7.2.4 诱导公式(2) （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

7.2.4　诱导公式(二) 第七章　§7.2　任意角的三角函数 学习目标 1.了解公式⑤⑥⑦⑧的推导方法. 2.能够准确记忆公式⑤⑥⑦⑧. 3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明. 回顾前面的学习，我们根据三角函数的定义，利用单位圆推出了一组神奇的公式，利用它可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，单位圆，这是一个多么美妙的图形！它就像一轮光芒四射的太阳，照耀我们的探究之路，又像一艘轮船，引领我们在知识的海洋里航行，这节课，我们将继续在单位圆中探寻三角函数的奥秘. 导语 内容索引 一、公式⑤～⑧ 二、利用诱导公式求值 课时对点练 三、诱导公式的综合应用 随堂演练 公式⑤～⑧ 一 问题　观察下图，在单位圆中，我们作了点P关于直线y＝x的对称点P′，你能发现这两点有什么关系吗？ 1.诱导公式⑤ cos α sin α 2.诱导公式⑥ cos α －sin α 知识梳理 9 3.诱导公式⑦ sin α －cos α 4.诱导公式⑧ －sin α －cos α 知识梳理 10 注意点： 诱导公式⑤～⑧的记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”，即 ±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加 上把α看成锐角时原函数值的符号. 知识梳理 11 二 利用诱导公式求值 例1　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是 √ sin 239°tan 149° ＝sin(180°＋59°)tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°) ＝－sin(90°－31°)(－tan 31°) ＝－cos 31°(－tan 31°)＝sin 31° 13 14 延伸探究 15 16 因为α是第三象限角，所以－α是第二象限角， 17 解决化简求值问题的策略 (1)首先要仔细观察已知式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化. 反思感悟 18 √ 19 三 诱导公式的综合应用 例2　已知α是第三象限角，f(α)＝ ＝－tan α. (1)化简f(α)； 21 因为α是第三象限角， 22 诱导公式综合应用要“三看” (1)看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系. (2)看函数名称：一般是弦切互化. (3)看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形. 反思感悟 23 24 25 1.知识清单：诱导公式⑤⑥⑦⑧. 2.方法归纳：公式法、角的构造. 3.常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造. 课堂小结 随堂演练 四 1.sin 95°＋cos 175°的值为 A.sin 5° 　　　　B.cos 5° 　　　　C.0 　　　　D.2sin 5° 原式＝cos 5°－cos 5°＝0. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 2 课时对点练 五 1.已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°等于 A.a 　　　　B.－a 　　　　C.a2 　　　　D. cos 64.7°＝cos(90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.x轴的负半轴上 ∴|cos α|＝－cos α， ∴cos α≤0， ∴α的终边在第二、三象限或在x轴的负半轴上. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是 A.sin(3π－x)＝sin x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ sin(3π－x)＝sin(π－x)＝sin x，A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.sin21°＋sin22°＋sin245°＋sin288°＋sin289°＝____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以sin α＝2cos α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求m的值； 解得m＝±1. 因为α为第二象限角，所以m＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 求：(1)sin α－cos α； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴sin α>cos α>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)sin2α－cos2α. (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴sin2α－cos2α＝(sin α－cos α)(sin α＋cos α) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 令x＋4＝1，得x＝－3，所以函数y＝loga(x＋4)＋4的图象恒过定点A(－3,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sin(α－15°)＋cos(105°－α) ＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 所以△ABC为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图，以x轴的正半轴为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与 单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为 .若OP⊥OQ,3sin β－4cos β ＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知，f(α)＝sin α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即(5cos α－4)(5cos α＋3)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　如图，过点P向x轴作垂线，垂足为A，过点P′向y轴作垂线，垂足为B，由图象的对称性可知，∠AOP＝∠BOP′＝α，故OP′为－α的终边，以OP′为终边的角γ可以表示为γ＝2kπ＋(k∈Z)， 在Rt△AOP和Rt△BOP′中，OP＝OP′，故△AOP≌△BOP′，即P的横坐标与P′的纵坐标相同，P的纵坐标与P′的横坐标相同，若点P的坐标为(x，y)，则点P′的坐标为(y，x)，根据三角函数的定义，于是我们可以得到sin α＝y，cos α＝x；cos＝y，sin＝x. cos＝________. sin＝______， cos＝______. sin＝______， sin＝_______. cos＝______， sin＝_______. cos＝_______， ±α， A. 　　B. 　　C.－ 　　D.－ ＝＝. ＝sin＝. cos＝cos (2)已知sin＝，则cos的值为_____. 1.将本例(2)的条件中的“－”改为“＋”，求cos的值. cos＝cos ＝－sin＝－. 2.将本例(2)增加条件“α是第三象限角”，求sin的值. 所以sin＝sin ＝－sin＝－sin＝－cos＝. 又sin＝， 所以－α是第二象限角， 所以cos＝－， 提醒：常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等. 跟踪训练1　已知sin＝，则cos的值等于 A. 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D.－ cos＝cos ＝－sin＝－.  f(α)＝ . ＝ 则sin α＝sin＝－sin ＝－， cos α＝cos＝－cos ＝－， 所以cos α－sin α＝. 由(1)可得f(α)＝－tan α＝－，则tan α＝， (2)已知f(α)＝－，求cos α－sin α的值 所以α＝(2k＋1)π＋，k∈Z. 跟踪训练2　已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值. 所以原式＝＝－·＝×＝2. 因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P， 所以a<0，且a2＋＝1，所以a＝－， 所以sin α＝，cos α＝－， ∴sin＝－cos α＝－. ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝， 2.若cos(2π－α)＝，则sin等于 A.－ 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D.± cos＝sin θ>0，所以角θ是第二象限角. 由于sin＝cos θ<0， 3.若sin<0，且cos>0，则θ是 ＝＝＝2. ＝ 4.设tan α＝3，则＝______. ∵sin(π＋α)＝－sin α＝， 2.已知sin(π＋α)＝，则cos等于 A.－ 　　　　B. 　　　　C.－ 　　　　D. ∴cos＝－sin α＝. cos＝cos 3.若sin＝，则cos等于 A.－ 　　　　B. 　　　　C.－ 　　　　D. ＝sin＝. 原等式可化为－cos α＝， 4.(多选)已知sin＝，则角α的终边可能在 ∴－cos α＝， ∵cos＝－sin φ＝， 5.已知cos＝，且|φ|<，则tan φ等于 A.－ 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D. ∴sin φ＝－<0， ∵|φ|<，∴φ＝－， ∴tan φ＝tan＝－tan ＝－. B.sin ＝cos  C.cos＝sin 3x D.cos＝－sin 2x sin ＝sin＝cos ，B正确； cos＝cos＝－sin 3x，C错误； cos＝sin 2x，D错误. 原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋2＝1＋1＋＝. 因为cos＝2sin， 8.已知cos＝2sin，则＝_____. 原式＝＝＝. 由三角函数定义可知sin α＝＝， 9.已知角α的终边经过点P(m,2)，sin α＝且α为第二象限角. 由(1)知tan α＝－2， (2)若tan β＝，求的值. 所以＝－ ＝－＝－＝. 10.已知sincos＝，且<α<. ∵sin＝－cos α，cos＝cos＝－sin α， ∴sin αcos α＝， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝. 又<α<， ∴sin α－cos α＝. ＝1＋2×＝. ∴sin α＋cos α＝， ＝×＝. 11.函数y＝loga(x＋4)＋4(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则cos等于 A.－ 　　　　B. 　　　　C.－ 　　　　D. 因为点A在角θ的终边上，所以sin θ＝＝，即cos＝－sin θ＝－. ＝－2cos(75°＋α)＝－. 12.已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是 A. 　　　　B. 　　　　C.－ 　　　　D.－ 13.在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，cos A＝－cos(π－B)，则△ABC为 由sin＝3sin(π－A)可得cos A＝3sin A，所以tan A＝， 又0<A<π，所以A＝， 再由cos A＝－cos(π－B)可得cos A＝cos B，所以cos B＝， 又0<B<π，所以B＝，所以C＝， － 由已知得cos α＝－，sin α＝. 由题意知β＝α－， ∴sin β＝sin＝－sin＝－cos α＝， cos β＝cos＝cos＝sin α＝. ∴3sin β－4cos β＝－＝－. 15.当θ为第二象限角，且sin＝时，cos －sin 的值是 A. 　　B.　　　C. 　　D. ∴为第一象限角， 又cos2＋sin2＝1，∴sin ＝， ∴cos －sin ＝－＝. 由题意知2kπ＋<θ<2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＋<<kπ＋，k∈Z， ∴为第一象限角或第三象限角. ∵sin＝，∴cos ＝， 16.已知f(α)＝. (1)若α∈(0,2π)，且f(α)＝－，求α的值；  f(α)＝ ＝＝＝sin α. 所以f(α)＝sin α＝－， 因为α∈(0,2π)，则α＝或α＝. (2)若f(α)－f ＝，且α∈，求tan α的值. 所以f(α)－f ＝sin α－sin＝sin α＋cos α＝， 所以sin α＝－cos α， 所以cos2α＋2＝1， 可得cos α＝或cos α＝－. 因为α∈， 则cos α＝－， 所以sin α＝－cos α＝－＝. 所以tan α＝＝－. $$