11.1.2 构成空间几何体的基本元素 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

11.1.2　构成空间几何体的基本元素 [学习目标]　1.理解构成几何体的基本元素，并能从运动的角度理解点、线、面、体之间的关系.2.了解简单几何体中点、线、面的位置关系.3.掌握三种几何语言——文字语言、符号语言、图形语言以及三种语言之间的相互转化． 导语 国家体育场的主体建筑“鸟巢”主要由巨大的门式钢架组成，共有24根桁架柱，其结构科学简单，设计新颖独特，为国际上极富特色的巨型建筑．与“鸟巢”相呼应的是“水立方”——国家游泳中心．国家游泳中心也是北京奥运会标志性建筑，它以冰晶状的亮丽身姿，装点着奥林匹克公园．你能说出它们作为一个空间几何体是由哪些基本元素构成的吗？ 一、空间几何体的基本元素 知识梳理 1．构成空间几何体的基本元素：点、线、面． 2．从运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点运动的轨迹可以是线，线运动的轨迹可以是面，面运动的轨迹可以是体． 例1　试指出下图中组成各几何体的基本元素． 解　(1)中几何体有6个顶点，12条棱和8个面． (2)中几何体有12个顶点，18条棱和8个面． (3)中几何体有6个顶点，10条棱和6个面． 反思感悟　点是最基本的元素，只有位置，没有大小；直线没有粗细，向两方无限延伸；平面没有厚度，向周围无限延展．要熟记这三种基本元素的特点．在现实生活中要多观察几何体，加深对构成空间几何体的基本元素的认识． 跟踪训练1　(多选)下列说法正确的是(　　) A．任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 B．一个几何体可以没有顶点 C．一个几何体可以没有棱 D．一个几何体可以没有面 答案　BC 解析　球只有一个曲面，故A错误，B正确，C正确．由于几何体是空间图形，一定有面，故D错误． 二、点、线、面的位置关系及符号表示 知识梳理 位置关系 符号表示 图形 点线 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点面 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 线线 两直线平行 a∥b 两直线异面 a∩b＝∅ 且a与b 不平行 两直线相交 a∩b＝P 线面 直线l在平面α内 l⊂α 直线在平面外 直线l与平面α平行 l∥α 直线l与平面α斜交于点A l∩α＝A 直线l与平面α垂直 l⊥α 面面 两平面平行 α∥β 两平面相交 α∩β＝l 例2　在长方体ABCD－A1B1C1D1中．写出：(1)所有与直线DD1平行的直线； (2)所有与直线DD1异面的直线； (3)所有与直线BC平行的平面，并用合适的符号表示； (4)六个面与直线AB的位置关系，并用合适的符号表示； (5)与平面ABCD平行的平面，并用合适的符号表示； (6)平面BCC1B1与平面CDD1C1的位置关系，并用合适的符号表示． 解　(1)与直线DD1平行的直线有直线AA1，BB1，CC1. (2)与直线DD1异面的直线有直线AB，A1B1，BC，B1C1. (3)BC∥平面ADD1A1，BC∥平面A1B1C1D1. (4)AB⊂平面ABCD，AB⊂平面ABB1A1， AB∥平面A1B1C1D1，AB∥平面CDD1C1， AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1. (5)平面A1B1C1D1∥平面ABCD. (6)平面BCC1B1与平面CDD1C1相交，即平面BCC1B1∩平面CDD1C1＝CC1. 反思感悟　解决此类问题的关键是识图，联系点、线、面的位置关系的定义，根据图形识别直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系． 跟踪训练2　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，写出所有： (1)与直线AD平行的直线，与AD异面的直线； (2)与直线AD平行的平面，并用合适的符号表示； (3)与直线AD垂直的平面，并用合适的符号表示； (4)与平面BCC1B1平行的平面，并用合适的符号表示． 解　(1)与AD平行的直线有BC，A1D1，B1C1，与AD异面的直线有A1B1，C1D1，BB1，CC1. (2)AD∥平面BCC1B1，AD∥平面A1B1C1D1. (3)AD⊥平面ABB1A1，AD⊥平面CDD1C1. (4)平面ADD1A1∥平面BCC1B1. 三、距离 知识梳理 概念 对应图形 投影 给定空间中一个平面α及一个点A，过点A可以作而且只可以作平面α的一条垂线，如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(也称为投影) 距离 点面 线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离 线面 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离 面面 当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离 例3　线段AB的长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD－A′B′C′D′. (1)该长方体的高为________； (2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________； (3)点A到平面BCC′B′的距离为________． 答案　(1)3 cm　(2)4 cm　(3)5 cm 解析　如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，∴长方体的高为3 cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为5 cm. 反思感悟　求距离首先要找垂线，即找出平面的垂线，结合长方体中点、线、面的位置关系即可求． 跟踪训练3　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝3，AA1＝5，则直线BC到平面ADD1A1的距离为________，平面ABB1A1与平面CDD1C1之间的距离为________． 答案　2　3 解析　直线BC到平面ADD1A1的距离为AB＝2，平面ABB1A1到平面CDD1C1之间的距离为AD＝3. 1．知识清单： (1)了解空间中点、线、面的位置关系． (2)点、线、面的符号表示． (3)距离． 2．方法归纳：直观想象． 3．常见误区：符号语言使用混淆及点、线、面位置关系判断错误． 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．平面是无大小、无厚薄的 B．平面是无限延伸的 C．平面的形状是平行四边形 D．一个平面的厚度可以是0.001 cm 答案　AB 解析　平面是无限延伸的，但是没有大小、形状、厚薄，AB两种说法是正确的；CD两种说法是错误的． 2．下列说法正确的是(　　) A．在空间中，一个点运动成直线 B．在空间中，直线平行移动形成平面 C．在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 答案　C 解析　一个点运动也可以成曲线，故A错；在空间中，直线平行移动可以形成平面或曲面，故B错；在空间中，矩形上各点沿垂直矩形所在平面的方向移动相同距离所形成的几何体是长方体，故D错． 3．下列说法中正确的是(　　) A．若两直线无公共点，则两直线平行 B．若两直线不是异面直线，则必相交或平行 C．过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内的任一直线均构成异面直线 D．和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线 答案　B 解析　对于A，两直线无公共点，可能平行，也可能异面；对于B，由两直线的位置关系知其正确；对于C，过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内经过线面交点的直线是相交直线而不是异面直线；对于D，和两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线． 4．如图，已知三棱锥A－BCD，完成下列问题： (1)A________平面BCD，A________平面ACD； (2)AD∩平面BCD＝____________，BD∩平面BCD＝________； (3)平面ACD∩平面BCD＝________，平面ABC∩平面ACD＝________. 答案　(1)∉　∈　(2)D　BD　(3)CD　AC 1．(多选)下列属于构成空间几何体的基本元素的是(　　) A．点 B．线段 C．曲面 D．多边形(不包括内部的点) 答案　ABC 解析　空间中的几何体是由点、线、面构成的，而线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，只有多边形(不包括内部的点)不属于构成空间几何体的基本元素． 2．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为(　　) A．A⊂a，a⊂α，B∈α B．A∈a，a⊂α，B∈α C．A⊂a，a∈α，B⊂α D．A∈a，a∈α，B∈α 答案　B 解析　点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α. 3．下列说法正确的是(　　) A．水平放置的平面是大小确定的平行四边形 B．平面ABCD即平行四边形ABCD的四条边围起来的部分 C．一条直线和一个平面一定会有公共点 D．平面是没有形状的 答案　D 解析　平面可以用平行四边形来表示，但平行四边形只是平面的一部分，不能理解为平面，A错；平面是一个抽象的概念，是无限延伸的，没有大小、形状、厚薄之分，B错，D对；直线和平面可以没有公共点，此时直线和平面平行，C错．故选D. 4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱CD所在直线与平面ABCD的位置关系表示正确的是(　　) A．CD∈平面ABCD B．CD∥平面ABCD C．CD⊂平面ABCD D．CD∩平面ABCD＝D 答案　C 解析　棱CD在平面ABCD内，故CD⊂平面ABCD. 5．(多选)如图所示，下列符号表示正确的是(　　) A．l∈α B．P∉l C．l⊂α D．P∈α 答案　BCD 解析　由题图可知，l⊂α，P∉l，P∈α，故A错，故选BCD. 6．如图，截去正方体一角得到的新多面体的面数是(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 答案　B 解析　截去正方体一角得到的多面体多了一个面，故面数为7. 7.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，试根据图形填空： (1)平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1＝________； (2)平面A1C1CA∩平面ABCD＝________； (3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________； (4)平面A1B1C1D1，平面B1C1CB，平面ABB1A1的公共点为________． 答案　(1)A1B1　(2)AC　(3)OO1　(4)B1 8.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，和棱A1B1不相交的棱有________条． 答案　7 解析　与A1B1平行的棱有3条，与A1B1异面的棱有4条，共有7条棱与棱A1B1不相交． 9．用符号语言表示下列语句： (1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. 解　(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC. (2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC. 10.如图所示的是长方体的表面展示图，在这个长方体中． (1)写出直线DM与平面ABQP的位置关系； (2)写出平面DCMN与平面ERFG的位置关系； (3)判断线段BC的长度是否为点C到平面APQB的距离． 解　根据展开图，折叠得到几何体模型，如图所示． (1)直线DM∥平面ABQP. (2)平面DCMN与平面ERFG相交于MN(FG)． (3)线段BC的长度是点C到平面APQB的距离． 11．若平面α和直线a，b满足a∩α＝A，b⊂α，则a与b的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面 答案　D 解析　当A∈b时，a与b相交； 当A∉b时，a与b异面． 12.如图，用符号语言可表述为(　　) A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 答案　A 解析　很明显，α与β交于m，n在α内，m与n交于点A. 13．一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是(　　) 答案　C 解析　正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点． 14．若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面有________个． 答案　0或1 解析　当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，没有满足条件的平面；当点M不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有1个． 15．若一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．那么在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(　　) A．48 B．36 C．24 D．18 答案　B 解析　①正方体的每一条棱，都与两个侧面垂直，可得2个“正交线面对”，正方体共12条棱，可得2×12＝24(个)“正交线面对”． ②正方体的每一条面对角线，都与一个对角面垂直，可得1个“正交线面对”，正方体共12条面对角线，可得1×12＝12(个)“正交线面对”． ③不存在包含正方体的四个顶点的平面与正方体的体对角线垂直． 综上所述，共有24＋12＝36(个)“正交线面对”． 16.如图所示是一个正方体表面的展开图，图中线段AB与EF，HG与CD，EF与CD在原正方体中的位置关系是什么？ 解　选择一个面为底面，将图形向上折成正方体，如图，点G与点C重合，点F与点B重合，则线段AB与EF相交，线段HG与CD相交，线段EF与CD平行． 学科网（北京）股份有限公司 $$