9.1.2 余弦定理 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

第九章　§9.1　正弦定理与余弦定理 9.1.2　余弦定理 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 3.能利用余弦定理解决有关三角形的恒等化简，证明及形状判断等问题. 导语 千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？ 内容索引 一、余弦定理的推导 二、已知两边及一角解三角形 课时对点练 三、已知三边解三角形 随堂演练 四、利用余弦定理判断三角形形状 余弦定理的推导 一 问题1　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c? 6 那么c＝a－b， ① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c＝|c|2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算. 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b) ＝a·a＋b·b－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cos C. 7 所以c2＝a2＋b2－2abcos C， 同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B. 8 问题2　在问题1的探究成果中，若A＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示　a2＝b2＋c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例. 9 1.余弦定理的公式表达形式：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2＝ ， b2＝ ， c2＝ . 2.余弦定理的文字语言叙述：三角形任何一边的平方，等于其他两边的________减去这两边与它们夹角余弦的 . b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C 平方和 积的2倍 知识梳理 10 注意点： (1)运用余弦定理时注意边角关系的对应. (2)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，都可以知三求一. (3)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理涉及的是边长的平方，求得的结果常有两个，因此，解题时需特别注意三角形的三边长所满足的条件. 知识梳理 11 二 已知两边及一角解三角形 13 14 方法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 即a2－9a＋18＝0， 解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝30°，C＝120°； ∴A＝90°，∴C＝60°. 15 ∴C＝60°或120°. 当C＝60°时，A＝90°， 当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3. 16 已知三角形的两边及一角解三角形 (1)已知三角形的两边及其夹角，先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理或余弦定理求解. (2)已知三角形的两边及一边的对角，可利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 反思感悟 17 由余弦定理， 因为b>a，所以B>A， 所以A为锐角，所以A＝30°. 18 三 已知三边解三角形 问题3　在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何解三角形？ 20 余弦定理的变形式 cos A＝____________， cos B＝____________， cos C＝____________. 知识梳理 21 例2　(1)在△ABC中，若a2＋b2＋ab＝c2，则角C＝______. 120° 由a2＋b2＋ab＝c2，得a2＋b2－c2＝－ab. 22 ∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°. 23 所以θ＝60°，故最大角与最小角之和为180°－60°＝120°. 24 已知三角形的三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦值，从而求出第一个角，再利用余弦定理或由求得的第一个角利用正弦定理求出第二个角，最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. (2)利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角. 反思感悟 25 ∵a>c>b，∴A为最大角. 跟踪训练2　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小. 又∵0°<A<180°，∴A＝120°， ∴最大角A为120°. 26 四 利用余弦定理判断三角形形状 问题4　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？ 提示　A为直角⇔b2＋c2＝a2； A为锐角⇔b2＋c2>a2； A为钝角⇔b2＋c2<a2. 28 29 ∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形. 30 方法二　在△ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理， 得b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. ∵B＝π－(A＋C)， ∴sin(A＋C)＝sin Ccos A， 31 ∴sin Acos C＝0. ∵A，C都是△ABC的内角， ∴sin A≠0. ∴△ABC是直角三角形. 32 (1)利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔b2＋c2＝a2或a2＋b2＝c2或a2＋c2＝b2； ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2； ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2； ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝ 反思感悟 33 在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc， 所以由余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc， 所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0， 所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形. 跟踪训练3　在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 √ 34 1.知识清单： (1)余弦定理. (2)余弦定理解决的两类问题. (3)余弦定理的简单应用. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：易忽略三角形中的隐含条件. 课堂小结 随堂演练 五 1.在△ABC中，a∶b∶c＝2∶4∶5，则△ABC是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 √ 因为a∶b∶c＝2∶4∶5， 所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0). 所以C为钝角，从而△ABC为钝角三角形. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 因为三角形为钝角三角形， 所以a2＋(2a－1)2<(2a＋1)2，解得0<a<8， 又因为a＋2a－1>2a＋1， 所以a>2，所以2<a<8. 1 2 3 4 3.设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________. (2,8) 1 2 3 4 1 2 3 4 ∴在△ABD中， 有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD， 课时对点练 六 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 ∵C为三角形的内角， ∴可得C∈(0，π)， ∴c为最小边，可得C为最小角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵b2＝ac，c＝2a， ∴b2＝2a2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 √ 11 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， √ 即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.因为b<c，所以b＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 5.若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别是a，b，c. 由sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，可得a∶b∶c＝5∶11∶13. 设a＝5t(t>0)，则b＝11t，c＝13t，则C为最大角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 则C为钝角，所以△ABC为钝角三角形. 6.某地需要建设临时医院，该医院占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400 m的等腰三角形组成的图形(如图所示)，为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 √ 11 设等腰三角形的顶角为α，由三角形的面积公式，得四个等腰三角形的面积和为4× ×400×400sin α＝320 000sin α， 由余弦定理可得正方形边长为 故正方形面积为160 000(2－2cos α)＝320 000(1－cos α)， 所以所求占地面积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 由题意得a＋b＝5，ab＝2. 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19， 7.在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，则a＋b＝________，若C＝60°，则边c＝________. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 因为△ABC为锐角三角形， 所以A＝60°， 又BC2＝AB2＋AC2－2·AB·ACcos A， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 9.在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理， 整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0. 因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2， 故△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 由ccos B＝bcos C，结合正弦定理得sin Ccos B＝sin Bcos C， 故sin(B－C)＝0，又B，C∈(0，π). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 综合运用 √ 11 设内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 又∵0°<A<180°， ∴A＝150°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 √ 11 √ ∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝3b2， ① 联立①②，可得2a2－5ac＋2c2＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为 √ 由余弦定理b2＋c2－a2＝2bccos A及a＝1， 得b2＋c2－1＝2bccos A. 即sin A＝cos A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 14.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若m＝(bsin B－asin A，c－b)，n＝(1，sin C)且m⊥n，则角A的大小为______；若a＝7， b＋c＝8，则△ABC的面积是________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 由m⊥n， 得(bsin B－asin A)·1＋(c－b)·sin C＝0， 化简得b2＋c2－a2＝bc， 当a＝7，b＋c＝8时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 得bc＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 15.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶ (a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是 A.sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 拓广探究 11 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11， 解得a＝4x，b＝5x，c＝6x，所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，所以A正确； 由上可知c边最大，所以三角形的内角中C最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 所以C为锐角，所以B错误； 由上可知a边最小，所以三角形的内角中A最小， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 所以cos 2A＝cos C， 所以2A＝C，所以C正确； (1)求角C的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 ∵(a＋b)2－c2＝4，∴a2＋b2－c2＋2ab＝4. 由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 提示　如图，设＝a，＝b，＝c， 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3， 所以a＝. 例1　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a； (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，角C和边a. 得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°， 当a＝6时，由正弦定理，得sin A＝＝＝1， 方法二　由b<c，B＝30°，b>csin 30°＝3×＝知本题有两解. 由正弦定理，得sin C＝＝＝， 由勾股定理，得a＝＝＝6； 由正弦定理，得sin A＝＝， 跟踪训练1　在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求A. 得c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4， 所以c＝－. 提示　cos A＝， cos B＝， cos C＝. 由余弦定理，得cos C＝＝＝－，故C＝120°. 由a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)， 由余弦定理，得cos A＝＝＝，∴A＝45°. cos B＝＝＝， (2)在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求各内角的度数. 延伸探究　本例(2)中，将条件变为“三角形的三条边长分别为2，，＋1”，求其最大角与最小角之和. 因为＋1>>2，所以最大角与最小角所对的边分别为＋1,2， 设长为的边所对的角为θ， 由余弦定理，得cos θ＝＝， 由余弦定理，得cos A＝＝＝－. 例3　在△ABC中，已知cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状. 方法一　在△ABC中，由cos2＝， 得＝，∴cos A＝. 根据余弦定理，得＝. 由cos2＝知，cos A＝. ∴cos A＝，即sin B＝sin Ccos A. ∴cos C＝0，∴C＝. . 因为c最大，cos C＝<0， ∴cos B＝＝＝， 又B为△ABC的内角，∴B＝. ∵a2－b2＋c2＝ac， 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ ac，则角B为 A. B.　 C.或 D.或 因为2a－1>0，所以a>，最大边为2a＋1. 4.如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________. ∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3， ∴BD＝. ∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝， 1.在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则最小角为 A. B. C. D. 由余弦定理，得cos C＝＝＝， ∴C＝，即△ABC的最小角为. ∵在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝， 2.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于 A. B. C. D. ∴cos B＝＝＝. 3.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，且b<c，则b等于 A.3 B.2 C.2 D. 所以22＝b2＋(2)2－2×b×2×， 4.在△ABC中，已知AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为 A. B. C. D.3 如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝，AC＝4. 因为cos A＝＝， 所以sin A＝.故BD＝AB·sin A＝3×＝. 由余弦定理得cos C＝ ＝＝－<0， A. B.　 C. D. ＝400， 320 000(1－cos α＋sin α)＝320 000， 所以当α－＝，即α＝时， 占地面积最大，此时底角为＝. 所以c＝. 8.在锐角三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，若△ABC的面积为3，则BC的长是________. 所以sin A＝. 由题可知S△ABC＝AB·AC·sin A＝3， 所以BC＝. 得a·＋a·＝b＋c， 即＋＝b＋c， 10.在△ABC中，若ccos B＝bcos C，且cos A＝，求sin B的值. 易知B＝C，故b＝c，因为cos A＝， 得3a2＝2b2，所以a＝b. 所以cos A＝＝＝， 又B∈(0，π)，故sin B＝. 所以cos B＝＝＝， 11.在△ABC中，若满足sin2A＝sin2B＋sin B·sin C＋sin2C，则A等于 A.30° B.60° C.120° D.150° ∵sin2A＝sin2B＋sin B·sin C＋sin2C， ∴由正弦定理得a2＝b2＋c2＋bc， ∴cos A＝＝－， 12.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足B＝，a＋c＝b，则等于 A.2 B.3 C. D. 解得＝2或＝. 即22－5＋2＝0， ∵B＝，a＋c＝b， 由余弦定理可得a2＋c2－2accos ＝b2， ② A.4π B.2π C.π D. 所以4×bcsin A＝2bccos A， 因为A∈(0，π)，所以A＝. 因为S＝bcsin A，且4S＝b2＋c2－1， 解得R＝. 所以△ABC外接圆的面积为. 由正弦定理得＝＝2R， 所以cos A＝＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝. 由cos A＝＝⇒＝＝， 所以S△ABC＝bcsin A＝×5×＝. D.若c＝6，则△ABC外接圆的半径为 所以可设x>0， 又cos C＝＝＝>0， 又cos A＝＝＝， 所以cos 2A＝2cos2A－1＝， 由三角形中C最大且C为锐角可得2A∈，C∈， 由正弦定理得2R＝，又sin C＝＝， 所以2R＝，解得R＝，所以D正确. 16.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且1＋＝. ∵sin A≠0，sin B≠0，∴cos C＝. ∵C∈(0，π)，∴C＝. 由正弦定理可知＝， ∴1＋＝1＋＝ ＝＝， 即＝. ∴－3a＝a2－3a＝2－4， 当a＝时，min＝－4. ∴3ab＝4，∴＝， (2)若(a＋b)2－c2＝4，求－3a的最小值. $$