9.1.1.2 正弦定理(2) （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

第2课时　正弦定理(二) 第九章　9.1.1　正弦定理 学习目标 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题. 2.能根据条件判断三角形解的个数和形状. 3.能利用正弦定理、三角恒等变换求解或证明有关问题. 内容索引 一、三角形解的个数的判断 二、利用正弦定理判断三角形的形状 课时对点练 三、利用正弦定理证明有关问题 随堂演练 三角形解的个数的判断 一 问题1　已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，三角形的解是否唯一确定？ 提示　三角形被唯一确定，有唯一解. 问题2　已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，三角形的解是否唯一确定？ 提示　三角形不能被唯一确定，可能出现两解的情况. 现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明. (1)代数角度： 知识梳理 6 (2)几何角度：   图形 关系式 解的个数 A为锐角   ①a＝bsin A； ②a≥b 一解 知识梳理 7 A为锐角   bsin A<a<b 两解   a<bsin A 无解 知识梳理 8 A为钝角或直角   a>b 一解   a≤b 无解 知识梳理 9 例1　已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，若有解，则解三角形. (1)a＝10，b＝20，A＝80°； a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°， ∴a<bsin A，∴本题无解. 10 11 ∵bsin A＝6sin 30°＝3，∴a>bsin A， 即bsin A<a<b，∴本题有两解. 又∵0°<B<150°， ∴B＝60°或B＝120°. 12 13 判断三角形解的情况 先判断角，若有一个为钝角，则有一解或无解；若无钝角，则有一解、两解或无解，然后再由大边对大角来具体判断解的情况. 反思感悟 14 跟踪训练1　根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解： 15 方法一　∵A>90°且a>b， ∴有一解，即这样的三角形是唯一的. ∵A>B，∴B＝45°. ∴有一解，即这样的三角形是唯一的. 16 ∴b<asin B，无解， 即不存在这样的三角形. ∴无解，即不存在这样的三角形. (2)a＝60，b＝48，B＝60°； 17 方法一　∵a＝7，b＝5，A＝80°， ∴a>b，有一解，即这样的三角形是唯一的. 又∵b<a，∴B<80°， ∴有一解，即这样的三角形是唯一的. (3)a＝7，b＝5，A＝80°； 18 ∴bsin A<a<b，有两解，即符合条件的三角形有两个. 又b>a，∴B>A， ∴B有一锐角值和一钝角值， 即有两解，即符合条件的三角形有两个. (4)a＝14，b＝16，A＝45°. 19 二 利用正弦定理判断三角形的形状 利用正弦定理判断三角形的形状求解证明有关问题，常用到如下变形式： (1)sin A∶sin B∶sin C＝__________. (2)a＝2Rsin A，b＝ ，c＝ . a∶b∶c 2Rsin B 2Rsin C 知识梳理 21 由正弦定理得，acos B＝bcos A⇒sin Acos B＝sin Bcos A⇒sin(A－B)＝0，由于－π<A－B<π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形. 例2　 (1)已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 √ 22 (2)在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状. 23 ∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴a2＝b2＋c2，∴A是直角. ∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C， ∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin B·cos C， ∴sin(B－C)＝0. 又－90°＜B－C＜90°， ∴B－C＝0，∴B＝C， ∴△ABC是等腰直角三角形. 24 判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状. (2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解. 反思感悟 25 跟踪训练2　(1)在△ABC中，已知3b＝ 且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 √ 26 又角A是锐角，所以A＝60°. 又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角， 所以B＝C. 故△ABC为等边三角形. 27 (2)在△ABC中，已知2acos B＝c，sin Asin B(2－cos C)＝ 则△ABC为 A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角非等边三角形 D.钝角三角形 √ 28 由正弦定理，得2sin Acos B＝sin C， 在△ABC中，A＋B＋C＝π， ∴sin C＝sin(A＋B)， ∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B， 整理得sin Acos B＝cos Asin B， ∴tan A＝tan B，又A，B∈(0，π)，∴A＝B. 29 30 ∴△ABC为等腰直角三角形. 31 三 利用正弦定理证明有关问题 33 ∴原等式成立. 34 对于三角形中含有边角关系的证明问题，往往利用正弦定理实现边与角的转化，有时角化边，有时边化角，再利用三角恒等变换，使问题得以解决. 反思感悟 35 所以等式成立. 36 1.知识清单： (1)三角形解的个数的判断. (2)利用正弦定理判断三角形的形状. (3)正弦定理在有关证明中的应用. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现非等价变形. 课堂小结 随堂演练 四 1.在△ABC中，若sin A＝sin C，则△ABC是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 √ 1 2 3 4 由sin A＝sin C及正弦定理，知a＝c， 故△ABC为等腰三角形. 2.在△ABC中，A＝60°，a＝ ，b＝4，则满足条件的△ABC A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 √ ∴角B不存在，即三角形无解. 1 2 3 4 3.在△ABC中，已知sin B＝2sin C，BC＝6，角A的内角平分线交BC于点D，则BD＝________. 1 2 3 4 2 1 2 3 4 60°或120° ∵b>a，∴B>A，且0°<B<180°， ∴B＝60°或B＝120°. 课时对点练 五 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bcos A＝acos B，则三角形的形状为 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 √ 由正弦定理化简得sin Bcos A＝sin Acos B，即sin Acos B－cos Asin B＝sin(A－B)＝0，因为A，B都为三角形内角，所以A－B＝0， 即A＝B，则该三角形为等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.(多选)下列条件中可以使△ABC有两个解的是 A.b＝3，c＝4，B＝30° B.a＝5，b＝8，A＝30° D.c＝9，b＝12，C＝60° √ √ 对于A，∵csin 30°＝2，∴2<b＝3<4， 即csin B<b<c， ∴有两解，同理可得B有两解； C有一解； D无解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°， 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于 A.3∶4∶5 B.5∶4∶3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为△ABC仅有一解， 5.已知在△ABC中，A＝45°，a＝1.若△ABC仅有一解，则b的取值范围为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 已知△ABC中，A＝45°，a＝1，则过点C作AB边的垂线(图略)， 6.(多选)下列说法正确的是 A.在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B C.在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，因此A>B是sin A>sin B的充要条件，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a>b，所以A>B， 则角B只能是锐角，只能有一个解. 7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝ b＝4，a＝5，则满足条件的三角形有______个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 ∴sin2C－sin2A＝sin2B，结合正弦定理得c2＝a2＋b2， ∴△ABC为直角三角形. 8.在△ABC中，lg(sin A＋sin C)＝2lg sin B－lg(sin C－sin A)，则此三角形的形状是____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以sin B－sin A＝sin Ccos A－sin Ccos B， 所以sin(A＋C)－sin(B＋C)＝sin Ccos A－sin Ccos B， 则sin Acos C－sin Bcos C＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当cos C≠0时，有sin A＝sin B. 因为0<A<π，0<B<π，所以A＝B. 故△ABC为等腰三角形或直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在△ABC中，求证：a2sin 2B＋b2sin 2A＝2absin C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则a＝ksin A，b＝ksin B， ∴左边＝k2sin2A·sin 2B＋k2sin2B·sin 2A ＝2k2sin A·sin B·(sin A·cos B＋sin B·cos A) ＝2k2sin A·sin B·sin(A＋B). 又∵在△ABC中，A＋B＝π－C， ∴左边＝2(ksin A)(ksin B)·sin C＝2ab·sin C＝右边， 即a2sin 2B＋b2sin 2A＝2absin C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.等边三角形 B.有一内角是30°的直角三角形 C.等腰直角三角形 D.有一内角是30°的等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ ∴sin B＝cos B，sin C＝cos C， ∴△ABC是等腰直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为( ＋1)∶2，则最大 角为 A.45° B.60° C.75° D.90° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设C为最大角，则A为最小角，∴A＋C＝120°， 又∵A为锐角，∴A＝45°，C＝75°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在△ABC中，若B＝30°，AB＝ AC＝2，则AB边上的高是______，S△ABC＝__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1或2 当C＝120°时，A＝30°，AB边上的高为2sin 30°＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°， c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A>B.则下列三个不等式中成立的是________.(填序号) ①sin A>sin B； ②cos A<cos B； ③sin A＋sin B>cos A＋cos B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 ①②③ 同理sin B>cos A，故③成立. A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，故①成立； 函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减， ∵A>B，∴cos A<cos B，故②成立； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.在①b＝ ②a＝ccos B；③asin C＝1这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由. 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 sin B－sin(A－C)＝ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A＋B＋C＝π， 所以sin B＝sin(A＋C)， 所以sin B－sin(A－C) ＝(sin Acos C＋cos Asin C)－(sin Acos C－cos Asin C) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为C∈(0，π)， 若选①，由正弦定理得， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以a＝c＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选②，由正弦定理， 得sin A＝sin Ccos B， 因为A＋B＋C＝π， 所以sin A＝sin(C＋B)＝sin Ccos B＋cos Csin B， 所以cos Csin B＝0，又B∈(0，π)， 所以sin B≠0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选③，由正弦定理， 得csin A＝asin C＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以这样的三角形不存在. 由正弦定理得sin B＝， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解. ②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解. ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2. ∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10>10， (2)a＝2，b＝6，A＝30°. a＝2，b＝6，a<b，A＝30°<90°， 由正弦定理得sin B＝＝＝， 当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝4； 当B＝120°时，C＝30°，c＝＝＝2. ∴当B＝60°时，C＝90°，c＝4； 当B＝120°时，C＝30°，c＝2. (1)a＝，b＝，A＝120°； 得sin B＝＝＝， 方法二　∵A＝120°，由＝， 方法二　由＝， 方法一　∵asin B＝60×＝30，b＝48， 得sin A＝＝＝>1，与0<sin A≤1矛盾， 方法二　由＝， 得sin B＝＝<1. 方法一　∵bsin A＝16×＝8，a＝14， 方法二　由＝，得sin B＝<1. (3)＝＝＝. (4)sin A＝，sin B＝_____，sin C＝_____. 根据正弦定理，得＝＝， 2asin B， 由3b＝2asin B，得＝， 根据正弦定理，得＝，所以＝，即sin A＝. sin2＋， ∵sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋， ∴sin Asin B＝sin2＋， ∴sin Asin B＝·， ∴sin Asin B＝， ∴sin A＝sin B＝， ∴A＝B＝， 又A＋B＋C＝π，∴C＝， 例3　在△ABC中，求证：＝. ＝＝右边， ∵左边＝＝＝ ＝ ＝＝ ＝＝＝右边. 跟踪训练3　在△ABC中，求证：＝(C≠90°). 因为＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)， 所以左边＝＝ 由正弦定理得＝. ∴sin B＝>1， 又＝，sin B＝2sin C， 所以＝＝， 从而BD＝DC，即BD＝BC＝×6＝2. 因为AD为角平分线，所以由sin∠BAD＝sin∠CAD，得＝. 得sin B＝＝. 4.在△ABC中，a＝5，b＝5，A＝30°，则B＝_____________. 由正弦定理＝， 由正弦定理得sin A＝sin Bsin A， 又sin A≠0，故sin B＝. 2.在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin A，则sin B等于 A. B. C. D.－ C.c＝6，b＝3，B＝60° C.2∶∶1 D.1∶∶2 所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶ ∶2. 所以a＝b或a≥b>0，所以b＝a＝或0<b≤1. 长度可表示为bsin 45°＝b. A.{} B.(，＋∞) C.{}∪(0,1] D.{}∪(0,1) D.在△ABC中，＝ 对于A，由正弦定理＝＝＝2R可得，a∶b∶c＝2Rsin A∶ 2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确； 对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或  A＋B＝，故B错误； 对于D，由正弦定理＝＝＝2R， 可得右边＝＝2R＝左边，故D正确. 由正弦定理知sin B＝＝， ， ∵lg(sin A＋sin C)＝lg ， 9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若－＝－，试判断△ABC的形状. 由－＝－及正弦定理， 得－＝－， 则－＝. 当cos C＝0时，等式成立，此时C＝. 设＝＝k，且k≠0， 11.在△ABC中，若＝＝，则△ABC是 在△ABC中，由于＝＝，且＝＝， ∴B＝C＝， ∴A＝， ∴＝＝＝ ＝×＋＝＋， ∴＝1，即tan A＝1. 2， 或2 当C＝60°时，A＝90°，AB边上的高为2，S△ABC＝×2×2＝2； S△ABC＝×2×1＝. 由正弦定理得＝， 所以sin C＝＝＝，所以C＝60°或C＝120°. 在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理＝，得c＝. (，2) 若此三角形有两解，则必须满足的条件为c>b>csin B，即<b<2. 则sin A>sin，即sin A>cos B， 在锐角三角形中，∵A＋B>，∴0<－B<A<， 又函数y＝sin x在区间上单调递增， a； sin C，c＝3，________？ 所以sin C≠0，所以cos A＝. ＝2cos Asin C＝sin C. 所以b＝＝，S△ABC＝bcsin A＝××3×＝. sin B＝sin A＝， 又A∈(0，π)，所以A＝. 所以B＝或， 若B＝，则C＝π－A－B＝， 则C＝π－A－B＝， 若B＝， S△ABC＝acsin B＝×3×3×＝. 所以cos C＝0，C＝， 所以b＝ccos A＝， S△ABC＝bcsin A＝××3×＝. 与c＝3，sin A＝矛盾， $$