10.2.2 复数的乘法与除法(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

１０． ２． ２　 复数的乘法与除法 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．掌握复数代数形式的乘法和除法运算，并会简单应用． ２．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分 配律． 通过复数的乘法、除法运算法则及运 算性质的学习，提升数学运算、逻辑推 理素养． )*+,%-.+ 知识点１　 复数的乘法 　 　 １．复数乘法的定义 　 　 一般地，设ｚ１ ＝ ａ ＋ ｂｉ，ｚ２ ＝ ｃ ＋ ｄｉ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ），称ｚ１ ｚ２（或ｚ１ × ｚ２）为ｚ１ 与ｚ２的积，并规定： 　 　 ｚ１ ｚ２ ＝（ａ ＋ ｂｉ）（ｃ ＋ ｄｉ）＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ［思考］ 　 　 ２．复数乘法的运算律 　 　 对任意ｚ１，ｚ２，ｚ３∈Ｃ，有 交换律 ｚ１ ｚ２ ＝ 　 　 　 　 　 结合律 （ｚ１ ｚ２）ｚ３ ＝ 　 　 　 　 　 乘法对加法的分配律 ｚ１（ｚ２ ＋ ｚ３）＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 ３．复数乘法的运算性质 　 　 ｚｍ·ｚｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 ，（ｚｍ）ｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 ，（ｚ１ ｚ２）ｎ ＝ ｚｎ１ ｚｎ２ ．（其 中ｍ，ｎ∈Ｎ ＋） 　 　 提醒： HOå• 　 　 （１）（ａ ± ｂｉ）２ ＝ ａ２ ± ２ａｂｉ － ｂ２（ａ，ｂ∈Ｒ）； 　 　 （２）（ａ ＋ ｂｉ）（ａ － ｂｉ）＝ ａ２ ＋ ｂ２（ａ，ｂ∈Ｒ）； 　 　 （３）（１ ± ｉ）２ ＝ ± ２ｉ． 　 　 ４． ｉ的乘方运算性质 　 　 ｉ４ ｎ ＋１ ＝ 　 　 　 　 　 ；ｉ４ ｎ ＋２ ＝ 　 　 　 　 　 　 ；ｉ４ ｎ ＋３ ＝ 　 　 　 　 　 ；ｉ４ ｎ ＝ 　 　 　 　 　 ． 　 　 提醒：（１） Tg ｉ０ ＝ １ V ｉ － ｍ ＝ １ ｉｍ （ｍ “ Ｎ） VY ｉ -Ò-ÓÔ+Wö ÀÿÕÀV¦ ｍ “ Ｚ N„?ôÕïh 7 （２） «O ｉ -Ò-ÓÔ+Wd% ｉ -±ÃÒۘh ●/012 １．已知复数ｚ在复平面内对应的点为（３，４），复数ｚ的共轭复数为ｚ，那么ｚ·ｚ ＝ （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ５ Ｂ． － ７ Ｃ． １２ Ｄ． ２５ 思考：（１）复数的乘法与 多项式的乘法有何不同？ （２）｜ ｚ ｜ ２ ＝ ｚ２，正确吗？ 提示：（１） ŽÀ-֍¡ $b?֍}“Â-V b^0P*¦£¤®1 Xå‰*Ê ｉ２ )Õ － １ V ƒ Ê F ”n  ” 4 5 A¥h （２） Pzfh™KV ｜ ｉ ｜ ２ ＝ １ VÙ ｉ２ ＝ － １ h $&* ２．（２０２４·全国甲卷）若ｚ ＝ ５ ＋ ｉ，则ｉ（ｚ ＋ ｚ）＝ （　 　 ） Ａ． １０ｉ Ｂ． ２ｉ Ｃ． １０ Ｄ． ２ ３．已知复数ｚ ＝（１ － ｉ）（１ － ２ｉ），其中ｉ是虚数单位，则ｚ的虚部为 （　 ） Ａ． － ３ Ｂ． ３ Ｃ． － ３ｉ Ｄ． ３ｉ 知识点２　 复数的除法 　 　 １．复数除法的定义 　 　 如果复数ｚ２≠０，则满足ｚｚ２ ＝ ｚ１的复数ｚ称为ｚ１除以ｚ２的商，并记作ｚ ＝ 　 　 　 　 （或ｚ ＝ 　 　 　 　 ）， ｚ１称为被除数，ｚ２称为除数． 　 　 ２．复数除法的意义 　 　 一般地，给定复数ｚ≠０，称１ｚ为ｚ的　 　 　 　 　 ，ｚ１除以ｚ２的商 ｚ１ ｚ２ 也可以看成ｚ１与ｚ２的倒数之 积，显然，利用“　 　 　 　 　 　 ”可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商（除数不 能为０）．当ｚ为非零复数且ｎ是正整数时，规定ｚ０ ＝ １，ｚ － ｎ ＝ １ ｚｎ ． 　 　 ３．复数倒数运算 　 　 设ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则１ｚ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 ，且 １ ｚ ＝ ｚ ｜ ｚ ｜ ２ ． 　 　 ４．复数的除法法则 　 　 设ｚ１ ＝ ａ ＋ ｂｉ，ｚ２ ＝ ｃ ＋ ｄｉ（ｃ ＋ ｄｉ≠０），ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ． 　 　 ｚ１ ｚ２ ＝ 　 　 　 　 　 　 ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 　 　 提醒： 2ŽÀ­-\0¾Ä 7È １ ÉFÀ©u4!n4×*ÖI4×-»¼ŽÀ ｃ － ｄｉ， ©õ÷¦Xå‰V’.¯°FG„—}Ê4×FÀ ©V’¡v?­-4׋bx©ŒØ“ ． È ２ ÉãÀ?u CÐ÷å‰t+F”n”4Ù ． ~5cÚuŽÀ-­“Âpv?-4×bx© ． ●/012 ４．复数ｚ１在复平面内对应的点为（２，３），复数ｚ２ ＝ －２ ＋ ｉ（ｉ为虚数单位），则复数ｚ１ｚ２的虚部为 （　 ）　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ８５ Ｂ． － ８ ５ Ｃ． ８ ５ ｉ Ｄ． － ８ ５ ｉ ５．已知ｉ是虚数单位，复数ｚ ＝ ２ ＋ ｉ３ － ｉ，则复数ｚ在复平面内对应的点位于 （　 ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 知识点３　 实系数一元二次方程在复数范围内的解集 　 　 （１）当ａ，ｂ，ｃ都是实数且ａ≠０时，关于ｘ的方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０称为实系数一元二次方程，这 个方程在复数范围内总有解，而且 　 　 当①Δ ＝ ｂ２ － ４ａｃ ＞ ０时，方程有　 　 　 　 　 　 　 　 ； 　 　 ②当Δ ＝ ｂ２ － ４ａｃ ＝ ０时，方程有　 　 　 　 　 　 　 　 　 ； 　 　 ③当Δ ＝ ｂ２ － ４ａｃ ＜ ０时，方程有两个　 　 　 　 　 　 　 ． 　 　 （２）如果ｘ１，ｘ２为实系数一元二次方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝０（ａ≠０）的解，那么ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ 　 　 　 　 　 　 ， ｘ１ｘ２ ＝ 　 　 　 　 　 　 ． ●/012 ６．若１ ＋槡２ｉ是关于ｘ的实系数方程ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０的一个复数根，则 （　 　 ） Ａ． ｂ ＝ ２，ｃ ＝ ３　 Ｂ． ｂ ＝ － ２，ｃ ＝ ３ Ｃ． ｂ ＝ － ２，ｃ ＝ － １　 Ｄ． ｂ ＝ ２，ｃ ＝ － １ $&+ 3456%789 ●:;<%Ž¨@©Pª¤¦§ １．（１）若ｚ ＝ １ ＋ ｉ，则｜ ｚ２ － ２ｚ ｜ ＝ （　 ） Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ．槡２ Ｄ． ２ （２）（２ ＋ ２ｉ）（１ － ２ｉ）＝ （　 ） Ａ． － ２ ＋ ４ｉ Ｂ． － ２ － ４ｉ Ｃ． ６ ＋ ２ｉ Ｄ． ６ － ２ｉ （３）若复数（１ － ｉ）（ａ ＋ ｉ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 ａ的取值范围是 （　 ） Ａ．（－ ∞，１） Ｂ．（－ ∞，－ １） Ｃ．（１，＋ ∞） Ｄ．（－ １，＋ ∞） ［分析］　 利用乘法公式进行运算． ［归纳提升］ 〉 /CD1 １．（１）已知ｚ在复平面内对应的点的坐标为（１，－ １），则ｚ·（ｚ ＋ １） ＝ 　 　 　 　 ． （２）已知ａ，ｂ∈Ｒ，ｉ是虚数单位，若（１ ＋ ｉ）（１ － ｂｉ）＝ ａ，则ａ ＝ 　 　 　 　 　 ， ｂ ＝ 　 　 　 ． ●:;E%Ž¨@©P«¤¦§ ２．（１）２ － ｉ１ ＋ ２ｉ ＝ （　 ） Ａ． １ Ｂ． － １ Ｃ． ｉ Ｄ． － ｉ （２）若复数ｚ满足ｚ（２ － ｉ）＝ １１ ＋ ７ｉ（ｉ是虚数单位），则ｚ ＝ （　 ） Ａ． ３ ＋ ５ｉ Ｂ． ３ － ５ｉ Ｃ． － ３ ＋ ５ｉ Ｄ． － ３ － ５ｉ 　 　 ［分析］　 复数的除法运算就是分子分母同乘分母的共轭复数，转化 为乘法进行． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ２．（１）已知复数ｚ ＝ １ ＋ ３ｉ１ － ｉ，ｉ为虚数单位，则｜ ｚ ｜ ＝ （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．槡２ Ｂ．槡５ Ｃ．槡１０ Ｄ． ２槡５ （２）（多选题）复数ｚ满足（ｚ － ２）·ｉ ＝ ｚ（ｉ为虚数单位），ｚ为复数ｚ的共 轭复数，则下列说法错误的是 （　 ） Ａ． ｚ２ ＝ ２ｉ Ｂ． ｚ·ｚ ＝ ２ Ｃ． ｜ ｚ ｜ ＝ ２ Ｄ． ｚ ＋ ｚ ＝ ０ 归纳提升：两个复数代 数形式乘法的一般方法 È １ ɇ$b?- ֍LÙ ． È ２ Ƀ+ ｉ２ )Õ － １． È ３ É]÷ƒÆǎÀ -¾n¿RmV©õ" ŽÀ-ãÀ;? ． 归纳提升：１．两个复数 代数形式的除法运算 步骤 È １ ɇ+­?® "4? ． È ２ Ƀ+4!n4 ×*ÖI4×-» ¼ŽÀ ． È ３ É]÷+4!n 4×45ÆÇ֍ RmV¥+i©" ŽÀ-ãÀ;? ． ２．常用公式 （１）１ｉ ＝ － ｉ； （２）１ ＋ ｉ１ － ｉ ＝ ｉ； （３）１ － ｉ１ ＋ ｉ ＝ － ｉ． $&! ●:;>%¬­® ｉP¯eP°±² ３．计算ｉ ＋ ｉ２ ＋ ｉ３ ＋…＋ ｉ２ ０２４ ． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ３．（１）若复数ｚ满足ｚ（１ ＋ ｉ）＝ ｉ２ ０２３ ＋ ２ｉ２，其中ｉ为虚数单位，则ｚ的实部为 （　 　 ） Ａ． １２ Ｂ． － １ ２ Ｃ． ３ ２ Ｄ． － ３ ２ （２）当ｚ ＝ － １ － ｉ 槡２ 时，则ｚ２ ０１０ ＋ ｚ１０２ ＝ 　 　 　 　 ． ●:;n%Œw<³E´'µ¶Žabœ·Pf: ４．已知ｘ ＝ １ ＋ ｉ是方程ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０的一个根（ｂ，ｃ为实数）． （１）求ｂ，ｃ的值； （２）试判断ｘ ＝ １ － ｉ是不是方程的根． ［归纳提升］ 归纳提升：虚数单位ｉ 的周期性 （１）ｉ４ｎ ＋ １ ＝ ｉ，ｉ４ｎ ＋ ２ ＝ － １，ｉ４ｎ ＋ ３ ＝ － ｉ，ｉ４ｎ ＝ １ （ｎ “ Ｎ）； （２）ｉｎ ＋ ｉｎ ＋ １ ＋ ｉｎ ＋ ２ ＋ ｉｎ ＋ ３ ＝ ０（ｎ “ Ｎ）． 归纳提升： È １ ÉFSÀ ^ðñÃ$°-v} Õ2lm-V¦TŽÀ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ “ Ｒ，ｂ ¢ ０） }FSÀ^ðñÃ$° -vVYi»¼ŽÀ ａ － ｂ ｉ }9$°-` ^v ． È ２ É]®FÀÑÒ/ 2NV®ŽÀÑÒ/d %FSÀ^ðñÃ$° ۘVÛÐgx]_v >?Ü]@OVó}Ž 5?Ž$°v-Ýk —Þß¹Ö# ． $'$ 〉 /CD1 ４．（１）已知复数３ － ２ｉ是关于ｘ的方程２ｘ２ － ｍｘ ＋ ｎ ＝ ０的一个根，则实数ｍ，ｎ的值分别为（　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ６，５ Ｂ． １２，１０ Ｃ． １２，２６ Ｄ． ２４，２６ （２）已知关于ｘ的方程ｘ２ ＋（ｋ ＋ ２ｉ）ｘ ＋ ２ ＋ ｋｉ ＝ ０有实数根，则实数ｋ的值为　 　 　 　 　 ． ●QRST%m¸¹ ｜ ｚ ｜ ２ ＝ ｚ２ ５．已知复数ｚ满足条件ｚ２ － ｜ ｚ ｜ － ６ ＝ ０，求复数ｚ． ［错解］　 由ｚ２ － ｜ ｚ ｜ － ６ ＝ ０（｜ ｚ ｜ － ３）（｜ ｚ ｜ ＋ ２）＝ ０． 　 　 因为｜ ｚ ｜ ＋ ２≠０，所以｜ ｚ ｜ ＝ ３． 　 　 则在复平面内以原点为圆心，３为半径的圆上的所有点对应的复数均符合要求． 　 　 ［错因分析］　 本题将复数ｚ的模等同于实数的绝对值，误认为｜ ｚ ｜ ２ ＝ ｚ２ ． 　 　 ［正解］　 　 　 ［误区警示］　 设复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则ｚ２ ＝（ａ ＋ ｂｉ）２ ＝ ａ２ － ｂ２ ＋ ２ａｂｉ，｜ ｚ ｜ ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２，即ｚ２≠ ｜ ｚ ｜ ２，二者不可混淆． 〉 /CD1 ５．已知复数ｚ满足ｚ ＝ － ｜ ｚ ｜，则ｚ的实部 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．不小于０ Ｂ．不大于０ Ｃ．大于０ Ｄ．小于０ XYZ[%\]^ １．如图，若向量→ＯＺ对应的复数为ｚ，且｜ ｚ ｜ ＝槡５，则 １ 珋ｚ ＝ （　 ） Ａ． １５ ＋ ２ ５ ｉ Ｂ． － １５ － ２ ５ ｉ Ｃ． １５ － ２ ５ ｉ Ｄ． － １５ ＋ ２ ５ ｉ ２．已知ｉ是虚数单位，则化简１ ＋ ｉ( )１ － ｉ ２ ０２２ 的结果为 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ｉ Ｂ． － ｉ Ｃ． － １ Ｄ． １ ３．（２０２４·北京卷）已知ｚｉ ＝ － １ － ｉ，则ｚ ＝ （　 　 ） Ａ． － １ － ｉ Ｂ． － １ ＋ ｉ Ｃ． １ － ｉ Ｄ． １ ＋ ｉ ４．若２１ － ｉ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ｉ为虚数单位，ａ，ｂ∈Ｒ），则ａ ＋ ｂ ＝ 　 　 　 　 　 ． ５．设ｚ１ ＝ ａ ＋ ２ｉ，ｚ２ ＝ ３ － ４ｉ，且ｚ１ｚ２为纯虚数，则实数 ａ的值为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［８                           ］ $'# （-+i5-.所以，a解得：对点做 4.A由复数模及复数减法运算的几问意义，结合条件可知复数 =1,y=0, z的对应点P到△ABC的顶点A、B,C距离相等，.P为△ABC 所以=3-2i,=-2+i,则+为=1-i, 的外心 所以1，+=2 课堂检测固双基 对点训练 1.Dx=4+i+(3+2i)=7+3i 1.(1)C(2)见解析(3)见解析 2.A由复数的运算法则可得1-2=(3+i)-(2-i)=1+2i, u油618C 其在复平面内对应的点为(1,2)，所以云-三在复平面内对应 lb=-1. 的点位于第一象限，故选A ∴，0+bi=-2-i. 3.A依题意，得+1=2所以=引所以=1 ·复数：表示的点位于复平面内的第三象限。 L1-y=0, ly=1. (2)方法一：设：=x+i(x,yeR),因为：+1-3i=5-2i,所以x+ 4.(4,-2)AC=BC-B, .AC对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i. i+(1-3i)=5-2i.即x+1=5且y-3=-2,解得x=4.y=1,所 设C(x,y),则(x+yi)-(2+i)=2-3i, 以：=4+i. .x+yi=(2+i0+(2-3i)=4-2i, 方法二：因为z+1-3i=5-2i.所以：=(5-2i)-(1-3i)= .x=4,y=-2 4+i. .点C在复平面内的坐标为(4，-2). (3)设：=x+i(x,yeR),则l=√2+7 5.-1-7i 由复数加，减法的几何意义可得=子( 又：+：=1+3i,所以√+y+x+1=1+3i,由复数相等 得V公+了+=l,解得4所以：=-4+3 励)，其对应的复数为与-6-81+4-60)=-1-7元 y=3, y=3, 例2：(1)40=-0i,.Ad所表示的复数为-3-2i 10.2.2复数的乘法与除法 B配=AdBC所表示的复数为-3-2i 必备知识探新知 (2)=0-0元 知识点11.(ac-bd)+(d+bc)i2.1() .C1所表示的复数为(3+2i)-(-2+4)=5-2i. 2121+12 3."”24.i-1-i1 (3)对角线0亦=0+0记，它所对应的复数：=(3+2i)+对应练习 (-2+4i)=1+6i,10i1=√1+6=√37. 1.D由题意：=3+4i.则：·2=12=（√/32+4）2=25. 对点训练 2.A由：=5+i一z=5-i,:+=10,则i(:+:)=10i,故选A. 2.(1)A形对应的复数为n-=(2+i)-1=1+iB武对应的复3.A:=(1-i)(1-2i)=1-2-3i=-1-3i,则：的虚部为 数为-w=(-1+2i)-(2+i)=-3+i.AC对应的复数为 -3.故选A. 6-8w=(-1+2i)-1=-2+2i. 知识点21.1 (2)由(1)知M=√个+下=2，BC1=√（-3)+下=√0， +2钢致分母实数化3号：法 1MC1=√(-2)+2=22，所以1A1+1AC12=1BC2, 4.ut bi ac bd be-ad. c+di c+de+ 所以△ABC为直角三角形. 对应练习 (3)sm=id=7×2x2,2=2 4.B因为复数3，在复平面内对应的点为(2,3).所以，=2+ 例3：(1)B(2)见解析(1)因为：= 1则2=222=1，-3 -2+i(-2+i)(-2-i) a+i(a,beR),则：-i=a+(b-1)i,z+ 2-i=(a+2)+(b-1)i, 所以复数子的虚部为-号故选B 由1：-i1=1:+2-i1可得 √2+(b-1)=√(a+2)+(b-1),解 sD-g885+宁…子 得a=-1,则x=-1+所i.所以z-3+3i三 二复数在复平面内对应的点位于第四象限故选D. -4+(b+3)i, 知识点3(1)两个不相等的实数根两个相等的实数根互为共 因此，1：-3+3i1=√(-4)2+(b+3)≥4，当且仅当b 轭的虚数根(2)-么二 aa =-3时，等号成立，故1：-3+3i1的最小值为4. 对应练习 (2)设M(-5,-1),如图所示，则1Oi1=6B实系数方程虚根成对，所以1-2i也是方程2+bc+c=0的 V(-5)2+(-1)2=2. 一个根， 所以1lm=2+1=3,llm=2-1=1 由根与系数的关系得，-b=(1+2i)+(1-2i)=2,所以 对点训练 b=-2,e=(1+2i)(1-2i)=1+2=3 3.因为：=1且x∈C,作图如图： 所以b=-2.c=3.故选B. 所以1：-2-21的儿何意义为单位圆上的点 P22) 关键能力攻重难 M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以 例1：(1)D(2)D(3)B(1)由题意可得=(1+i)2=2i. 1:-2-2i1的最小值为10P1-1=22-1. 则2-2上=2i-2(1+i)=-2故1-2=1-21=2.故选D 例4：B根据复数加（减）法的几何意 (2)(2+2i)(1-2)=2+4-4i+2i=6-2.放选D. 义，知以O,O丽为邻边所作的平行四边形的 (3):=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为对应的点在第 对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三 角形 二象限，所以日8新得a<-1放选且 -190 对点训练 1.(1)1-3i(2)21(1)::在复平面内对应的点的坐标为 解得-√F-6=0或广+了+6=0（无解）， Ly=0 [x=0 (1,-1),.x=1-i,∴.z·(:+1)=(1-i)(2-i)=1-3i. (2)因为1+i)(1-i)=1+b+(1-b)i=a. 即V尽-3)(F+2)=0,解得{任±3， ly=0. ly=0. 又a.b∈R,所以1+b=a且1-b=0, 得a=2.b=1. 故x=3或：=-3. 对点训练 例2：(D2A-得，器-亨：-i设：a+abeR, 故选D. :=-1l,a+i=-√a2+6 (2).“x(2-i)=11+7i. 六：-售7没295酒3+放选A {8三。合解得化8数：的实部不大于0 (2-i)(2+i) 5 b=0」 课堂检测固双基 对点训练 1.D由题意，设z=-1+i(b>0),则1=√/个+6=5，解得 20B2A0D0:=得9=.-1+点，a 2 6:2.即：=-1+2，所以▣2 =√(-1)+2=5.故选B -2i-2i(1+i) -1+2i (2)油(：-2)i=,得i-2i=,=1-)(1+5 ! 1221方+号放选n 5 山，=1-沙=一21a2,=+2,2C因为复数}==1+所以 2 故B正确，A,C,D错误.故选ACD 例3：”++2+小=0， 1+i2 1-i =四==-1，故选C 1+2++…+2=(+产+护+)+（的++7+）3.C由题意得：=(-1-i)=1-i故选C +…+(@+2@+2m+24)=0. 2(1+i) 对点训练 42因为2=+行=1+i,所以1+i=a+i,所以a 3.(1)D(2)0(1)由复数：满足：(1+i)=2+2= =1,b=1,所以a+b=2 0-2=-2=-2-i.可得：=品5号设26R且60.所以5i即a+ 1+i 3 “一子+宁，所以复数：的实廊为- 6i(3-4)=46+3bi,所以g=4北所以a=氵 12=3b. (2=-1- 2)=-i °10.3 复数的三角形式及其运算 20+:m=(-i)8+(-i)列 =(-i)4·(-i)+(-i)"·(-i)3 第1课时复数的三角形式 =-i+i=0. 必备知识探新知 例4：(1)因为1+i是方程x+x+c=0的根， 所以(1+i)2+b(1+i)+e=0,即(b+c）+(2+b)i=0, 知识点1r(eos0+isin0)辐角 所以660每得22 对应练习 I1.(1)×(2)×(3)×(4)V 12+b=0. 故b的值为-2，c的值为2 2子曲到=a.…0方 又因为1+i对 (2)由(1)知方程可化为x2-2x+2=0. 把x=1-i代人方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i) 应的点位于第一象限， +2=0,显然方程成立，所以x=1-i也是方程的根 对点调练 所以g1+i)=开所以：=@牙+isin牙) 4.(1)C(2)±22(1)复数3-2i是关于x的方程2x2-mx 知识点2(1)2m(2)ag: +n=0的一个根，则复数3+2i也是关于x的方程2x2-m+ 对应练习 n=0的-个根3-2i+3+2i=受，(3-2i)(3+2)=2 3.B由镉角主值的定义，知复数：=c0s平+iim牙的循角主值 ∴.m=12,n=26.故选C 是牙故选B (2)设是方程的实数根，代入方程并整理得（后+似。+2）+ (2x+k)i=0. 4.D=-血设+im设=m(受+调)+in(受+ 由复数相等的充要条件得居+，+2=0。 12xm+k=0, 一)+号，故复数：的辐角主值为号放选 解得=2，。或-石. 关键能力攻重难 k=-22,k=22. 例1：(1)1-1+i1=2 所以k的值为-2,2或2v2. 点(-1,1)在第二象限，又tan0=-1, 例5：设x=x+i(x,y后R) 所以g(-1+)=平 则由条件得x2-y2+2i-√量+y-6=0. 由复数相等的充要条件得 (2)15-i1=2,点（瓦，-1）在第四象限，又m0=- 3 ∫x2-y2-√+3y2-6=0. 2y=0, 所以rg(,5-i)=知 6 -191