10.1.2 两角和与差的正弦 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

10.1.2　两角和与差的正弦 第10章　§10.1　两角和与差的三角函数 学习目标 1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余弦间的关系. 2.会推导两角和与差的正弦公式，掌握公式的特征. 3.能运用公式进行三角函数的有关化简求值. 变脸是川剧艺术中塑造人物的一种特技，演员在熟练的动作之间，奇妙地变换着不同的脸谱，用以表现剧中人物的情绪、心理状态的突然变化，达到“相随心变”的艺术效果.那么在三角函数中，两角和与差的正弦、余弦、正切之间又有怎样的变换呢？ 导语 内容索引 一、两角和与差的正弦公式 二、给值(式)求值(角) 课时对点练 三、两角和与差的正弦、余弦公式的应用 随堂演练 两角和与差的正弦公式 一 问题1　如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？ ＝sin αcos β＋cos αsin β. 问题2　如何由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？ 提示　在两角和的正弦公式中，用－β代替β， 可以得到sin(α－β)＝sin[α＋(－β)] ＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β) ＝sin αcos β－cos αsin β. 两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝____________________ α，β∈R 两角差的正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝____________________ α，β∈R sin α·cos β＋cos αsin β sin α·cos β－cos αsin β 知识梳理 8 注意点： (1)公式中的α，β既可以是一个角，也可以是几个角的组合. (2)两角和与差的正弦公式可记忆为“正余余正，符号相同”. 知识梳理 9 例1　(1)化简：sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝_____； 10 (2)求值：sin 15°＋sin 75°＝______； 原式＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° 11 12 13 探究解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行局部的变形. (2)一般途径是将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，解题时要逆用或变形用公式. 反思感悟 14 跟踪训练1　(1)化简：sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝_____； 15 16 二 给值(式)求值(角) ∵α，β都是锐角， ∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) 又∵β为锐角， 又β<α， ∴sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) (1)给值(式)求值的策略 ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”或特殊角与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 反思感悟 24 (2)解决给值求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角的范围是(0，π)或(π，2π) 反思感悟 25 √ 27 三 两角和与差的正弦、余弦公式的应用 例3　已知f(x)＝sin 2x－cos 2x. (1)将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式； f(x)＝sin 2x－cos 2x 30 (2)求f(x)的最小正周期及最大值. 31 延伸探究　 1.(多选)在本例条件下，f(x)在下列区间上是单调递增的是 √ √ 32 经检验B，C正确. 33 2.在本例条件下，若方程f(x)＝m－1有解，求实数m的取值范围. 34 (1)对形如sin α±cos α， sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊角的关系，运用两角和或差的正弦、余弦公式化简为含一个三角函数式的形式，即y＝Asin(α＋φ)的形式. 反思感悟 35 反思感悟 36 √ 37 38 1.知识清单： (1)两角和与差的正弦公式. (2)给值(式)求值(角). (3)辅助角公式. 2.方法归纳：构造法、转化化归. 3.常见误区：求角或求值时易忽视角的范围. 课堂小结 随堂演练 四 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37° ＝sin(7°－37°)＝sin(－30°) 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 又根据两角和的正弦公式得 1 2 3 4 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 ∴sin α＝sin[(α－β)＋β] ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以f(x)为奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β＝______. 由已知得cos(α＋β)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ±1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝2sin(15°－45°) ＝2sin(－30°) ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)， 由已知可得sin(B＋C)＝2sin Ccos B， ∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Ccos B， ∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0， 即sin(B－C)＝0. ∵0<B<π，0<C<π， ∴－π<B－C<π， ∴B＝C，故△ABC为等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －2 14.已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， ∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1， ① cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0， ② ①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， 即2＋2sin(α＋β)＝1， 15.如图，在边长为1的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，且△PCQ的周长为2，则线段PQ的长度的最小值是________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则CP＝PQcos θ，CQ＝PQsin θ， 又△PCQ的周长为2， 即PQ＋PQcos θ＋PQsin θ＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　sin(α＋β)＝cos ＝cos ＝coscos β＋sinsin β 原式＝sin(20°＋40°)＝sin 60°＝. ＝2sin 45°cos 30°＝2××＝. (3)已知α，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则sin(α＋β)的值为_______，sin(α－β)的值为_______. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝. ∵α，β都是锐角，且sin α＝，sin β＝， ∴cos α＝＝＝， cos β＝＝＝. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝. 原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝. ＝＝ ＝＝＝2－. 2－ 原式＝ (2)求值：＝________. ＝ 例2　(1)已知α，β都是锐角，且sin α＝，sin(α－β)＝，求sin β 的值，并求出角β. ∴cos(α－β)＝＝， ∵α为锐角，且sin α＝， ∴cos α＝＝， ∴－<α－β<， 又sin(α－β)＝， ＝×－×＝. ∴β＝. (2)已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值. cos(α＋β)＝－＝－＝－. ∵<β<α<， ∴－<－β<－， ∴0<α－β<，π<α＋β<. ∴sin(α－β)＝＝＝， ＝×＋×＝－. 时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值. 跟踪训练2　(1)已知cos＝(α为锐角)，则sin α等于 A. B. C. D. ＝sincos －cossin ＝×－×＝. 因为α∈，cos＝>0， 所以α＋∈. 所以sin＝＝＝. 所以sin α＝sin ＝＝sin 30°＝. (2)化简：＝_____. 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝sin. 由f(x)＝sin得， f(x)的最小正周期T＝＝π， f(x)的最大值为. A. B. C. D. 由f(x)＝sin， 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 整理得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.a f(x)＝m－1，即sin＝m－1， 因为sin∈[－1,1]， 所以－≤m－1≤， 所以1－≤m≤1＋. (2)辅助角公式asin x＋bcos x＝·， 令cos φ＝，sin φ＝，则有asin x＋bcos x＝(cos φsin x ＋sin φcos x)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，φ为辅助角. 跟踪训练3　(1)已知sin＝，则cos x＋cos的值为 A.－ B. C.－ D. cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x ＝cos x＋sin x＝sin＝. ＝cos x－sin x＝＝cos， 当cos＝－1时，ymin＝－. 当cos＝1时，ymax＝. (2)函数y＝cos x＋cos的最小值是______，最大值是______. － y＝cos x＋cos xcos －sin xsin ＝－sin 30°＝－. 1.sin 7°cos 37°－sin 83°sin 37°的值为 A.－ B.－ C. D. 2.设α∈，若sin α＝，则2sin等于 A. B. C. D.2 所以2sin＝. 因为α∈，sin α＝， 所以cos α＝， sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝sin α＋cos α＝×＋×＝， 3.已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则sin α等于 A. B. C.－ D.－ ∴sin(α－β)＝＝. ∵－<β<0，sin β＝－， ∴cos β＝， ∵∴0<α－β<π. 又cos(α－β)＝， ＝×＋×＝. 因为x∈R，所以x－∈R， 所以f(x)∈[－，]. f(x)＝sin x－cos x＋sin x＝sin x－cos x 4.函数f(x)＝sin x－cos的值域为____________. [－，] ＝＝sin， 原式＝sin(21°－81°)＝sin(－60°)＝－sin 60°＝－. 1.化简sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于 A.－ B.－ C. D. 2.在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于 A. B.－ C. D.－ 因为cos B＝且0<B<π， 所以sin B＝. 又A＝， ＝sin cos B＋cos sin B＝×＋×＝. 3.(多选)cos α－sin α化简的结果可以是 A.cos B.sin C.cos D.sin 原式＝ ＝ ＝sin＝cos. 4.函数f(x)＝sin＋sin，则f(x)的奇偶性为 因为f(x)＝sin＋sin ＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝sin x. 5.已知cos＝－(α为锐角)，则sin α等于 A. B. C. D. ∵cos＝－(α为锐角)， ∴sin＝. ∴sin α＝sin ＝sin－cos ＝×－×＝. 6.(多选)已知α∈，下列各值中，sin α＋cos α可能取到的是 A. B. C. D. sin α＋cos α＝＝sin， 因为0<α<，所以<α＋<， 所以<sin≤1， 所以1<sin≤. 所以sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±＝±1. 8.形如的式子叫作行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式 的值是_______. ＝sin 15°－cos 15° ＝2 9.已知α∈. (1)若sin α＝，求sin的值； 因为sin α＝，α∈， 所以cos α＝， 所以sin＝sin α＋cos α＝＋＝. (2)若cos＝，求sin α的值. 因为α∈，所以α＋∈， 又因为cos＝，所以sin＝， 所以sin α＝sin ＝sin－cos ＝－＝. 10.若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<. (1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式； f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋··cos x ＝cos x＋sin x＝2 ＝2＝2sin. (2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值. ∵0≤x<，∴≤x＋<， 由x＋≤，得x≤. ∴f(x)在上是增函数，在上是减函数. ∴当x＝时，f(x)有最大值为2. 11.已知cos＋sin α＝，则sin的值为 A.－ B. C.－ D. ∵cos＋sin α＝， ∴cos αcos ＋sin αsin ＋sin α＝， ∴cos α＋sin α＝， 即cos α＋sin α＝， ∴sin＝. ∴sin＝－sin＝－. 13.计算：(tan 10°－)·＝______. 原式＝(tan 10°－tan 60°)· ＝· ＝· ＝－·＝－＝－2. － ∴sin(α＋β)＝－. 2－2 设∠CPQ＝θ， 则PQ＝＝， 则当θ＋＝，即θ＝时，PQ取得最小值， 即PQmin＝＝2－2. 由f ＝Asin＝Asin ＝A＝，得A＝3. 16.已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f ＝. (1)求A的值； (2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f . 由(1)得f(x)＝3sin， 因为f(θ)－f(－θ)＝， 所以3sin－3sin＝， 即3－3＝， 得sin θ＝， 因为θ∈，所以cos θ＝， 所以f ＝3sin＝3sin＝3cos θ＝. $$