第10章 复数 章末检测试卷 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

章末检测试卷二(第十章) (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．设i是虚数单位，则复数i3－等于(　　) A．－i B．－3i C．i D．3i 答案　C 解析　i3－＝－i－＝－i＋2i＝i. 2．在复平面内，一个正方形的三个顶点分别对应的复数是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(　　) A．3＋i B．3－i C．1－3i D．－1＋3i 答案　D 解析　设第四个点对应的复数为a＋bi，则1＋2i＝a＋bi－(－2＋i)＝a＋2＋(b－1)i，即解得故第四个顶点对应的复数为－1＋3i. 3．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0(i是虚数单位)的复数z在复平面内所对应的点所在象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　由＝0，得z·2i－(－i)·(1＋i)＝0，则z＝＝＝－－i，所以复数z在复平面内所对应的点为，该点在第三象限． 4．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则ab的值是(　　) A．－15 B．－3 C．3 D．15 答案　B 解析　＝＝＝－1＋3i＝a＋bi，所以a＝－1，b＝3，所以ab＝－3. 5．若复数z满足|z＋3－4i|＝2，则z的最大值为(　　) A．9 B．81 C．7 D．49 答案　D 解析　由|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝2，得复数z在复平面内对应点的轨迹是以(－3,4)为圆心，半径为2的圆，如图，∴|z|max＝7，则z＝|z|2的最大值为49. 6．已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是(　　) A．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2 B．若z1＝1，则z1为实数 C．若z>0，则z2为纯虚数 D．若(z1－1)2＋(z2－1)2＝0，则z1＝z2＝1 答案　B 解析　选项A，当z1＝1，z2＝i时，|z1|＝|z2|，显然z1≠z2，错误； 选项B，若z1＝1，则z1的虚部为0，即z1为实数，正确； 选项C，当z2为非零实数时，z>0也成立，错误； 选项D，当z1＝i，z2＝－i时，(z1－1)2＋(z2－1)2＝－2i＋2i＝0也成立，错误． 7．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，i为虚数单位，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　因为z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i] ＝[m－2(m－1)]＋[2m＋(m－1)]i ＝(2－m)＋(3m－1)i， 所以2－m＝3m－1， 即m＝. 经检验，m＝能使2－m＝3m－1>0， 所以m＝满足题意． 8．在复平面内，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应向量(O为坐标原点)，设||＝r，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z＝r(cos θ＋isin θ)．法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，则(－1＋i)10等于(　　) A．1 024－1 024i B．－1 024＋1 024i C．512－512i D．－512＋512i 答案　D 解析　根据复数乘方公式zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)， 得(－1＋i)10＝10 ＝210 ＝1 024＝1 024 ＝－512＋512i. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是(　　) A．i＋i2＋i3＋i4＝0 B．3＋i>1＋i C．若复数z为纯虚数，则|z|2＝z2 D．复数－2－i的虚部为－1 答案　AD 解析　对于A，由虚数的运算性质，可得i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，所以A正确； 对于B，虚数不能比较大小，所以B不正确； 对于C，当z＝i时，|z|2＝1，z2＝－1，此时|z|2≠z2，所以C不正确； 对于D，根据复数的概念，可得复数－2－i的虚部为－1，所以D正确． 10．已知z1与z2是共轭复数(虚部均不为0)，下列四个结论中一定正确的是(　　) A．z<|z2|2 B．z1z2＝|z1z2| C．z1＋z2∈R D.∈R 答案　BC 解析　z1与z2是共轭复数，设z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R，b≠0，i为虚数单位)． z＝a2－b2＋2abi，|z2|2＝a2＋b2，虚数不能比较大小，因此A不正确； z1z2＝|z1z2|＝a2＋b2，因此B正确； z1＋z2＝2a∈R，因此C正确； ＝＝＝＋i不一定是实数，因此D不一定正确． 11．设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是(　　) A．设z＝，则|z|＝ B．若点Z的坐标为(－1,1)，则对应的点在第三象限 C．若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的充要条件是a＝0 D．若1≤|z|≤，则点Z的集合所构成的图形的面积为π 答案　ABD 解析　对于A，z＝＝＝－1＋2i，故|z|＝＝，故A正确； 对于B，点Z的坐标为(－1,1)，则z＝－1＋i，故＝－1－i，对应的点为(－1，－1)，在第三象限，故B正确； 对于C，z为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0，故C错误； 对于D,1≤|z|≤，故点Z的集合所构成的图形是半径为1与的圆所组成的圆环，故面积为π[()2－12]＝π，故D正确． 12．已知z＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，z1，z2∈C，定义：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z1，z2)＝||z1－z2||，则下列命题正确的是(　　) A．对任意z∈C，都有D(z)>0 B．若是z的共轭复数，则D()＝D(z)恒成立 C．若D(z1)＝D(z2)(z1，z2∈C)，则z1＝z2 D．对任意z1，z2，z3∈C，则D(z1，z3)≤D(z1，z2)＋D(z2，z3)恒成立 答案　BD 解析　对于A，当z＝0时，D(z)＝|0|＝|0|＋|0|＝0，故错误；对于B，设z＝a＋bi，则＝a－bi，则D()＝||||＝|a|＋|－b|＝|a|＋|b|＝||z||＝D(z)，故正确；对于C，当z1＝1＋i，z2＝1－i时，满足D(z1)＝D(z2)(z1，z2∈C)，但z1≠z2，故错误；对于D，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z3＝e＋fi，则D(z1，z2)＝||z1－z2||＝||(a－c)＋(b－d)i||＝|a－c|＋|b－d|，D(z2，z3)＝||z2－z3||＝||(c－e)＋(d－f)i||＝|c－e|＋|d－f|，D(z1，z3)＝||z1－z3||＝||(a－e)＋(b－f)i||＝|a－e|＋|b－f|，由|a－e|＝|(a－c)＋(c－e)|≤|a－c|＋|c－e|，|b－f|＝|(b－d)＋(d－f)|≤|b－d|＋|d－f|，得D(z1，z3)≤D(z1，z2)＋D(z2，z3)恒成立，故正确． 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数m＝________. 答案　2 解析　∵＝＝＋i是纯虚数，∴解得m＝2. 14．若复数＋b(b∈R)所对应的点在一次函数y＝－x＋1的图象上，则b的值为________． 答案　0 解析　复数＋b＝＋b＝＋b＝b＋i， 由题意得1＝－b＋1，解得b＝0. 15．已知复数z在复平面内对应的点位于第一象限，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下(i为虚数单位)，甲：z＋＝2；乙：z－＝2i；丙：z＝4；丁：＝.在甲、乙、丙、丁四人的陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z＝________. 答案　1＋i 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R，且a>0，b>0)，则＝a－bi， ∴z＋＝2a，z－＝2bi，z＝a2＋b2，＝.∵z＝4与＝不可能同时成立， ∴丙、丁的陈述不能同时正确； 若z－＝2i，则b2＝3>2，∴＝不成立， ∴乙、丁的陈述不能同时正确；当甲、乙的陈述正确时，a＝1，b＝，则丙的陈述也正确，不符合题意；当甲、丙的陈述正确时，a＝1，b＝，则乙的陈述也正确，不符合题意；当乙、丙的陈述正确时，b＝，a＝1，则甲的陈述也正确，不符合题意．∴甲、丁的陈述正确，此时a＝b＝1，此时乙、丙的陈述错误，符合题意，∴z＝1＋i. 16．设z1＝2x＋1＋(x2－3x＋2)i(i为虚数单位)，z2＝x2－2＋(x2＋x－6)i(x∈R)．若z1是纯虚数，则实数x的取值为________；若z1>z2，则实数x的取值为________． 答案　－　2 解析　由z1是纯虚数得 解得x＝－. 由z1>z2得 解得x＝2. 四、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)①复数z与复数2－12i相等；②复数z与复数12＋16i互为共轭复数；③复数z在复平面内对应的点在第一、三象限角平分线上．从这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答． 问题：若复数z＝(1＋i)m2＋(5－2i)m＋(6－15i)(m∈R)，________，求方程x2＋mx＋1＝0(x∈C)的根． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　z＝(1＋i)m2＋(5－2i)m＋(6－15i)＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i. 若选择条件①， 则解得m＝－1， ∴方程x2－x＋1＝0的根为x＝. 若选择条件②， 则解得m＝1， ∴方程x2＋x＋1＝0的根为x＝. 若选择条件③， 则m2＋5m＋6＝m2－2m－15，解得m＝－3， ∴方程x2－3x＋1＝0的根为x＝. 18．(12分)已知复数z1＝m－2i，复数z2＝1－ni，其中i是虚数单位，m，n为实数． (1)若m＝1，n＝－1，求|z1＋z2|的值； (2)若z1＝z，求m，n的值． 解　(1)当m＝1，n＝－1时，z1＝1－2i，z2＝1＋i， 所以z1＋z2＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i， 所以|z1＋z2|＝＝. (2)若z1＝z，则m－2i＝(1－ni)2， 化简得m－2i＝(1－n2)－2ni， 所以解得 19．(12分)已知m∈R，复数z＝(m－2)＋(m2－9)i. (1)若z对应的点在第一象限，求m的取值范围； (2)若z的共轭复数与复数＋5i相等，求m的值． 解　(1)由题意得解得m>3， 所以m的取值范围是(3，＋∞)． (2)因为z＝(m－2)＋(m2－9)i， 所以＝m－2＋(9－m2)i＝＋5i， 则解得m＝－2. 20．(12分)若z∈C,4z＋2＝3＋i，ω＝sin θ－icos θ(θ为实数)，i为虚数单位． (1)求复数z； (2)求|z－ω|的取值范围． 解　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi， ∴4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i， 即6a＋2bi＝3＋i，∴ 解得∴z＝＋i. (2)|z－ω|＝ ＝ ＝ ＝＝， ∵－1≤sin≤1， ∴0≤2－2sin≤4. ∴0≤|z－ω|≤2，故|z－ω|的取值范围是[0,2]． 21．(12分)若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由． 解　这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i. 理由如下： 设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)， z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋ ＝＋i. 因为z＋是实数， 所以b－＝0. 又因为b≠0， 所以a2＋b2＝5.① 又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数， 所以a＋3＋b＝0.② 由①②解得或 所以z＝－1－2i或z＝－2－i. 22．(12分)已知向量a＝(cos 2θ，－2)，b＝(1，－sin2θ)，m＝a·b＋2，在复平面内，复数z1＝(i为虚数单位)对应的点为Z1. (1)求|z1|； (2)Z为曲线|z－21|＝1(1为z1的共轭复数)上的动点，求Z与Z1之间的最小距离． 解　(1)a·b＝cos 2θ＋2sin2θ＝cos2θ－sin2θ＋2sin2θ＝cos2θ＋sin2θ＝1， 所以m＝a·b＋2＝1＋2＝3. 所以z1＝＝＝＝1＋2i. 所以|z1|＝|1＋2i|＝＝. (2)由(1)可得1＝1－2i，Z1(1,2)， 曲线|z－21|＝1，即|z－(2－4i)|＝1， 因此曲线是复平面内以Z0(2，－4)为圆心，1为半径的圆． 故Z0与Z1之间的距离为＝， 所以Z与Z1之间的最小距离为－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$