第7章 三角函数 章末复习课 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

章末复习课 第七章　三角函数 知识网络 内容索引 一、三角函数的定义 二、同角三角函数的基本关系式及诱导公式 四、三角函数的图象变换 三、三角函数的图象与性质 三角函数的定义 一 1.利用三角函数的定义求三角函数值，以及利用三角函数的定义判断三角函数值的符号是常见考查题型，含参时要注意检验是否出现增根或分类讨论. 2.掌握三角函数的定义，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例1　已知角θ的终边经过点P( ，m)(m≠0)且sin θ＝ ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值. 6 7 8 利用三角函数定义求三角函数值，注意平方能出现增根，开方需取正，所以含参时要检验或分类讨论. 反思感悟 9 跟踪训练1　(1)若sin α＜0且tan α＞0，则α是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 √ ∵sin α<0，∴α的终边在第三或第四象限， ∵tan α＞0，∴α的终边在第一或第三象限， 故α是第三象限角. 10 √ 11 二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 1.同角三角函数有两个基本关系式，重点考查给值求值和给式求值以及简单的三角函数式的化简、证明.在求值过程中注意角的范围、三角函数值的正负判断，在化简、证明中充分利用“1”的作用. 2.诱导公式可概括为k· ±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.其中，奇、偶是指 的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变.符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号. 3.掌握正弦、余弦、正切值之间的基本关系及诱导公式，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例2　已知 ＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值. 14 解得tan θ＝2. ∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ) ＝4sin θcos θ－sin2θ－3cos2θ 15 解得tan θ＝2. ∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ) ＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos2θ 16 (1)关于同角三角函数的基本关系 一是利用基本关系进行直接运算，二是综合利用基本关系进行弦、切互化，整体代换求值等. (2)关于诱导公式的应用 首先结合口诀理解、熟记诱导公式，其次在应用的过程中要善于观察角度之间的关系，如互余、互补、拆分出特殊角等，以达到灵活应用目的. 反思感悟 17 18 19 三角函数的图象与性质 三 1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧. 2.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象. 3.掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养. 例3　函数f(x)＝3sin 的部分图象如图所示. (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； 22 (2)求f(x)的单调递减区间； 23 24 三角函数的四条性质 (1)单调性：求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”. 反思感悟 25 (3)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋B的形式. (4)对称性：求形如y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心和对称轴，把ωx＋φ视为一个整体，分别与y＝sin x，y＝cos x的对称中心、对称轴对应解出x，即得相应函数的对称中心的坐标和对称轴方程.对于y＝tan(ωx＋φ)的对称中心，则令ωx＋φ＝ (k∈Z)解得. 反思感悟 26 √ 27 28 29 30 三角函数的图象变换 四 1.重点考查三角函数的平移变换、伸缩变换和解析式的确定，通过对图象的描述、观察来讨论函数的有关性质. 2.掌握平移和伸缩变换，以及由图象求解析式，重点提升直观想象和逻辑推理素养. 例4　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的部分图象. (1)求此函数的解析式； 33 34 (2)分析该函数的图象是由y＝sin x的图象如何变换得来的？ 35 然后将得到的图象上所有点的纵坐标保持不变， 36 (1)由图象求解析式一般采用待定系数法求A，ω，φ.求φ时一般代入函数图象上的最高点或最低点. (2)先平移后伸缩与先伸缩后平移，两者平移的量是不同的.左右平移只是把x变成x±φ，其他不变，左右伸缩只是把x变成ωx或 ，其他不变. 反思感悟 37 跟踪训练4　把函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移 个单位，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，求ω和φ的值. 38 因为函数g(x)的最小正周期为2π，所以ω＝2， 又因为函数g(x)为奇函数， 39 － m 当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，角θ是第二象限角， 所以cos θ＝＝＝－， tan θ＝＝＝－， 由题意得，r＝， 所以sin θ＝＝m. 因为m≠0，所以m＝±，故角θ是第二或第三象限角. 当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝＝＝－， tan θ＝＝＝. 所以cos α＝＝－，所以m＝. (2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为 A.－ 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D. 由题意得点P(－8m，－3)，r＝， ＝＝. 方法一　由已知得＝－4， ＝ ＝ 方法二　由已知＝－4， 即＝2，∴sin θ＝2cos θ. ＝＝＝. 跟踪训练2　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值. 则cos α＝－， ∴·tan2(π－α)＝·tan2α ＝－tan2α＝－＝－. 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2， 由α是第三象限角，得sin α＝－， 令2x＋＝＋kπ，k∈Z， 则x＝＋，k∈Z， 当k＝2时，x0＝，y0＝3.  f(x)的最小正周期T＝＝＝π， 所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z. 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z. 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 即x＝－时，f(x)取得最大值0； (3)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 当2x＋＝－， 即x＝－时，f(x)取得最小值－3. 因为x∈，所以2x＋∈， 于是当2x＋＝0， (2)周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为. 跟踪训练3　(1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是 A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 令－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z. 解得－＋＜x＜＋，k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)函数y＝sin的图象的对称中心和对称轴方程分别为 ________________________________. (k∈Z)，x＝＋，k∈Z ∴f(x)的对称中心为(k∈Z). 令2x－＝＋kπ，k∈Z， 解得x＝＋，k∈Z. ∴f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z. 令2x－＝kπ，k∈Z， 解得x＝＋，k∈Z， ∴y＝sin(2x＋φ)－1. 当x＝时，2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜， ∴φ＝，故所求函数的解析式为y＝sin－1. 由图象知A＝＝，k＝＝－1，T＝2×＝π， ∴ω＝＝2， 得到y＝sin的图象， 最后把函数y＝sin的图象向下平移1个单位， 得到y＝sin－1的图象. 把y＝sin x的图象向左平移个单位，得到y＝sin的图象， 横坐标缩短为原来的，得到y＝sin的图象， 再将得到的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的， x 则g(x)＝2cos. 所以φ＋＝＋kπ，k∈Z， 所以φ＝＋kπ，k∈Z.又0<φ<π，则φ＝. 依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)＝2cos， 则函数g(x)＝2cos. $$