10.2.1 复数的加法与减法 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

10．2.1　复数的加法与减法 [学习目标]　1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题． 导语 随着虚数的产生，数系得到了进一步的扩充．同时，随着科学技术的进步，逐步建立起来的复变函数理论在研究堤坝渗水问题、建设大型水电站等领域也有广泛的应用．而复变函数理论中离不开复数的加、减、乘、除运算.1747年，法国著名数学家达朗贝尔(1717－1783)指出，如果按照多项式的四则运算法则对虚数进行运算，那么运算的结果总是a＋bi的形式，其中a，b都是实数．他开创了复数四则运算的先河． 一、复数的加、减法运算 问题1　多项式的加减运算实质是合并同类项，类比想一想复数如何进行加减运算？ 提示　两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. 问题2　复数的加法满足交换律和结合律吗？ 提示　满足． 知识梳理 1．运算法则 (1)复数的加法 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1＋z2为z1与z2的和，并规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i， (2)复数的减法 ①一般地，复数z＝a＋bi(a，b∈R)的相反数记作－z，并规定－z＝－(a＋bi)＝－a－bi. ②复数z1减去z2的差记作z1－z2，并规定z1－z2＝z1＋(－z2)． ③一般地，如果z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. 2．加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1＋z2＝z2＋z1 结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) 例1　设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围． 解　∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i， ∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i＝＋(m2－2m－15)i. ∵z1＋z2为虚数， ∴m2－2m－15≠0且m≠－2， 解得m≠5且m≠－3且m≠－2(m∈R)． ∴m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)． 反思感悟　复数加、减运算的解题思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)． 跟踪训练1　复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9,1)，在第一象限． 二、复数加、减法的几何意义 问题3　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 提示　设＝(a，b)，＝(c，d)，则＋＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d)． 几何意义是以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线． 知识梳理 复数加法的几何意义 如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，则当与不共线时，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则z1＋z2所对应的向量就是 推论：||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2| 复数减法的几何意义 如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，设点Z满足＝，则z1－z2所对应的向量就是 推论：||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2| 例2　(1)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i.求： ①表示的复数； ②表示的复数； ③表示的复数． 解　∵A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i， 由复数的几何意义知，与表示的复数分别为3＋2i，－2＋4i. ①因为＝－， 所以表示的复数为－3－2i. ②因为＝－， 所以表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③因为＝＋， 所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. (2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|. 解　如图，对应的复数为z1，对应的复数为z2， 根据复数加减法的几何意义，由|z1|＝|z2|知，以，为邻边的平行四边形OACB是菱形． ∴||＝||，对应的复数为z1＋z2， ∴||＝. 在△AOC中，||＝||＝1，||＝， 由余弦定理得∠AOC＝30°. 同理得∠BOC＝30°， ∴△OAB为等边三角形，则||＝1，又对应的复数为z1－z2，∴|z1－z2|＝1. 延伸探究　若将本例(2)中的条件“|z1＋z2|＝”改为“|z1－z2|＝1”，求|z1＋z2|. 解　如例2(2)图，向量表示的复数为z1－z2， ∴||＝1， 则△AOB为等边三角形，∴∠AOC＝30°， 则||＝，∴||＝，又表示的复数为z1＋z2， ∴|z1＋z2|＝. 反思感悟　(1)复数运算的常用技巧 ①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． ②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． (2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点． ①四边形OACB为平行四边形． ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形． ③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形． ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． (3)利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系，提升直观想象的数学核心素养． 跟踪训练2　(1)已知复平面内的向量，对应的复数分别是－2＋i,3＋2i，则||＝________. 答案　 解析　∵＝＋， ∴对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴||＝＝. (2)若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，2) 解析　z2－z1＝1＋(a－2)i，由题意知a－2<0，即a<2. 三、复数模的综合问题 例3　如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　) A．1 B. C．2 D. 答案　A 解析　设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3， 因为|z＋i|＋|z－i|＝2， |Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 所以点Z在线段Z1Z2上移动，|ZZ3|min＝1， 所以|z＋i＋1|min＝1. 反思感悟　(1)两个复数差的模的几何意义 ①|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． ②|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆． (2)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．求最值也可直接用≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|求解． 跟踪训练3　已知i为虚数单位，复数z满足1≤|z＋1＋i|≤，则|z－1－i|的最大值为(　　) A．2－1 B．2＋1 C．2 D．3 答案　D 解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z＋1＋i|＝|(x＋1)＋(y＋1)i|，因为1≤|z＋1＋i|≤，所以1≤(x＋1)2＋(y＋1)2≤2，所以(x，y)在如图所示的阴影上．因为|z－1－i|＝|z－(1＋i)|表示z在复平面内对应的点Z到点(1,1)的距离，而点(1,1)到点(－1，－1)的距离为2，大圆的半径为，所以|z－1－i|的最大值为3. 1．知识清单： (1)复数代数形式的加、减运算法则． (2)复数加、减法的几何意义． (3)复平面上两点间的距离公式． 2．方法归纳：类比、数形结合． 3．常见误区：复数三角形不等式中等号成立的条件的理解． 1．设z1＝x2－i，z2＝－1＋xi，x∈R，若z1＋z2为纯虚数，则实数x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．1或－1 答案　A 解析　z1＝x2－i，z2＝－1＋xi，则z1＋z2＝x2－i＋(－1＋xi)＝x2－1＋(x－1)i，若z1＋z2为纯虚数，则解得x＝－1. 2．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i. 故z对应的点的坐标为(－1，－3)，位于第三象限． 3．复数z满足z＝2＋3i－3，则|z|等于(　　) A．5 B. C．10 D. 答案　D 解析　设z＝a＋bi， 所以a＋bi＝2(a－bi)＋3i－3＝(2a－3)＋(3－2b)i， 所以解得 所以|z|＝＝. 4．复数z满足|z－2＋i|＝1，则|z|的最大值是________． 答案　＋1 解析　由|z－2＋i|＝1得|z－(2－i)|＝1，则z对应的点构成以C(2，－1)为圆心，1为半径的圆，|z|的几何意义是圆上的点到原点的距离，则最大值为|OC|＋1＝＋1＝＋1. 1．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)，复数z1－z2在复平面内对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　∵复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i， ∴复数z1－z2＝(1＋3i)－(3＋i)＝－2＋2i， ∴复数z1－z2在复平面内对应的点(－2,2)在第二象限． 2．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于(　　) A. B．5 C. D．5 答案　D 解析　∵z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i， ∴f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝＝5. 3．已知i为虚数单位，复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若复数z1＋z2为实数，复数z1－z2为纯虚数，则实数a，b的值分别为(　　) A．－3，－4 B．－3,4 C．3，－4 D．3,4 答案　A 解析　∵复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi， 复数z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数， ∴4＋b＝0， 解得b＝－4. ∵复数z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数， ∴a＋3＝0，且4－b≠0， 解得a＝－3且b≠4. 故a＝－3，b＝－4. 4．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若＝，则点D对应的复数是(　　) A．1－3i B．－3－i C．3＋5i D．5＋3i 答案　C 解析　∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i， ∴对应的复数为2＋i－(－i)＝2＋2i. 设点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)， ∴对应的复数为x－1＋(y－3)i， 又＝，∴x－1＋(y－3)i＝2＋2i， 则解得 ∴点D对应的复数为3＋5i. 5．已知复数z满足|z|＝2，则|z＋3－4i|的最小值是(　　) A．5 B．2 C．7 D．3 答案　D 解析　方法一　由题意知，复数z在复平面内对应的点Z在以原点为圆心，2为半径的圆上，因为|z＋3－4i|表示点Z与点(－3,4)间的距离，所以|z＋3－4i|的最小值是－2＝3. 方法二　由复数的三角形不等式可得 |z＋3－4i|≥. 因为|z|＝2，|3－4i|＝5， 所以|z＋3－4i|≥|2－5|＝3， 所以|z＋3－4i|的最小值是3. 6．(多选)已知i为虚数单位，下列说法正确的是(　　) A．若复数z满足|z－i|＝，则复数z对应的点在以(1,0)为圆心，为半径的圆上 B．若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，则|z＋i＋1|的最小值是1 C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D．复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则⊥ 答案　BCD 解析　满足|z－i|＝的复数z对应的点在以(0,1)为圆心，为半径的圆上，A错误；设复数－i，i，－1－i在复数平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1，所以|z＋i＋1|min＝1，B正确；由复数的模的定义知C正确；由|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何意义知，以，所在线段为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确． 7．设复数z1＝m＋5i，z2＝3＋ni，m，n均为实数．若z1＋z2＝4＋3i，z＝m＋ni，则＝________. 答案　1＋2i 解析　∵z1＝m＋5i，z2＝3＋ni， ∴z1＋z2＝m＋5i＋3＋ni＝(m＋3)＋(5＋n)i. 又z1＋z2＝4＋3i， ∴(m＋3)＋(5＋n)i＝4＋3i. ∴解得 ∴z＝m＋ni＝1－2i，∴＝1＋2i. 8．复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为________，最小值为________． 答案　　2 解析　|z1－z2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i| ＝＝ ＝，当sin 2θ＝－1时，取得最大值， 当sin 2θ＝1时，取得最小值2. 9．计算： (1)＋； (2)(3＋2i)＋(－2)i； (3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|； (4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)． 解　(1)原式＝－i＝－i. (2)(3＋2i)＋(－2)i＝3＋(2＋－2)i＝3＋i. (3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i. (4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i. 10．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于点O.求： (1)对应的复数； (2)对应的复数； (3)△AOB的面积． 解　(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以＝＋， 于是＝－， 而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i， 即对应的复数是－2＋2i. (2)因为＝－， 而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 即对应的复数是5. (3)因为＝＝－＝－(1,4)＝， ＝＝(5,0)＝， 于是·＝－， 而||＝，||＝， 所以··cos ∠AOB＝－， 因此cos ∠AOB＝－， 故sin ∠AOB＝， 故S△AOB＝||||sin ∠AOB ＝×××＝， 即△AOB的面积为. 11．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 答案　A 解析　依题意，复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i， 则A(1,0)，B(0,2)，C(5,2)， 故|AB|＝＝， |AC|＝＝， |BC|＝＝5， 所以|BC|2＝|AB|2＋|AC|2， 即AB⊥AC，△ABC是直角三角形． 12．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　) A．3－2 B.－1 C．3＋2 D.＋1 答案　D 解析　|z1－z2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i| ＝ ＝ ＝. ∵－1≤cos≤1， ∴|z1－z2|max＝＝＋1. 13．已知复数z1＝4－3i，z2＝4＋3i(其中i为虚数单位)所对应的向量分别为与，则△OZ1Z2的周长为________． 答案　16 解析　因为＝(4，－3)，＝(4,3)，＝－＝(0,6)， 所以||＝＝5，||＝＝5，||＝＝6.所以△OZ1Z2的周长为5＋5＋6＝16. 14．复数z＝x＋yi(x，y∈R，i是虚数单位)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为________． 答案　4 解析　因为|z－4i|＝|z＋2|，所以|x＋(y－4)i|＝|(x＋2)＋yi|，所以x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，所以2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝2＝4，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时等号成立，故2x＋4y的最小值为4. 15．(多选)已知复数z1＝2－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2－i|＝1，则下列结论正确的是(　　) A．P1点在复平面上的坐标为(2，－2) B.1＝2＋2i C．|z1－z2|的最大值为＋1 D．|z1－z2|的最小值为－1 答案　ABC 解析　由题得，复数z1＝2－2i在复平面内对应的点为P1(2，－2)，故A正确； 因为复数z1＝2－2i，所以复数1＝2＋2i，故B正确； 设z2＝x＋yi(x，y∈R)，且其在复平面内对应的点为P2，则|z2－i|＝|x＋(y－1)i|＝＝1，即x2＋(y－1)2＝1，所以复数z2在复平面内对应的点P2在圆x2＋(y－1)2＝1上，其圆心为C(0,1)，半径r＝1，|z1－z2|表示的是复数z1和z2在复平面内对应的两点之间的距离，即|P1P2|. 而|P1P2|的最大值是|P1C|＋r＝＋1＝＋1，|P1P2|的最小值是|P1C|－r＝－1，即|z2－z1|的最大值为＋1，最小值为－1，故C正确，D错误． 16．已知在复平面内有一平行四边形ABCD，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i. (1)求点C，D对应的复数； (2)求平行四边形ABCD的面积． 解　(1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，＝－， ∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又＝＋， ∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵＝，∴向量对应的复数为3－i， 即＝(3，－1)． 设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)， ∴解得 ∴点D对应的复数为5. (2)由题意得＝(1,2)，＝(3，－1)， ∵·＝||||cos B， ∴cos B＝＝＝＝， ∴sin B＝. ∵S▱ABCD＝2×||||sin B＝××＝7， 故平行四边形ABCD的面积为7. 学科网（北京）股份有限公司 $$