第10章 复数 章末复习课 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

一、复数的概念 1．复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等．有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答． 2．掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养． 例1　已知z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z在复平面内对应的点位于第二象限． 解　(1)由得m＝3. ∴当m＝3时，z是纯虚数． (2)由得m＝－1或m＝－2. ∴当m＝－1或m＝－2时，z是实数． (3)由 得－1<m<1－或1＋<m<3. ∴当－1<m<1－或1＋<m<3时，复数z在复平面内对应的点位于第二象限． 反思感悟　处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部． (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根． 跟踪训练1　(1)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为(　　) A．0 B．－1 C．1 D．－2 答案　A 解析　因为z＝1＋i，所以＝1－i， 所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0. (2)已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为(　　) A．4 B．－1 C．6 D．－1或6 答案　B 解析　由题意可得z1＝z2， 即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i， 则 解得m＝－1. 二、复数的代数运算 1．复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主． 2．借助复数运算的学习，提升数学运算素养． 例2　计算： (1)＋2 024； (2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)． 解　(1)＋2 024＝＋1 012 ＝i(1＋i)＋1 012＝－1＋i＋(－i)1 012 ＝－1＋i＋1＝i. (2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i＋25－25i＝47－39i. 反思感悟　进行复数代数运算的策略 (1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算． (2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式． 跟踪训练2　(1)复数z满足z(＋1)＝1＋i，其中i是虚数单位，则z等于(　　) A．1＋i或－2＋i B．i或1＋i C．i或－1＋i D．－1－i或－2＋i 答案　C 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)， 由z(＋1)＝1＋i，得a2＋b2＋a＋bi＝1＋i， 所以b＝1，a2＋a＋1＝1， 所以a＝0或a＝－1. 故z＝i或z＝－1＋i. (2)已知z＝－，则z100＋z50＋1的值为(　　) A．i B．－i C．1＋i D．1－i 答案　B 解析　因为(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i， 所以z100＋z50＋1＝100＋50＋1 ＝100(1－i)100＋50(1－i)50＋1 ＝(－2i)50＋(－2i)25＋1 ＝i50－i25＋1＝i2－i＋1＝－i. 三、复数的几何运算及几何意义 例3　已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最小值． 解　方法一　设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则|x＋yi＋2－2i|＝1， 即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1. ∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1. ∴|z－3－2i|＝＝＝， 由(y－2)2＝1－(x＋2)2≥0， 得x2＋4x＋3≤0. ∴－3≤x≤－1， ∴16≤－10x＋6≤36. ∴4≤≤6. ∴当x＝－1时，|z－3－2i|的最小值为4. 方法二　由复数及其模的几何意义知： 满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1的复数z所对应的点的轨迹是以C(－2,2)为圆心，半径r＝1的圆， 而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是复数z对应的点与点A(3,2)的距离． 由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r. 又|AC|＝＝5， 所以|z－3－2i|的最小值为5－1＝4. 方法三　|z－3－2i|＝|(z＋2－2i)－5| ≥||z＋2－2i|－|5||＝|1－5|＝4， 所以|z－3－2i|的最小值为4. 反思感悟　复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与以原点为起点的向量一一对应．|z1－z2|则是复平面内复数z1，z2对应的点Z1，Z2之间的距离． 跟踪训练3　已知复数z1＝i(1－i)3. (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值． 解　(1)∵z1＝i(1－i)3＝i[1－i3＋3(－i)2＋3(－i)]＝i(1＋i－3－3i)＝i(－2－2i)＝2－2i， ∴|z1|＝＝2. (2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是圆心为O(0,0)，半径为1的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r＝2＋1(r为圆O的半径)． 学科网（北京）股份有限公司 $$