第11章 立体几何初步 章末复习课 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

一、几何体的表面积与体积 1．主要考查多面体、旋转体的表面积，旋转体的侧面展开图，柱体、锥体、台体的体积，球的表面积和体积，不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解． 2．利用公式求解表面积、体积，提高数学运算素养． 例1　如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积． 解　如题图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥． 在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a， AB＝(2a－a)tan 60°＝a，DC＝＝2a. 又DD′＝DC＝2a， ∴S表＝S圆环＋S圆柱侧＋S圆C＋S圆锥侧 ＝[π·(2a)2－πa2]＋2π·2a·a＋π·(2a)2＋π·a·2a＝(9＋4)πa2. 反思感悟　空间几何体表面积、体积的求解策略 (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)求不规则几何体的表面积(体积)时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积(体积)，再通过求和或作差求得几何体的表面积(体积)，即切割法的应用． 跟踪训练1　如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P－ABCD的体积． 解　因为四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝， 所以HA＝HB＝. 因为∠APB＝∠ADB＝60°， 所以PA＝PB＝，HD＝HC＝tan 30°＝1. 可得PH＝＝， 等腰梯形ABCD的面积为S＝×AC×BD＝2＋. 所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×(2＋)×＝. 二、空间中的平行关系 1．空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在空间几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行． 2．通过线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化，提升逻辑推理和直观想象素养． 例2　已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD的棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证： (1)MN∥平面PAD； (2)MN∥PE. 证明　(1)如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ. ∵NQ是△PDC的中位线， ∴NQ∥PD. ∵NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴NQ∥平面PAD. ∵M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形， ∴MQ∥AD. ∵MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴MQ∥平面PAD. ∵MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ， ∴平面MNQ∥平面PAD. ∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD. (2)∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE， ∴MN∥PE. 反思感悟　线线平行、线面平行、面面平行间的关系 线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行任意转化，相互间的转化关系如下： 跟踪训练2　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由． 解　当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图，连接BD，与AC交于点O，连接FO. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是BD的中点，∴OF∥PD. 又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD， ∴OF∥平面PMD. 又MA∥PB且MA＝PB， ∴PF∥MA且PF＝MA， ∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM. 又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD， ∴AF∥平面PMD. 又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC， ∴平面AFC∥平面PMD. 三、空间中的垂直关系 1．主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化． 2．通过线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的转化，提升直观想象和逻辑推理素养． 例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F分别是CD，PC的中点，求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 证明　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，PA⊥AD， 所以PA⊥底面ABCD. (2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD. 又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，所以AP⊥CD. 又因为AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF，所以CD⊥EF. 又因为EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF， 所以CD⊥平面BEF. 又CD⊂平面PCD， 所以平面BEF⊥平面PCD. 反思感悟　线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化 跟踪训练3　如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4.求证： (1)AC⊥平面BCE； (2)AD⊥AE. 证明　(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4， 所以AC＝BC＝2， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC. 因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE， 所以BE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD， 所以BE⊥AC. 又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B， 所以AC⊥平面BCE. (2)因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以AF⊥AD. 又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD. 又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A， 所以AD⊥平面ABEF. 又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE. 四、空间角的求法 1．空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角． 2．通过找角、证角、求角，提升逻辑推理与数学运算素养． 例4　如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求： (1)OA与A′C′所成的角的大小； (2)OA与平面ABCD所成的角的正切值； (3)二面角B－AO－C的大小． 解　(1)∵A′C′∥AC， ∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角)． ∵AB⊥平面BCC′B′，OC⊂平面BCC′B′， ∴OC⊥AB， 又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO⊂平面ABO， ∴OC⊥平面ABO. 又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA. 在Rt△AOC中，OC＝，AC＝， ∴sin∠OAC＝＝， ∴∠OAC＝30°. 即OA与A′C′所成的角的大小为30°. (2)如图，作OE⊥BC于点E，连接AE. ∵平面BCC′B′⊥平面ABCD，平面BCC′B′∩平面ABCD＝BC，OE⊂平面BCC′B′， ∴OE⊥平面ABCD， ∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角． 在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝， ∴tan∠OAE＝＝. 即OA与平面ABCD所成的角的正切值为. (3)由(1)可知OC⊥平面ABO. 又∵OC⊂平面AOC，∴平面ABO⊥平面AOC. 即二面角B－AO－C的大小为90°. 反思感悟　(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)． (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)． (3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂面法；③垂线法． 跟踪训练4　(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝4，AB＝2，CC1＝2，E，F分别为AC，CC1的中点，则直线EF与平面AA1B1B所成的角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　A 解析　如图，连接AC1，取A1B1的中点O，连接C1O，AO， ∵C1A1＝C1B1，O为中点， ∴C1O⊥A1B1， 又AA1⊥平面A1B1C1，C1O⊂平面A1B1C1， ∴AA1⊥C1O， 又AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1⊂平面AA1B1B， ∴C1O⊥平面AA1B1B， 又EF∥AC1， ∴EF与平面AA1B1B所成的角，即为AC1与平面AA1B1B所成的角，即为∠C1AO， 在Rt△C1AO中，∠C1OA＝90°， C1O＝＝3，AC1＝＝6， ∴sin∠C1AO＝＝， ∴∠C1AO＝30°. (2)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD.若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－CD－B的大小． 解　∵AB⊥AD，CD∥AB， ∴CD⊥AD， 又PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. 又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， ∴CD⊥平面PAD， 又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD， ∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角． 又直线PB与CD所成的角为45°， ∴∠PBA＝45°，PA＝AB. ∴在Rt△PAD中，PA＝AD，∴∠PDA＝45°， 即二面角P－CD－B的大小为45°. 学科网（北京）股份有限公司 $$