第10章 复数 章末复习课 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

章末复习课 第十章　复　数 知识网络 内容索引 一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、复数的几何运算及几何意义 复数的概念 一 1.复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答. 2.掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养. 5 例1　已知z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使(1)z是纯虚数； ∴当m＝3时，z是纯虚数. 6 (2)z是实数； ∴当m＝－1或m＝－2时，z是实数. 7 (3)z在复平面内对应的点位于第二象限. 复数z在复平面内对应的点位于第二象限. 8 处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部. (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根. 反思感悟 9 A.0 B.－1 C.1 D.－2 √ 10 (2)已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为 A.4 B.－1 C.6 D.－1或6 √ 由题意可得z1＝z2， 即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i， 解得m＝－1. 11 二 复数的代数运算 1.复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主. 2.借助复数运算的学习，提升数学运算素养. 13 例2　计算： ＝－1＋i＋1＝i. 14 (2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i). 原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i＋25－25i＝47－39i. 15 进行复数代数运算的策略 (1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算. (2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式. 反思感悟 16 设z＝a＋bi(a，b∈R)， 所以b＝1，a2＋a＋1＝1， 所以a＝0或a＝－1. 故z＝i或z＝－1＋i. 跟踪训练2　(1)复数z满足z( ＋1)＝1＋i，其中i是虚数单位，则z等于 A.1＋i或－2＋i B.i或1＋i C.i或－1＋i D.－1－i或－2＋i √ 17 A.i B.－i C.1＋i D.1－i √ 因为(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i， ＝i50－i25＋1＝i2－i＋1＝－i. 18 三 复数的几何运算及几何意义 例3　已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最小值. 20 方法一　设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则|x＋yi＋2－2i|＝1， 即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1. ∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1. 由(y－2)2＝1－(x＋2)2≥0， 得x2＋4x＋3≤0. 21 ∴－3≤x≤－1， ∴16≤－10x＋6≤36. ∴当x＝－1时，|z－3－2i|的最小值为4. 22 方法二　由复数及其模的几何意义知： 满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1的复数z所对应的点的轨迹是以C(－2,2)为圆心，半径r＝1的圆， 而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是复数z对应的点与点A(3,2)的距离. 由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r. 所以|z－3－2i|的最小值为5－1＝4. 23 方法三　|z－3－2i|＝|(z＋2－2i)－5|≥||z＋2－2i|－|5||＝|1－5|＝4， 所以|z－3－2i|的最小值为4. 24 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与以原点为起点的向量 一一对应.|z1－z2|则是复平面内复数z1，z2对应的点Z1，Z2之间的距离. 反思感悟 25 跟踪训练3　已知复数z1＝i(1－i)3. (1)求|z1|； ∵z1＝i(1－i)3＝i[1－i3＋3(－i)2＋3(－i)]＝i(1＋i－3－3i)＝i(－2－2i)＝2－2i， 26 (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值. 如图所示， 由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是圆 心为O(0,0)，半径为1的圆， 而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2). 所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值. 27 由得m＝3. 由得m＝－1或m＝－2. 得－1<m<1－或1＋<m<3. ∴当－1<m<1－或1＋<m<3时， 由 跟踪训练1　(1)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则  z2＋2的虚部为 因为z＝1＋i，所以＝1－i， 所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0. 则 (1)＋2 024； ＝i(1＋i)＋1 012＝－1＋i＋(－i)1 012 ＋2 024＝＋1 012 由z(＋1)＝1＋i，得a2＋b2＋a＋bi＝1＋i， ＝(－2i)50＋(－2i)25＋1 (2)已知z＝－，则z100＋z50＋1的值为 所以z100＋z50＋1＝100＋50＋1 ＝100(1－i)100＋50(1－i)50＋1 ∴|z－3－2i|＝＝＝， ∴4≤≤6. 又|AC|＝＝5， ∴|z1|＝＝2. 由图知|z－z1|max＝|z1|＋r＝2＋1(r为圆O的半径). $$