10.2.1 复数的加法与减法课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第四册

第十章　复数 10.2.1　复数的加法与减法 人教B版 数学 必修第四册 课标要求 1.熟练掌握复数的加、减法运算法则. 2.理解复数加、减法的几何意义,能够通过直观想象去解题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 复数的加法与减法的运算法则 1.复数的加、减法法则 一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称 z1 + z2为z1与z2的　　　,并规定z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.  由复数和的定义可知,两个共轭复数的和一定是　　　　.  一般地,复数z=a+bi(a,b∈R)的　　　　　　记作-z,并规定  -z=-(a+bi)=-a-bi. 复数z1减去z2的差记作z1-z2,并规定z1-z2=　　　　　　　.  一般地,如果z1=a+bi,z2=c+di(a,b, c,d∈R),则z1-z2=(a+bi)-(c+di) =　　　　　　　　.  和 实数 相反数 z1+(-z2) (a-c)+(b-d)i 2.复数加法运算律 复数的加法运算满足交换律与结合律,即对任意复数z1,z2,z3,有z1+z2=　　　　,(z1+z2)+z3=　　　　　　　.  z2+z1 z1+(z2+z3) 名师点睛 1.复数加(减)法的规定:实部与实部相加(减),虚部与虚部相加(减),两个复数的和(差)仍然是一个复数,复数的加(减)法可以推广到多个复数相加(减),即几个复数相加(减),只需把复数的所有实部相加(减),所有的虚部相加(减). 2.若z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),当b=d=0时,与实数的加减法一致. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)复数加法运算符合实数加法的运算律.(　　) (2)复数与复数相加、减后结果只能是实数.(　　) (3)一个复数减去另一个复数等于这个复数加上另一个复数的相反数.(　　) √ × √ 2.已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2等于(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.8i B.6 C.6+8i D.6-8i B 3.已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于(　　) A.0 B.2i C.6 D.6-2i D 4.[人教A版教材例题]计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 解(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i. 知识点2 复数加法、减法的几何意义 1.复数加法、减法的几何意义 如果复数z1,z2所对应的向量分别为 不共线时,以OZ1,OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2,则z1+z2所对应的向量就是　　　　,如图所示. 2.性质 由复数加法、减法的几何意义可以得出||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|. B A.2+4i B.-2+4i C.-4+2i D.4-2i D 3.[人教A版教材例题]根据复数及其运算的几何意义,求复平面内的两点Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)之间的距离. 解因为复平面内的点Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)对应的复数分别为z1=x1+y1i,z2=x2+y2i, 重难探究·能力素养全提升 探究点一　复数的加法、减法运算 【例1】 [人教A版教材习题]计算: (1)(2+4i)+(3-4i);(2)5-(3+2i); (3)(-3-4i)+(2+i)-(1-5i); (4)(2-i)-(2+3i)+4i. 解(1)(2+4i)+(3-4i)=5. (2)5-(3+2i)=2-2i. (3)(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)=(-3+2-1)+(-4i+i+5i)=-2+2i. (4)(2-i)-(2+3i)+4i=(2-2)+(-i-3i+4i)=0. 规律方法　复数的加法、减法运算 (1)复数的加法、减法运算类似于合并同类项,实部与实部合并,虚部与虚部合并,注意符号是易错点; (2)复数的加法、减法运算的结果仍是复数; (3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算; (4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用. 变式训练1计算: (2)[(a+b)+(a-b)i]-[(a-b)-(a+b)i](a,b∈R); (2)[(a+b)+(a-b)i]-[(a-b)-(a+b)i]=(a+b)-(a-b)+[(a-b)+(a+b)]i=2b+2ai. 探究点二　复数加法、减法运算的几何意义 【例2】 已知平行四边形ABCD的顶点A,B,D对应的复数分别为1+i,4+3i, -1+3i.试求: 规律方法　向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量 对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减起点对应的复数). 变式训练2(1)在复平面内,A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求点D对应的复数z4及AD的长. 解如图所示. ∴z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1), ∴z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i. (2)[人教A版教材习题]求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离: ①z1=2+i,z2=3-i;②z3=8+5i,z4=4+2i. 解①z1,z2在复平面内对应的两点之间的距离为|z2-z1|=|1-2i| 探究点三　复数模的最值问题 【例3】 (1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是(　　) A 解析 设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i| =2,|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,因为|Z1Z3|=1,所以|z+i+1|min=1. 解如图所示, 所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1. 解此时复数z在复平面内对应的点的集合是以Z0( ,-1)为圆心,3为半径的圆. ∵|OZ0|=2, ∴|z|max=3+2=5, |z|min=3-2=1. 解此时复数z在复平面内对应的点的集合是以Z0( ,-1)为圆心,3为半径的圆以及圆内部分. ∴|z|max=5,|z|min=0. 规律方法　1.|z1-z2|表示复数z1,z2在复平面内对应的点Z1与Z2之间的距离.在应用时,要注意绝对值符号内应是两个复数差的形式. 2.涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解. 变式训练3已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值. 解因为|z|=1且z∈C,作图如下: 所以|z-2-2i|的几何意义为圆心在原点的单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离, 所以|z-2-2i|的最小值为|OP|-1= -1. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A级 必备知识基础练 1.[探究点一]若复数z满足z+i-3=3-i,则z=(　　)　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.0 B.2i C.6 D.6-2i D　 解析 z=3-i-(i-3)=6-2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 3.[探究点一]若复数z满足z+i=1+ i,则z在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 4.[探究点一]已知复数z满足z-2 =1+3i,其中i是虚数单位, 为z的共轭复数,则z=(　　) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 5.[探究点一]已知复数z满足|z|+z=2+4i,则z=(　　) A.3+4i B.3-4i C.-3+4i D.-3-4i C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 6.[探究点三·2023黑龙江道里校级模拟]已知z1=2-2i,|z2-i|=1,则|z2-z1|的最大值为(　　) D 解析 满足|z2-i|的点的集合为以(0,1)为圆心,1为半径的圆,|z2-z1|表示圆上的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7.[探究点一]计算|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=　　　　　.  5 解析 |(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|= =5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8.[探究点二]复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1(2,1),Z2(1,-2),则z1+z2=　　　　　　.  3-i 解析 复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1(2,1),Z2(1,-2),则z1=2+i,z2=1-2i,故z1+z2=3-i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9.[探究点三·2023江苏吴江校级月考]当复数z满足|z-3+4i|=1时,|z-2|的最大值是　　　　　.  解析 设z=a+bi(a,b∈R),∵|z-3+4i|=1,∴|a-3+(b+4)i|=1,即(a-3)2+(b+4)2=1,表示以(3,-4)为圆心,1为半径的圆,|z-2|表示圆上的点到点(2,0)的距离,故|z-2|的最大值是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 -1+6i 4-4i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11.[探究点二]已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)是复平面内的四个点,且向量 对应的复数分别为z1,z2. (1)若z1+z2=1+i,求z1,z2; (2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值. ∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i, ∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2)由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i. ∵|z1+z2|=2,z1-z2为实数, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 B级 关键能力提升练 12.设向量 对应的复数分别为z1,z2,z3,那么(　　) A.z1+z2+z3=0 B.z1-z2-z3=0 C.z1-z2+z3=0 D.z1+z2-z3=0 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14.在▱ABCD中,点A,B,C分别对应复数4+i,3+4i,3-5i,则点D对应的复数是 (　　) A.2-3i B.4+8i C.4-8i D.1+4i C ∴-1+3i=(3-5i)-z, ∴z=(3-5i)-(-1+3i)=(3+1)+(-5-3)i=4-8i. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 15.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是(　　) A.4 B.-2 C.4i D.2i A　 解析 因为z+(3-4i)=1,所以z=-2+4i,所以z的虚部是4.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16.复数z满足|z-i|=|z+3i|,则|z|(　　) A.最小值为1,无最大值 B.最大值为1,无最小值 C.恒等于1 D.无最大值,也无最小值 A 解析 设复数z=x+yi,其中x,y∈R, 由|z-i|=|z+3i|,得|x+(y-1)i|=|x+(y+3)i|, ∴x2+(y-1)2=x2+(y+3)2,解得y=-1. 即|z|有最小值为1,没有最大值.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17.(多选题)已知i为虚数单位,下列说法正确的是(　　) A.若复数z满足|z-i|= ,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心, 为半径的圆上 B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8i C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模 CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ∴z=-15+8i,B错误;由复数的模的定义知C正确;由|z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知,以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18.设复数z1=m+5i,z2=3+ni,m,n均为实数.若z1+z2=4+3i,z=m+ni,则 =　　　　　.  1+2i 解析 ∵z1=m+5i,z2=3+ni,m,n均为实数, ∴z1+z2=m+5i+3+ni=(m+3)+(5+n)i. 又z1+z2=4+3i,∴(m+3)+(5+n)i=4+3i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19.复数z1=cos θ+i,z2=sin θ-i,则|z1-z2|的最大值为　　　　　,最小值为　　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 C级 学科素养创新练 又由平行四边形法则知四边形OBCA为平行四边形, ∴▱OACB为菱形,且△BOC,△COA都是等边三角形,即∠AOB=120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ,则当 如果复数z1,z2所对应的向量分别为,设点Z满足,则z1-z2所对应的向量就是　　　　,如图所示.  1.在复平面内,复数1+i与1+3i分别对应向量 和 ,其中O为坐标原点,则||等于(　　)　　　　　　　　　　　　 A. B.2 C. D.4 解析 (方法一)易知A(1,1),B(1,3),故||==2. (方法二)||=||=|2i|=2. 2.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量在复平面内对应的复数分别是3+i,-1+3i,则在复平面内对应的复数是(　　) 解析 依题意有,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即对应的复数为4-2i.故选D. 所以点Z1,Z2之间的距离为|Z1Z2|=||=|z2-z1|=|(x2+y2i)-(x1+y1i)| =|(x2-x1)+(y2-y1)i|=. (1)(-i)-[()+()i]; 解(1)(-i)-[()+()i]=--()+[-()]i =-i. (3)(i2+i)+|-i|+(i-2). (3)(i2+i)+|-i|+(i-2)=(-1+i)++(-2+i)=-1+i+2-2+i=-1+2i. (1)对应的复数; (2)对应的复数; (3)点C对应的复数. 解设坐标原点为O. (1), 所以对应的复数为(-1+3i)-(1+i)=-2+2i. (2), 所以对应的复数为(4+3i)-(-1+3i)=5. (3)由于四边形ABCD是平行四边形,所以. 由(1)知对应的复数为-2+2i,而, 所以对应的复数为(-2+2i)+(4+3i)=2+5i, 这就是点C对应的复数. 对应复数z3-z1, 对应复数z2-z1, 对应复数z4-z1. 由复数加减运算的几何意义,得, ∴AD的长为||=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2. =. ②z3,z4在复平面内对应的两点之间的距离为|z4-z3|=|-4-3i|==5. A.1 B. C.2 D. (2)若复数z满足|z++i|≤1,求|z|的最大值和最小值. ||==2. 变式探究1在例3(2)中将“|z++i|≤1”改为“|z++i|=3”,其余条件不变,其结果如何呢? - 变式探究2在例3(2)中将“|z++i|≤1”改为“|z++i|≤3”,其余条件不变,其结果如何呢? - 2 2.[探究点一·2023山东菏泽期中]若z=2+3i,则|z-|=(　　) A.6 B.4 C. D.0 解析 ∵z=2+3i,∴z-=2+3i-(2-3i)=6i,则|z-|=|6i|=6.故选A. 解析 因为z+i=1+i,所以z=1+i-i=1-i,所以z在复平面内对应的点的坐标为(1,-),位于第四象限. 故选D. 解析 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,∵z-2=1+3i,∴a+bi-2(a-bi)=-a+3bi=1+3i,即解得故z=-1+i.故选C. 解析 设z=a+bi,a,b∈R,因为|z|=,所以|z|+z=a++bi=2+4i,所以解得所以z=-3+4i.故选C. A.2 B.2 C.+1 D.+1 点到点(2,-2)的距离,故|z2-z1|的最大值为+1=+1.故选D. +1 +1=+1 10.[探究点二]在复平面内,O是原点,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么对应的复数为　　　　　,对应的复数为　　　　　.  解析 由复数的几何意义可知,=(-2,1),=(3,2),=(1,5), ∴=(-2,1)+(1,5)=(-1,6),=(3,2)-(-1,6)=(4,-4), ∴在复平面内对应的复数为4-4i. 解(1)∵=(a-1,-1),=(-3,b-3), 又z1+z2=1+i,∴ ∴z1=4-i,z2=-3+2i. ∴ 解析 ∵,∴z1+z2=z3, 即z1+z2-z3=0. 13.z∈C,若|z|-=1+2i,则z=(　　) A.-2i B.+2i C.2+2i D.2-2i 解析 设z=a+bi(a,b∈R),则|z|--a+bi=1+2i, 故解得故z=+2i. 解析 对应的复数为(3+4i)-(4+i)=(3-4)+(4-1)i=-1+3i,设点D对应的复数为z,则对应的复数为(3-5i)-z. 由平行四边形法则,知, ∴|z|=≥1, D.复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若|z1+z2|=|z1-z2|,则 解析 满足|z-i|=的复数z对应的点在以(0,1)为圆心、为半径的圆上,A错误;设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=. 由z+|z|=2+8i,得a+bi+=2+8i, ∴解得 ∴解得 ∴m+ni=1-2i,∴=1+2i. 解析 |z1-z2|=|(cos θ-sin θ)+2i| = = =, 当sin 2θ=-1时,得最大值 , 当sin 2θ=1时,得最小值2. 20.[2023江苏连云港校级期中]已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若共线,求a的值. 解对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R), 则=(-3,4),=(2a,1). ∵共线, ∴-3=4×2a,解得a=-. 21.已知|z1|=|z2|=1,z1+z2=i,求复数z1,z2及|z1-z2|. 解|z1+z2|==1. 设z1,z2,z1+z2对应的向量分别为,O为原点,则||=||=||=1. 故A,B,C三点均在以原点为圆心,半径为1的圆上. 易得cos∠AOC=,故∠AOC=60°, 又与x轴正半轴的夹角为60°,∴点A在x轴上,即A(1,0). 设点B的坐标为(xB,yB), 则xB=||cos 120°=-,yB=||sin 120°=, ∴点B的坐标为. ∴ ∴|z1-z2|=. $$