11.1.4 棱锥与棱台 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

11．1.4　棱锥与棱台 [学习目标]　1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算． 导语 前面学习了棱柱的结构特征，结合平时观察到的实物模型，你能不能说出棱锥、棱台具有的结构特征呢？ 一、棱锥、棱台的结构特征 知识梳理 1．棱锥的结构特征 (1)棱锥的概念 定义 图形及表示 相关概念 分类 如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥 如图可记作：棱锥P—ABCD或棱锥P－AC 底面：多边形面； 侧面：有公共顶点的各三角形； 侧棱：相邻两侧面的公共边； 顶点：各侧面的公共顶点； 高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度) 按底面的形状分：三棱锥、四棱锥…… (2)特殊的棱锥 正棱锥 正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高． 2．棱台的结构特征 (1)棱台的结构特征 定义 图形及表示 相关概念 分类 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 如图可记作：棱台ABCD—A1B1C1D1 上底面：平行于棱锥底面的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻两侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点； 高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度) 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 截得的棱台分别称为三棱台、四棱台、五棱台…… (2)特殊的棱台 正棱台：由正棱锥截得的棱台． 正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高． 例1　(1)有下列三种叙述： ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． 其中正确的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案　A 解析　①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错误． (2)下列说法中，正确的是(　　) ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 答案　B 解析　由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作为底面的几何体都是三棱锥，故②正确；棱锥的侧棱交于一点不平行，故③错误． 反思感悟　判断棱锥、棱台的方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法． (2)直接法 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 跟踪训练1　下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是________． 答案　①② 解析　①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； ②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥． 二、棱锥、棱台中的计算问题 例2　正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高． 解　作出正三棱锥，如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点． 在Rt△ADO中， AD＝，∠OAD＝30°， 故AO＝＝. 在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝， 故SO＝＝3，故正三棱锥的高为3. 延伸探究 1．若本例条件不变，求正三棱锥的斜高． 解　作出正三棱锥，如图，取AB的中点E，连接SE，则SE为该正三棱锥的斜高，在Rt△SAE中，SA＝2，AE＝， 所以SE＝＝. 故正三棱锥的斜率高为. 2．若将本例中“正三棱锥”改为“正四棱锥”，其他条件不变，求正四棱锥的高． 解　如图，在正四棱锥S－ABCD中， AB＝BC＝CD＝DA＝3， AC＝3，所以OC＝. 在Rt△SOC中，SC＝2， 所以SO＝＝＝. 故正四棱锥的高为. 反思感悟　(1)正棱锥中的计算问题要充分利用等腰三角形或三种直角三角形． (2)正棱台中的计算问题要充分利用等腰梯形或三种直角梯形．以正四棱锥(台)为例，如图所示． 　　 跟踪训练2　已知正四棱台的上、下底面面积分别为4,16，一个侧面的面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长． 解　如图，设O′，O分别为上、下底面的中心，即OO′为正四棱台的高，E，F分别为B′C′，BC的中点， ∴EF⊥B′C′，即EF为斜高．由上底面面积为4，上底面为正方形，可得B′C′＝2；同理，BC＝4. ∵四边形BCC′B′的面积为12， ∴×(2＋4)·EF＝12， ∴EF＝4. 过B′作B′H⊥BC交BC于点H， 则BH＝BF－B′E＝2－1＝1，B′H＝EF＝4. 在Rt△B′BH中，BB′＝＝. 同理，在直角梯形O′OFE中，计算出O′O＝. 综上，该正四棱台的侧棱长为，斜高为4，高为. 三、棱锥、棱台的展开图及其计算 例3　如图，在侧棱长为2的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值． 解　沿着侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图． 则AA′的长即为截面△AEF周长的最小值， 且∠AVA′＝3×40°＝120°. 在△VAA′中，AA′＝2×2×＝6， 故截面△AEF周长的最小值为6. 反思感悟　多面体展开图问题的解题策略 (1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图． (2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图． 跟踪训练3　如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？ 解　图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把表面展开图还原为原几何体，如图所示： 所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台． 1．知识清单： (1)棱锥、棱台的结构特征． (2)有关棱锥、棱台的计算． 2．方法归纳：定义法、举反例法． 3．常见误区：棱锥、棱台的结构特征不清． 1．(多选)下面图形中，为棱锥的是(　　) 答案　ABD 2．(多选)观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是(　　) A．①是棱柱 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 答案　ACD 解析　结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥． 3．底面边长为10、高为5的正四棱锥的侧面积是(　　) A．100 B．100 C．100 D．25 答案　B 解析　正四棱锥的斜高为＝5，则其侧面积是4××10×5＝100. 4．若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，高为3，则该棱台的侧棱长为________． 答案　 解析　由题意，得正四棱台的对角面为等腰梯形，其中上底长为5，下底长为7，高为3，则侧棱长为＝. 1．下列说法中正确的是(　　) A．棱锥的侧面不一定是三角形 B．棱锥的各侧棱长一定相等 C．棱台的各侧棱的延长线交于一点 D．用一平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台 答案　C 解析　棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱长不一定相等，故A，B不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，所以各条侧棱的延长线一定交于一点，故C正确；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到的两个几何体，才能一个是棱锥，一个是棱台，故D不正确． 2．如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，截去三棱锥A′－ABC后，剩余部分是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 答案　B 解析　剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C. 3．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为(　　) A．80 B．240 C．320 D．640 答案　B 解析　由题意可知，该棱台的侧面为上、下底边长分别为4和16，腰长为10的等腰梯形， 等腰梯形的高为＝8， ∴等腰梯形的面积S′＝×(4＋16)×8＝80， ∴该棱台的侧面积S＝3S′＝3×80＝240. 4．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 答案　D 解析　正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形由6个等边三角形构成．设每个等边三角形的边长为r，正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为l.由正六棱锥的高、底面等边三角形的边、侧棱构成直角三角形得h2＋r2＝l2，故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等． 5．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 答案　A 解析　设正三棱锥的侧棱长为b，由条件知2b2＝a2，所以该三棱锥的表面积为a2＋3×××a2＝a2. 6．关于下列三个说法： ①底面是等边三角形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的三棱锥是正三棱锥； ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形． 其中正确说法的序号是(　　) A．③ B．①② C．①③ D．① 答案　D 解析　根据正三棱锥的定义可知，①正确；②显然错误，比如当三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等时，该三棱锥侧面都是等腰三角形，但不是正三棱锥；棱柱的侧面不一定全等，③错误． 7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱． 答案　5　6　9 8.有一如图所示的“双塔”形立体建筑．已知P－ABC和Q－DBC是两个等高的正三棱锥，A，B，D，C在同一个平面内．要使塔尖P，Q之间的距离为30 m，则底边AB的长为________m. 答案　30 解析　设AB＝a，则P，Q在底面的射影P′，Q′分别落在△ABC，△BCD的中心处，所以P′Q′＝a＋a＝30.所以a＝30 m. 9.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. 问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ (3)每个面的三角形面积为多少？ 解　(1)如图，折起后形成的几何体是三棱锥． (2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形． (3)S△PEF＝a2， S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2， S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE ＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2. 10.如图所示，正四棱台ABCD－A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，求正四棱台的表面积． 解　∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，∴上底面、下底面的面积分别是4,16.∵侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，∴斜高为＝，∴侧面的面积为×(2＋4)×＝3，∴四棱台的表面积为4＋16＋3×4＝20＋12. 11．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　D 解析　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，取四棱锥A1－ABCD，则此四棱锥的四个侧面全为直角三角形． 12．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为(　　) A．32 B．48 C．64 D. 答案　A 解析　如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，连接AC，BD，交于O点，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P－ABCD的高，PE为斜高， 因为高与斜高的夹角为30°， 所以OE＝PE，又OE＝AB＝2， 所以PE＝4，则S侧＝4××4×4＝32. 13．在正方体的8个顶点中，恰有四点为正四面体的顶点，那么正方体的表面积与这个正四面体表面积的比是(　　) A．2∶ B.∶ C.∶1 D.∶1 答案　C 解析　如图所示， 设正方体棱长为a，则正方体的表面积为6a2，正四面体的表面积为＝4××(a)2×sin 60°＝2a2，所以面积比为∶1. 14．已知棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高与截得棱台的原棱锥的高的比值是________． 答案　 解析　设棱台的高为h，截得棱台的原棱锥的高为H，以四棱台为例，如图所示．由△SO1C1∽△SOC可得，＝，所以＝＝，则2＝， 即2＝，解得＝. 15．一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.则： (1)该三棱台的斜高为________cm； (2)该三棱台的侧面积和表面积分别为________cm2和________cm2. 答案　(1)　(2)　 解析　(1)设O1，O分别为正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O＝，连接A1O1并延长交B1C1于点D1，连接AO并延长交BC于点D， 则D1D为该三棱台的斜高．过D1作D1E⊥AD交AD于点E，则D1E＝O1O＝. 因为O1D1＝×3＝，OD＝×6＝， 所以DE＝OD－O1D1＝－＝. 在Rt△D1DE中， D1D＝＝＝(cm)． 故该三棱台的斜高为 cm. (2)S侧＝3××＝(cm2)， S表＝S侧＋S上＋S下＝＋×32＋×62＝(cm2)， 故该三棱台的侧面积为cm2，表面积为cm2. 16.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′. (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积． 解　(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3. (2)如图所示， ∵小棱锥的底面边长为4 cm， ∴大棱锥的底面边长为8 cm， 又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm. 设梯形ABB1A1的高为h′，则h′＝＝4(cm)， ∴S棱台侧＝6××4＝144(cm2)， ∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝(144＋120)cm2. 学科网（北京）股份有限公司 $$