11.1.5 旋转体 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

11.1.5　旋转体 [学习目标]　1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征. 3.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式． 导语 同学们听说过孔子六艺城吗？在孔子六艺城中有一个地方是数学爱好者必去的，那就是“数厅”，如图，以圆柱体为底托，巨型球体悬其之上，形成了国内少有的圆形建筑物，甚为壮观，你知道其中隐含的数学知识吗？ 一、旋转体的结构特征 知识梳理 1．圆柱、圆锥、圆台的概念及结构特征 类型 圆柱 圆锥 圆台 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的几何体 以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的几何体 以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的几何体 图形 结 构 特 征 表示 圆柱O1O 圆锥SO 圆台O1O 底面 两底面平行且半径相等的圆面 圆面 两底面是平行且半径不相等的圆面 母线 平行且相等 相交于顶点 延长线交于一点 平行于底面的截面 与两底面平行且半径相等的圆面 平行于底面且半径不相等的圆面 与两底面平行且半径不相等的圆面 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 注意点： 圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示． 2．球的概念及结构特征 球 图形及表示 定义：球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球 图中的球表示为球O 相关概念： 球心：形成球面的半圆的圆心； 半径：连接球面上一点和球心的线段； 直径：连接球面上两点且通过球心的线段； 大圆：球面被经过球心的平面截得的圆； 小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆 注意点： 球与球面是完全不同的两个概念，球是几何体，而球面是曲面，是球的表面．过两点的大圆中，若两点恰为球的直径端点，则这时大圆有无数个． 例1　(多选)下列命题正确的是(　　) A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 C．以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥 D．半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球 答案　CD 解析　对于A，以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴旋转一周而形成的几何体为圆台；对于B，它们的底面为圆面；CD正确． 反思感悟　(1)判断简单旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成； ②明确旋转轴是哪条直线． (2)简单旋转体的轴截面及其应用 ①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量； ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想． 跟踪训练1　(多选)下列命题正确的是(　　) A．圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个 B．用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆面 C．圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交 D．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 答案　AD 解析　B错误，截面可能是一个三角形；C错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；AD正确． 二、圆柱、圆锥、圆台的有关计算 知识梳理 圆柱、圆锥、圆台的有关计算公式 旋转体 图形 表面积公式 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 例2　一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求： (1)圆台的高； (2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长． 解　(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)． 由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm. 又由题意知，腰长为12 cm， 所以高AM＝＝3(cm)， 所以圆台的高为3 cm. (2)如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm， 则由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20. 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 反思感悟　用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构建相关几何变量的方程(组)而得解． 跟踪训练2　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长． 解　设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16， 可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作轴截面，如图所示． 则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm. 所以＝. 所以＝＝. 解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9 cm. 三、球的有关计算 知识梳理 1．球的截面的性质： (1)球的截面是一个圆面； (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面； (3)球半径R、截面圆半径r，则球心到截面的距离d＝. 2．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积为S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 例3　已知半径为25 cm的球的一个截面的面积是49π cm2，则球心到这个截面的距离为________cm. 答案　24 解析　设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d. ∵S截＝πr2＝49π， ∴r＝7 cm， ∴d＝＝＝24(cm)， 即球心到这个截面的距离为24 cm. 反思感悟　设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形或者用过球心和截面圆心的轴截面求解． 跟踪训练3　半径是13 cm的球面上有A，B，C三点，并且AB＝BC＝CA＝12 cm，试求球心到经过这三点的截面的距离． 解　设截面圆的圆心为O1，球的球心为O， 则OO1即为球心到截面的距离， 又O1是正三角形ABC的外心， 所以O1A＝×12＝4(cm)． 在Rt△OO1A中， 由勾股定理得 OO1＝＝＝11(cm)， 所以球心到经过A，B，C三点的截面的距离为11 cm. 1．知识清单： (1)圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征． (2)旋转体的有关计算公式． (3)旋转体的有关计算公式的应用． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体可能是不同的． 1．(多选)下列几何体中是旋转体的是(　　) A．圆柱 B．六棱锥 C．正方体 D．球体 答案　AD 解析　A中圆柱是旋转体；B中六棱锥是多面体；C中正方体是多面体；D中球体是旋转体． 2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是(　　) A．3π B．3π C．6π D．9π 答案　A 解析　根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π. 3．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为(　　) A．4 B．3 C．2 D．2 答案　D 解析　设圆台的母线长为l，高为h，上、下底面圆的半径分别为r，R，则满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，由题意知l＝5，R＝7，r＝6，求得h＝2，即两底面之间的距离为2. 4．湖面上浮着一个球(水下部分不超过一半)，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24 cm，深为8 cm的空穴，则球的半径为________ cm，球的表面积为 ________cm2. 答案　13　676π 解析　设球的半径为R cm， 由题意知，截面圆的半径r＝12 cm，设球心到截面的距离为d，则d＝(R－8)cm， 由R2＝r2＋d2，得R2＝144＋(R－8)2， 即208－16R＝0， 解得R＝13， 故S球＝4πR2＝676π(cm2)． 1．(多选)下列说法，正确的是(　　) A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的 答案　BD 2．若一圆柱的侧面积等于其表面积的，则该圆柱的母线长与底面半径之比为(　　) A．1∶1 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶1 答案　B 解析　设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积为S侧面积＝2πrl，表面积为S表＝2πr2＋2πrl. 由已知，2πrl＝(2πrl＋2πr2)，化简得l＝2r. 即圆柱的母线长与底面半径之比为l∶r＝2∶1. 3．已知圆台的上、下底面半径分别是2,5，且侧面积等于两底面面积之和，则该圆台的母线长为(　　) A. B. C．29 D. 答案　A 解析　设圆台的母线长为l， 则π×(2＋5)×l＝π×(22＋52)， 解得l＝，故选A. 4.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的侧面积为(　　) A．5π B．6π C．20π D．10π 答案　D 解析　用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的侧面积为2π×2×(2＋3)＝20π，所以该几何体的侧面积为10π，故选D. 5．已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为的扇形，则该圆锥的侧面积为(　　) A．π B．2π C．6π D．12π 答案　D 解析　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面展开图的弧长为2πr， 则由l·＝2πr，得l＝6r. 因为圆锥的表面积是14π， 所以πr2＋πr·6r＝14π，解得r2＝2， 所以圆锥的侧面积S＝6πr2＝12π. 6．(多选)已知等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为(　　) A.π B．(1＋)π C．2π D．(2＋)π 答案　AB 解析　如果三角形绕其直角边旋转，则形成圆锥，圆锥的底面半径为1，高为1，母线是直角三角形的斜边，所以母线长为，所以所形成的几何体的表面积是S＝π×1×＋π×12＝(＋1)π. 如果三角形绕其斜边旋转，则形成的是上、下两个同底的圆锥，圆锥的半径为，两个圆锥的母线都是该直角三角形的直角边，母线长是1，所以形成的几何体的表面积S＝2π××1＝π.综上，形成的几何体的表面积为(＋1)π或π. 7．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为________． 答案　12π 解析　设圆柱的轴截面的边长为x， 则由x2＝8，得x＝2， ∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×()2＋2π××2＝12π. 8．边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________． 答案　 解析　如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的，由题意可知GH＝5，GF1＝， 所以GE1＝＝. 所以从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是. 9．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积． 解　如图，轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°.在Rt△SOA中， AO＝SO·tan 30°＝(cm)． SA＝＝＝(cm)． 所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2)． 所以圆锥的母线长为 cm，圆锥的轴截面的面积为 cm2. 10．已知H是球O的直径AB上的点，AH∶HB＝1∶2，直径AB与平面α垂直，H为垂足，平面α截球O所得截面的面积为π，求球O的表面积． 解　如图所示，平面α截球O所得截面为圆面，圆心为H，设球O的半径为R， 则由AH∶HB＝1∶2，得AH＝，所以OH＝. 由圆H的面积为π，得圆H的半径为1， 所以2＋12＝R2，得R2＝， 所以球O的表面积为4πR2＝4π×＝. 11．正方体的表面积为54，则它的外接球的表面积为(　　) A．27π B. C．36π D. 答案　A 解析　设正方体的棱长为a， 则6a2＝54，∴a＝3. ∴其外接球的半径为R＝a＝. ∴其外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝27π. 12．设圆柱的一个底面面积为S，若其侧面展开图为一个正方形，则这个圆柱的侧面积为(　　) A．πS B．2πS C．3πS D．4πS 答案　D 解析　设圆柱的底面半径为r，则有πr2＝S，所以r＝，所以底面圆的周长为2π，又因为侧面展开图为正方形，所以这个圆柱的侧面积为2＝4πS. 13．已知圆台的轴截面面积为10，母线与底面所成的角为45°，则圆台的侧面积为________． 答案　10π 解析　如图所示，依题意，设下底面圆的半径为FB＝R，上底面圆的半径为EC＝r，过点C作CM⊥AB，交AB于点M，圆台的高为CM＝h.在Rt△CMB中，∠MBC＝45°，MB＝R－r，所以h＝R－r，CB＝h＝(R－r)，则圆台轴截面的面积S＝·(2R＋2r)·h＝(R＋r)(R－r)＝10，所以圆台的侧面积S＝π(R＋r)·(R－r)＝10π. 14．若一圆锥轴截面为顶角等于120°的等腰三角形，且过顶点的最大截面面积为8，则这个圆锥的表面积为________． 答案　(8＋12)π 解析　设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r， 因为圆锥轴截面为顶角等于120°的等腰三角形， 则过顶点的最大截面面积在顶角为90°时取得， 则最大面积为l·l＝8，解得l＝4， 所以底面圆的半径r＝lsin 60°＝2， 则圆锥的表面积为π×2×4＋π×(2)2＝(8＋12)π. 15.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为________． 答案　12 解析　设圆锥的母线长为l，则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为πl2，又圆锥的侧面积为π×3×l＝3πl，因为当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，所以πl2＝4×3πl，解得l＝12.即圆锥的母线长为12. 16.如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱． (1)试用x表示圆柱的高； (2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？ 解　(1)圆锥的轴截面如图所示， BO＝1，PO＝3，设圆柱的高为h， 则＝，即h＝3－3x(0<x<1)． (2)∵S圆柱侧＝2πxh＝2πx(3－3x) ＝6π(x－x2)＝6π(0<x<1)， 当x＝时，圆柱的侧面积取得最大值为. ∴当x＝时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是. 学科网（北京）股份有限公司 $$