计). 如图，设∠APB＝α，∠CPD＝β， 则α＋β＋45°＝180°，β＝135°－α. ∴在Rt△DCP中，CD＝PCtan β＝25×3＝75. 即楼CD的高度为75 m. 32 左边＝tan Atan B＋tan A＋tan B ＝tan Atan B＋tan(A＋B)(1－tan Atan B) ＝tan Atan B＋1－tan Atan B＝1＝右边. ∴原等式成立. 33 1.知识清单： (1)两角和与差的正切公式的推导. (2)公式的正用、逆用、变形用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：公式中加减符号易记错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 3 4 课时对点练 五 原式＝tan(180°＋75°)＝tan 75° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两个实数根，则tan(α＋β)的值为 A.－3 B.－1 C.1 D.3 由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵28°＋32°＝60°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是 A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又C∈(0，π)，∴C为钝角. ∴△ABC为钝角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －7 －45° 又0°<α<90°，90°<β<180°， 所以－180°<α－β<0°， 所以α－β＝－45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又0<B＋C<π， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又0<A＋B<π， 由①②及A＋B＋C＝π， ∴△ABC为等腰三角形. 11.(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为 A.16 B.8 C.4 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°， 利用两角和的正切公式及其变形可得 (1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2， (1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2， 故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝4. 12.在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝ ，tan2B＝tan Atan C，则B等于 A.30° B.45° C.120° D.60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由两角和的正切公式变形得 tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B) ＝tan(180°－C)(1－tan Atan B) ＝－tan C(1－tan Atan B) ＝－tan C＋tan Atan Btan C. 13.已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan2α＋tan2β的值为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为a2，大正方形的面积为25a2，直角三 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知小正方形的边长为a，大正方形的边长为5a，一个直角三角形的面积为 设直角三角形的直角边分别为x，y，且x<y， 则由对称性可得y＝x＋a， 可得x＝3a，y＝4a， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设方程的两根分别为x1，x2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝，tan β＝，∠COD＝α－β.能否求出tan(α－β)和tan(α＋β)的值？ 提示　先分别求出sin 15°和cos 15°，再由tan 15°＝即可求得. 提示　tan(α＋β)＝＝＝. 则tan(α－β)＝. 例1　化简求值： (1)； 原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－. (2)； 原式＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝1. (3)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°. ∵tan 60°＝＝， ∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝. 跟踪训练1　(1)化简等于 A. B. C.3 D.1 ＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝. 例2　(1)已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于 A. B. C. D. tan＝tan ＝＝＝. (2)已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求tan(2α－β)的值. ∵tan β＝－，tan(α－β)＝， ∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝， tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝＝1. 而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－. ∵tan α＝>0，tan β＝－<0，α，β∈(0，π)， ∴α∈，β∈，∴α－β∈(－π，0). 又∵tan(α－β)＝>0， ∴α－β∈， 跟踪训练2　已知tan α＝，tan β＝－2，且0<α<<β<π. 求：(1)tan(α－β)的值； tan(α－β)＝＝＝7. ∵tan(α＋β)＝＝＝－1， 且0<α<<β<π， ∴<α＋β<，∴α＋β＝. 例3　(1)已知tan α＝2，证明：sin2α＋sin αcos α＝－－. 所以左边＝＝＝＝. 右边＝－－＝－－ ＝－－tan＝－－tan ＝， 得a＋BP＝， 解得BP＝a，PC＝a， 则tan α＝＝，tan β＝＝， ∴tan(α＋β)＝＝－18， ∴tan∠APD＝tan＝－tan(α＋β)＝18. 依题意，得tan α＝＝＝2. ∴tan β＝tan(135°－α)＝＝＝3. (2)若A＋B＝，求证：tan Atan B＋tan A＋tan B＝1. ∵A＋B＝， ＝tan Atan B＋tan (1－tan Atan B) 原式＝tan(60°＋45°)＝＝＝－2－. 1.tan 105°等于 A.－2－ B.－2＋ C.2－ D.2＋ 2.已知sin α＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝－，则tan β的值为 A.－ B. C.－ D. ∴tan β＝tan[(α＋β)－α]＝ ＝＝－. ∵α为第二象限角，sin α＝， ∴cos α＝－，∴tan α＝－. 原式＝＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1. 3.计算＝_____. ∴cos B＝，∴tan B＝， ∴tan(A＋B)＝＝＝1. 又∵0<A＋B<π，∴A＋B＝. ∵B为锐角，sin B＝， 4.已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝_____. ＝tan(45°＋30°)＝＝＝＝2＋. 1.tan 255°等于 A.－2－ B.－2＋ C.2－ D.2＋ 所以tan(α＋β)＝＝＝－3. ∴tan 60°＝tan(28°＋32°)＝＝， 3.若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于 A.m B.(1－m) C.(m－1) D.(m＋1) ∴tan 28°＋tan 32°＝(1－m). 原式＝＝tan(45°＋21°)＝tan 66°. 4.与相等的是 A.tan 66° B.tan 24° C.tan 42° D.tan 21° 由题意知tan A＋tan B＝，tan Atan B＝， ∴tan(A＋B)＝＝， ∴tan C＝tan＝－tan(A＋B)＝－， 6.(多选)已知cos α＝－，则tan等于 A.－ B.－7 C. D.7 因为cos α＝－， 所以sin α＝±＝±， 所以tan α＝±. 当tan α＝时，tan＝＝； 当tan α＝－时，tan＝＝7. 7.已知tan α＝2，tan β＝－3，其中0°<α<90°，90°<β<180°，则＝_____，α－β＝______. 由题意得＝＝－7. tan(α－β)＝＝－1， 8.已知tan＝，tan＝－，则tan ＝______. tan ＝tan＝＝＝. 9.已知tan＝2，tan β＝. (1)求tan α的值； ∵tan＝2， ∴＝2， ∴＝2， 解得tan α＝. (2)求的值. 原式＝ ＝＝ ＝tan(β－α)＝＝＝. 10.在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状. 由tan B＋tan C＋tan Btan C＝得， tan(B＋C)＝＝＝， ∴B＋C＝， ① 又由tan A＋tan B＋1＝tan Atan B得， tan(A＋B)＝＝＝－. ∴A＋B＝， ② 解得B＝，C＝，A＝. 3 ∴tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝3. 又∵tan2B＝tan Atan C，∴tan3B＝3， ∴tan B＝，又0°<B<180°，∴B＝60°. 因为tan(α＋β)＝4，所以＝4， 又tan α＋tan β＝2，所以tan αtan β＝， 所以tan2α＋tan2β＝(tan α＋tan β)2－2tan αtan β＝22－2×＝3. 14.已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝_____. ∵tan(α＋β)＝＝＝， ∴tan(α＋β＋γ)＝＝＝1， ∵α，β，γ∈，∴α＋β∈(0，π)， 又tan(α＋β)＝>0， ∴α＋β∈，∴α＋β＋γ∈(0，π)， ∴α＋β＋γ＝. 角形中较小的锐角为θ，则tan等于 A.－ B.－ C.－ D.－ ＝6a2， ∴直角三角形的面积为S＝xy＝6a2， ∴tan θ＝＝， ∴tan＝＝＝＝－. 16.是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tan ·tan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由. 假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝，(2)tan tan β＝2－同时成立. 由(1)得＋β＝， 所以tan＝＝. 又tan tan β＝2－， 所以tan ＋tan β＝3－， 所以α＝，β＝， 所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝. 因此tan ，tan β可以看成方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根， 解得x1＝1，x2＝2－. 若tan ＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾， 所以tan ＝2－，tan β＝1， $$