11.1.4 棱锥与棱台 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

第十一章　§11.1　空间几何体 11.1.4　棱锥与棱台 学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱锥、棱台的结构特征. 2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系. 3.能运用棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算. 导语 前面学习了棱柱的结构特征，结合平时观察到的实物模型，你能不能说出棱锥、棱台具有的结构特征呢？ 内容索引 一、棱锥、棱台的结构特征 二、棱锥、棱台中的计算问题 课时对点练 三、棱锥、棱台的展开图及其计算 随堂演练 棱锥、棱台的结构特征 一 定义 图形及表示 相关概念 分类 如果一个多面体有一个面是____ ___，且其余各面是有一个公共顶点的 ，则称这个多面体为棱锥   如图可记作：棱锥P—ABCD或棱锥P－AC 底面： 面； 侧面：有公共顶点的各 ； 侧棱：相邻两侧面的 ； 顶点：各侧面的 ； 高：过棱锥的顶点作棱锥底面的 ，所得到的线段(或它的长度) 按底面的形状分：三棱锥、四棱锥…… 1.棱锥的结构特征 (1)棱锥的概念 多边 形 三角形 多边形 三角形 公共边 公共顶点 垂线 知识梳理 6 (2)特殊的棱锥 正棱锥 底面是 ， 顶点与底面中心的连线垂直于底面 正多边形 正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高. 知识梳理 7 定义 图形及表示 相关概念 分类 用__________ _____的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台   如图可记作：棱台ABCD—A1B1C1D1 上底面：平行于棱锥底面的 ； 下底面：原棱锥的 ； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻两侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点； 高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的 所得到的线段(或它的长度) 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 截得的棱台分别称为三棱台、四棱台、五棱台…… 2.棱台的结构特征 (1)棱台的结构特征 平行于棱锥 底面 截面 底面 垂线 知识梳理 8 (2)特殊的棱台 正棱台：由 截得的棱台. 正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高. 正棱锥 知识梳理 9 例1　 (1)有下列三种叙述： ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. 其中正确的有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 √ 10 ①中的平面不一定平行于底面，故①错； ②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错误. 11 由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故①正确； 四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作为底面的几何体都是三棱锥，故②正确； 棱锥的侧棱交于一点不平行，故③错误. (2)下列说法中，正确的是 ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行. A.① B.①② C.② D.③ √ 12 判断棱锥、棱台的方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法. (2)直接法   棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 反思感悟 13 跟踪训练1　下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是________. ①② 14 ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； ②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥. 15 二 棱锥、棱台中的计算问题 17 作出正三棱锥，如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D， 则点D为AB的中点. 在Rt△ADO中， 18 延伸探究 1.若本例条件不变，求正三棱锥的斜高. 作出正三棱锥，如图，取AB的中点E，连接SE， 则SE为该正三棱锥的斜高， 19 2.若将本例中“正三棱锥”改为“正四棱锥”，其他条件不变，求正四棱锥的高. 20 如图，在正四棱锥S－ABCD中， AB＝BC＝CD＝DA＝3， 21 (1)正棱锥中的计算问题要充分利用等腰三角形或三种直角三角形. (2)正棱台中的计算问题要充分利用等腰梯形或三种直角梯形.以正四棱锥(台)为例，如图所示. 反思感悟 22 跟踪训练2　已知正四棱台的上、下底面面积分别为4,16，一个侧面的面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长. 23 如图，设O′，O分别为上、下底面的中心，即OO′为正四棱台的高，E，F分别为B′C′，BC的中点， ∴EF⊥B′C′，即EF为斜高.由上底面面积为4， 上底面为正方形，可得B′C′＝2；同理，BC＝4. ∵四边形BCC′B′的面积为12， ∴EF＝4. 24 过B′作B′H⊥BC交BC于点H， 则BH＝BF－B′E＝2－1＝1，B′H＝EF＝4. 25 三 棱锥、棱台的展开图及其计算 例3　如图，在侧棱长为 的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值. 27 沿着侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图. 则AA′的长即为截面△AEF周长的最小值， 且∠AVA′＝3×40°＝120°. 故截面△AEF周长的最小值为6. 28 多面体展开图问题的解题策略 (1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图. (2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图. 反思感悟 29 跟踪训练3　如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？ 30 图①中，有5个平行四边 形，而且还有两个全等的 五边形，符合棱柱特点； 图②中，有5个三角形， 且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点； 图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开图还原为原几何体，如图所示： 所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台. 31 1.知识清单： (1)棱锥、棱台的结构特征. (2)有关棱锥、棱台的计算. 2.方法归纳：定义法、举反例法. 3.常见误区：棱锥、棱台的结构特征不清. 课堂小结 随堂演练 四 1.(多选)下面图形中，为棱锥的是 √ √ 1 2 3 4 √ 结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥. 2.(多选)观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是 A.①是棱柱 B.②不是棱锥 C.③不是棱锥 D.④是棱台 √ √ √ 1 2 3 4 3.底面边长为10、高为5的正四棱锥的侧面积是 1 2 3 4 √ 4.若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，高为3，则该棱台的侧棱长为________. 1 2 3 4 课时对点练 五 1.下列说法中正确的是 A.棱锥的侧面不一定是三角形 B.棱锥的各侧棱长一定相等 C.棱台的各侧棱的延长线交于一点 D.用一平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱长不一定相等，故A，B不正确； 棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，所以各条侧棱的延长线一定交于一点，故C正确； 只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到的两个几何体，才能一个是棱锥，一个是棱台，故D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，截去三棱 锥A′－ABC后，剩余部分是 A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱台 剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 √ 11 3.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为 A.80 B.240 C.320 D.640 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 由题意可知，该棱台的侧面为上、下底边长分别为4和16，腰长为10的等腰梯形， ∴该棱台的侧面积S＝3S′＝3×80＝240. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形由6个等边三角形构成.设每个等边三角形的边长为r，正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为l.由正六棱锥的高、底面等边三角形的边、侧棱构成直角三角形得h2＋r2＝l2，故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等. 4.一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是 A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 5.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 设正三棱锥的侧棱长为b，由条件知2b2＝a2， 6.关于下列三个说法： ①底面是等边三角形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的三棱锥是正三棱锥； ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形. 其中正确说法的序号是 A.③ B.①② C.①③ D.① √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 根据正三棱锥的定义可知，①正确； ②显然错误，比如当三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等时，该三棱锥侧面都是等腰三角形，但不是正三棱锥； 棱柱的侧面不一定全等，③错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 7.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 5 6 9 设AB＝a，则P，Q在底面的射影P′，Q′分别落在△ABC，△BCD的中心处， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 8.有一如图所示的“双塔”形立体建筑.已知P－ABC和Q－DBC是两个等高的正三棱锥，A，B，D，C在同一个平面内.要使塔尖P，Q之间的距离为30 m，则底边AB的长为________m. 如图，折起后形成的几何体是三棱锥. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 9.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. 问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？ 这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形. (2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 (3)每个面的三角形面积为多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 10.如图所示，正四棱台ABCD－A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，求正四棱台的表面积. ∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形， ∴上底面、下底面的面积分别是4,16. ∵侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 11.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，取四棱锥A1－ABCD，则此四棱锥的四个侧面全为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 综合运用 11 12.正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，连接AC，BD，交于O点，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P－ABCD的高，PE为斜高， 因为高与斜高的夹角为30°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 13.在正方体的8个顶点中，恰有四点为正四面体的顶点，那么正方体的表面积与这个正四面体表面积的比是 √ 如图所示， 设正方体棱长为a， 则正方体的表面积为6a2，正四面体的表面积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 14.已知棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高与截得棱台的原棱锥的高的比值是______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 设棱台的高为h，截得棱台的原棱锥的高为H，以四棱台为例，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 (1)该三棱台的斜高为________cm； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 拓广探究 11 设O1，O分别为正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示， 则D1D为该三棱台的斜高. 过D1作D1E⊥AD交AD于点E， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 在Rt△D1DE中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 (2)该三棱台的侧面积和表面积分别为________cm2和________cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4， 则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3. 16.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′. (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 (2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 如图所示， ∵小棱锥的底面边长为4 cm， ∴大棱锥的底面边长为8 cm， 又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 例2　正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高. 故SO＝＝3，故正三棱锥的高为3. 故AO＝＝.  AD＝，∠OAD＝30°， 在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝， 在Rt△SAE中，SA＝2，AE＝， 所以SE＝＝. 故正三棱锥的斜率高为. 在Rt△SOC中，SC＝2，  AC＝3，所以OC＝. 所以SO＝＝＝. 故正四棱锥的高为. ∴×(2＋4)·EF＝12， 在Rt△B′BH中，BB′＝＝. 同理，在直角梯形O′OFE中，计算出O′O＝. 综上，该正四棱台的侧棱长为，斜高为4，高为. 2 在△VAA′中，AA′＝2×2×＝6， 正四棱锥的斜高为＝5， 则其侧面积是4××10×5＝100. A.100 B.100 C.100 D.25 由题意，得正四棱台的对角面为等腰梯形，其中上底长为5，下底 长为7，高为3，则侧棱长为＝. 等腰梯形的高为＝8， ∴等腰梯形的面积S′＝×(4＋16)×8＝80，  A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 所以该三棱锥的表面积为a2＋3×××a2＝a2. 所以P′Q′＝a＋a＝30. 30 所以a＝30 m. S△PEF＝a2， S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2， S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2. ∴侧面的面积为×(2＋4)×＝3， ∴四棱台的表面积为4＋16＋3×4＝20＋12. ∴斜高为＝，  A.32 B.48 C.64 D. 所以OE＝PE，又OE＝AB＝2， 所以PE＝4，则S侧＝4××4×4＝32. A.2∶ B.∶ C.∶1 D.∶1 ＝4××(a)2×sin 60°＝2a2， 所以面积比为∶1. 所以＝＝，则2＝， 即2＝，解得＝. 由△SO1C1∽△SOC可得，＝， 15.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.则： 则O1O＝，连接A1O1并延长交B1C1于点D1，连接AO并延长交BC于点D， 则D1E＝O1O＝. 因为O1D1＝×3＝，OD＝×6＝， 所以DE＝OD－O1D1＝－＝. D1D＝＝＝(cm). 故该三棱台的斜高为 cm. S侧＝3××＝(cm2)， S表＝S侧＋S上＋S下＝＋×32＋×62＝(cm2)， 故该三棱台的侧面积为cm2，表面积为cm2. 设梯形ABB1A1的高为h′，则h′＝＝4(cm)， ∴S棱台侧＝6××4＝144(cm2)， ∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝(144＋120)cm2. $$