11.1 培优课 简单几何体的外接球与内切球问题 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

培优课　简单几何体的外接球与内切球问题 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例)．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系． 一、直接法 例1　(1)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，一个底面周长为3，则这个球的体积为________． 答案　 解析　设正六棱柱的底面边长为x，高为h， 则有∴ ∴正六棱柱的底面外接圆的半径r＝， 球心到底面的距离d＝. ∴外接球的半径R＝＝1. ∴V球＝. (2)一个正方体的外接球、内切球及其本身的表面积之比为____________． 答案　3π∶π∶6 解析　设正方体的棱长为2a，外接球半径为R，内切球半径为r，则2R＝2a，R＝a,2r＝2a，r＝a.所以外接球、内切球及其本身的表面积之比为S1∶S2∶S3＝(4πR2)∶(4πr2)∶[6×(2a)2]＝[4π(a)2]∶(4πa2)∶(24a2)＝12π∶4π∶24＝3π∶π∶6. 反思感悟　(1)解决球的有关问题，常用公式R2＝r2＋d2求球的半径． (2)球与正方体的“切、接”问题 设正方体的棱长为a，球的半径为r， ①若球内切于正方体，则a＝2r； ②若正方体内接于球，则a＝2r； ③若球与正方体的各条棱相切，则a＝2r. 跟踪训练1　(1)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　S表＝4πR2＝6π，所以R＝. 设正四棱柱底面边长为x， 则2＋1＝R2， 解得x＝1.所以V正四棱柱＝1×1×2＝2. (2)若一个球与棱长为a的正方体的各条棱相切，则球的表面积为________． 答案　2πa2 解析　设球的半径为r， 则2r＝a，所以r＝， 所以球的表面积为4π×2＝2πa2. 二、构造法 例2　三棱锥A－BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝，则该三棱锥A－BCD外接球的体积为________． 答案　4π 解析　∵AB垂直于底面BCD，BC⊥CD， 构造如图所示的长方体， 则AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径．设外接球的半径为R. ∵VA－BCD＝××BC×CD×AB ＝×2×CD×2＝， ∴CD＝2，∴该长方体为正方体， ∴AD＝2，∴R＝， 故外接球的体积V＝πR3＝4π. 反思感悟　一般地，若三棱锥的三条侧棱两两垂直或相对棱相等等条件出现时，往往构造一个长方体，长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，其外接球半径为R，则有2R＝. 跟踪训练2　若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是________． 答案　6π 解析　根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， 把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，，的长方体，于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球． 设其外接球的半径为R， 则有(2R)2＝12＋()2＋()2＝6. 解得R2＝. 故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π. 三、寻求轴截面圆半径法 例3　正四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为________． 答案　 解析　如图，设正四棱锥的底面中心为O1， ∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O， ∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径． 在△ASC中，由SA＝SC＝，AC＝2， 得SA2＋SC2＝AC2. ∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形． ∴＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径． 故V球＝. 反思感悟　根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径．本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究．这种等价转化的数学思想方法值得我们学习． 跟踪训练3　在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比． 解　作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC′＝a，OC＝. 在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2， 即a2＋2＝R2，∴R＝a. 从而V半球＝πR3＝π3＝πa3， V正方体＝a3. 因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2. 四、确定球心位置法 例4　已知三棱锥A－BCD的侧棱长为2，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为________． 答案　 解析　如图所示，该三棱锥为正三棱锥，设O为底面BCD的中心，则AO垂直于底面BCD，设O′为外接球球心，则O′在线段AO上，令O′A＝O′D＝R，OD＝DE＝×2×＝2，AD＝2， ∴AO＝＝4，∴OO′＝4－R， 又OO′2＋OD2＝O′D2， ∴(4－R)2＋4＝R2，解得R＝， ∴V球＝πR3＝. 反思感悟　找几何体的外接球球心，即找点O，使点O与几何体各顶点的距离相等．正棱锥的外接球球心在垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点． 跟踪训练4　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝2，AC＝2，则该三棱锥外接球的表面积为________． 答案　16π 解析　取PC的中点O，连接OA，OB(图略)． ∵△PAC为直角三角形且∠PAC＝90°， ∴OA＝PC，同理OB＝PC， 即OA＝OB＝OP＝OC， 即点O到P，A，B，C四点的距离相等， ∴O为该三棱锥外接球的球心，PC＝＝4， ∴R＝PC＝2，∴S球＝4πR2＝16π. 1．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为(　　) A．6π B．12π C．8π D．16π 答案　D 解析　由圆锥的底面半径为，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为.设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R，则O1O＝|R－1|，R2＝O1O2＋r2＝(R－1)2＋()2，解得R＝2，所以球O的表面积为4πR2＝16π. 2．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和2，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成长方体，如图所示， 则该长方体的体对角线为＝4， 设长方体的外接球的半径为R，则2R＝4，R＝2， 所以该长方体的外接球的体积V＝πR3＝. 3．若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积与球的表面积的比值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设球的半径为r，则圆锥的高为3r，设圆锥的底面圆的半径为R，则圆锥的轴截面如图所示， 设球心为点O，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，OM＝r，AO＝AH－OH＝2r，sin∠OAM＝＝，∴∠OAM＝30°，∴R＝AH·tan∠OAM＝r，则AB＝2R＝2r， 则圆锥的侧面积为S1＝πR·2R＝π×r×2r＝6πr2，球O的表面积为S2＝4πr2， 因此，圆锥的侧面积与球的表面积的比值为＝＝. 4．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，且圆锥的母线与底面所成的角为60°，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则圆柱的高是其底面半径的(　　) A. 倍 B．2倍 C．2 倍 D．3倍 答案　B 解析　设圆柱的高为h，底面半径为r，圆柱的外接球的半径为R，则R2＝2＋r2. 因为圆锥的母线与底面所成的角为60°，所以圆锥的高为r，母线长l＝2r. 所以圆锥的侧面积为πlr＝2πr2， 所以4πR2＝4π＝4×2πr2，所以2＋r2＝2r2，所以h2＝4r2，所以＝2. 5．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为(　　) A. B. C. D．2π 答案　A 解析　设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝×3，解得r＝1，h＝＝2， 设内切球的半径为R，则＝， 解得R＝，∴V内切球＝πR3＝π×3＝. 6．(多选)正四棱锥P－ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P－ABCD的体积为(　　) A. B. C．2 D. 答案　AB 解析　因为正四棱锥P－ABCD的底面积为3， 所以底面边长为， 因为外接球的表面积为8π， 所以球的半径r＝.连接AC，BD交于点O(图略)． ①当球心在线段PO上时， 计算得PO＝r＋＝＋＝， 所以正四棱锥P－ABCD的体积为×3×＝； ②当球心在线段PO的延长线上时， 计算得PO＝r－＝－＝， 所以正四棱锥P－ABCD的体积为×3×＝. 7．已知正三棱锥S－ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________． 答案　64π 解析　取△ABC的中心为E，连接SE，记球心为O.如图， ∵在正三棱锥S－ABC中，底面边长为6，侧棱长为4， ∴BE＝××6＝2， ∴SE＝＝6.∵球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径， 设球O的半径为R，∴OB＝R，OE＝6－R. 在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2， 即R2＝12＋(6－R)2，解得R＝4， ∴该正三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝64π. 8.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G.若四面体A－EFG外接球的表面积为，则正方形ABCD的边长为________． 答案　 解析　由题意，折叠后的四面体A－EFG如图所示，设正方形边长为a，四面体A－EFG外接球的半径为r，则AG＝a，EG＝FG＝， 易知折叠后的四面体A－EFG中，GA，GE，GF两两垂直， 所以四面体A－EFG的外接球半径 r＝＝a，由4πr2＝，解得r＝，所以a＝r＝×＝. 9.如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．我们来重温这个伟大发现． (1)求圆柱的体积与球的体积之比； (2)求圆柱的表面积与球的表面积之比． 解　(1)设圆柱的高为h，底面半径为r，球的半径为R，由已知得h＝2R，r＝R， ∴V圆柱＝πr2h＝2πR3，V球＝πR3， ∴＝＝. (2)∵S圆柱＝S侧＋2S圆＝2πrh＋2πr2＝6πr2， S球＝4πr2，∴＝＝. 10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是长方形，底面周长为8，PD＝3，且PD是四棱锥的高，设AB＝x. (1)当x＝3时，求三棱锥A－PBC的体积； (2)求四棱锥P－ABCD外接球的表面积的最小值． 解　(1)当x＝3时，AB＝3，BC＝1， S△ABC＝AB·BC＝， 因此VA－PBC＝VP－ABC＝PD·S△ABC＝. (2)将四棱锥P－ABCD补成长方体ABCD－A1B1C1P， 则四棱锥P－ABCD的外接球和长方体ABCD－A1B1C1P的外接球相同． 因为AB＝x(0<x<4)，则BC＝4－x， 所以球的半径R＝＝＝， 当x＝2时，R取得最小值， 此时四棱锥P－ABCD的外接球的表面积的最小值为4πR2＝17π. 学科网（北京）股份有限公司 $$