7.2.4 诱导公式(1) （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

7.2.4　诱导公式(一) 第七章　§7.2　任意角的三角函数 学习目标 1.了解三角函数的诱导公式①②③④的意义和作用. 2.理解诱导公式①②③④的推导过程. 3.能运用诱导公式解决一些三角函数式的求值、化简等问题. 在前面的学习中，我们知道能够利用任意角三角函数的定义求三角函数值，为了方便计算需要将绝对值较大的三角函数值转化为0°～360°角的三角函数值，进而对于90°～360°角的三角函数值进一步把它们转化到锐角范围内求解，这就是今天要学习的内容. 导语 内容索引 一、诱导公式①～④ 二、给角求值 课时对点练 三、给值求值 随堂演练 四、利用公式进行化简 诱导公式①～④ 一 问题1　终边相同的角的同名三角函数值具有什么关系？ 提示　相等. 问题2　观察如图，思考我们是如何定义三角函数的？ 提示　三角函数的定义的核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等.由图象可知，点P1与P2关于原点对称，点P1与P2两点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，以OP2为终边的角β可以表示成β＝(π＋α)＋2kπ，k∈Z. 问题3　知道了终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与角π＋α的三角函数值之间的关系吗？ 1.公式① sin(α＋k·2π)＝_____(k∈Z)， cos(α＋k·2π)＝_____(k∈Z)， tan(α＋k·2π)＝_____(k∈Z). 2.公式② sin(－α)＝________， cos(－α)＝_______， tan(－α)＝________. sin α cos α tan α －sin α cos α －tan α 知识梳理 9 3.公式③ sin(π－α)＝_____， cos(π－α)＝_______， tan(π－α)＝________. 4.公式④ sin(π＋α)＝_______， cos(π＋α)＝_______， tan(π＋α)＝_____. sin α －cos α －tan α －sin α －cos α tan α 知识梳理 10 5.角的旋转对称 一般地，角α的终边和角β的终边关于角______的终边所在的直线对称. 知识梳理 11 注意点： 诱导公式①～④的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”，其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所对应的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋ ，k∈Z. 知识梳理 12 二 给角求值 例1　利用公式求下列三角函数值： (1)cos(－480°)＋sin 210°； 原式＝cos 480°＋sin(180°＋30°) ＝cos(360°＋120°)－sin 30° 14 15 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式①或②来转化. (2)“大化小”——用公式①将角化为0°到360°间的角. (3)“小化锐”——用公式③或④将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值. 反思感悟 16 0 17 三 给值求值 √ 因为α是第一象限角，所以sin α>0， 20 21 延伸探究　若本例(2)中的条件不变，求cos 的值. 22 解决给值求值问题的策略 (1)要仔细观察已知式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 反思感悟 23 跟踪训练2　已知tan(148°－α)＝ ，则tan(212°＋α)＝_____. tan(212°＋α)＝tan(360°＋α－148°) 24 四 利用公式进行化简 26 27 三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数. (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数. (3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan  . 反思感悟 28 √ 解得tan θ＝－3. 29 1.知识清单： (1)特殊关系角的终边对称性. (2)诱导公式①②③④. 2.方法归纳：函数名不变，符号看象限. 3.常见误区：符号的确定. 课堂小结 随堂演练 五 1.sin 2 023°等于 A.sin 43° B.－sin 43° C.sin 47° D.－sin 47° 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 －1 课时对点练 六 1.cos 570°等于 cos 570°＝cos(360°＋210°) ＝cos 210°＝cos(180°＋30°) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.若sin(－110°)＝a，则tan 70°等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵sin(－110°)＝－sin 110° ＝－sin(180°－70°) ＝－sin 70°＝a， ∴sin 70°＝－a， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵tan(5π＋α)＝m， ∴tan α＝m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 故a，b，c的大小关系是b>a>c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)在△ABC中，下列式子为常数的是 A.sin(A＋B)＋sin C B.cos(A＋B)＋cos C C.sin(2A＋2B)＋sin 2C D.cos(2A＋2B)＋cos 2C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ A项，sin(A＋B)＋sin C＝sin(π－C)＋sin C＝sin C＋sin C＝2sin C； B项，cos(A＋B)＋cos C＝cos(π－C)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0； C项，sin(2A＋2B)＋sin 2C＝sin 2(A＋B)＋sin 2C＝sin 2(π－C)＋sin 2C＝sin(2π－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0； D项，cos(2A＋2B)＋cos 2C＝cos 2(A＋B)＋cos 2C＝cos 2(π－C)＋cos 2C＝cos(2π－2C)＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)化简f(α)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ A.sin 2＋cos 2 B.cos 2－sin 2 C.sin 2－cos 2 D.±(cos 2－sin 2) ＝|sin 2－cos 2|， 因为2弧度的终边在第二象限，故sin 2>0>cos 2， 所以原式＝sin 2－cos 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 13.已知n为整数，化简 所得的结果是 A.tan nα B.－tan nα C.tan α D.－tan α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 当n＝2k＋1，k∈Z时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故原式＝tan α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 022)＝－1，则f(2 023)的值为____. ∵f(2 022)＝asin(2 022π＋α)＋bcos(2 022π＋β)＝－1， ∴f(2 023)＝asin(2 023π＋α)＋bcos(2 023π＋β) ＝asin[π＋(2 022π＋α)]＋bcos[π＋(2 022π＋β)] ＝－[asin(2 022π＋α)＋bcos(2 022π＋β)]＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2， 即sin2α＋3(1－sin2α)＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ① ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　设P1(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则P2(－x，－y)，根据三角函数的定义可知，y＝sin α，x＝cos α，＝tan α(x≠0)，sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，tan(π＋α)＝. ＝cos 120°－ ＝cos(180°－60°)－ ＝－cos 60°－＝－－＝－1. (2)sin·cos ·tan . ＝－××＝－. 原式＝sin·cos·tan＝sin ·cos·tan  ＝sin·cos ·tan  ＝－sin ·cos ·tan  ＝sin －tan ＋cos  ＝－1＋＝0. 跟踪训练1　sin ＋tan －cos＝____. 原式＝sin＋tan－cos  ＝sin ＋tan－cos 例2　(1)已知cos(π－α)＝－，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是 A. 　　　　B.－ 　　　　C.± 　　　　D. 所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－. 因为cos(π－α)＝－cos α＝－， 所以cos α＝， 所以sin α＝＝＝， (2)已知cos＝，则cos＝______. － cos＝cos＝－cos＝－. cos＝cos＝cos＝cos＝. － ＝tan(α－148°)＝－tan(148°－α)＝－. 原式＝＝＝＝1. 例3　化简：(1)； ＝＝－1. 原式＝ (2). ＝＝ 跟踪训练3　若＝，则tan θ等于 A. 　　　　B.－ 　　　　C.－3 　　　　D.3 ＝＝， 分子分母同除以cos θ，得＝， 2.log2的值为 A.－1 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D. 所以sin α＝－. 又α是第四象限角，所以cos α＝， 所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－. 因为sin(π＋α)＝－sin α＝， 3.已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是 A. 　　　　B.－ 　　　　C.± 　　　　D. 原式＝·tan α＝·＝－1. 4.化简：·tan(π＋α)＝____. ＝－cos 30°＝－. A.－ 　　　　B. 　　　　C.－ 　　　　D. A. B.－ C. D.－ ∴cos 70°＝＝， ∴tan 70°＝＝－. 因为tan＝tan 3.已知tan＝，则tan等于 A. 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D.－ ＝tan＝. 原式＝＝＝＝. 4.设tan(5π＋α)＝m，则的值为 A. 　　　B.　　　　C.－1 　　　D.1 5.已知a＝tan，b＝cos ，c＝sin，则a，b，c的大小关系是 a＝tan＝－tan＝－tan ＝－； b＝cos ＝cos＝cos＝cos ＝； c＝sin＝－sin＝－sin ＝－； 由于>－>－， 原式＝·tan(－α) 7.化简：·tan(2π－α)＝_____. ＝·(－tan α) ＝－·＝－1. 由cos(π＋α)＝－，得cos α＝， 8.若cos(π＋α)＝－，<α<2π，则sin(α－2π)＝______. － 故sin(α－2π)＝sin α＝－＝－＝－(α为第四象限角). 原式＝ 9.求值：. ＝ ＝－＝－＝－.  f(α)＝－＝－cos α. 10.已知f(α)＝. ∵sin(α－π)＝－sin α＝， (2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值； ∴sin α＝－. 又α是第三象限角，∴cos α＝－， ∴f(α)＝. ∵－＝－5×2π－， (3)若α＝－，求f(α)的值. ∴f ＝－cos ＝－cos＝－cos ＝－. sin＝sin 11.已知sin＝，则sin的值为 A. 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D.－ ＝sin＝. ＝＝ 12.化简：得 方法一　当n＝2k，k∈Z时，＝＝＝tan α； ＝＝＝＝tan α. 方法二　＝tan(nπ＋α)＝tan α. 依题意，得f ＝sin＝sin＝sin ＝； 14.已知f(x)＝则f ＝____；f ＝_____. －  f ＝f －1＝f －2＝sin－2＝－－2＝－. 16.已知sin(π－α)＝－sin(π＋β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β. 由题意得 ∴sin2α＝，∴sin α＝±. ∵0<α<π，∴sin α＝，∴α＝或α＝. 把α＝，α＝分别代入②， 得cos β＝或cos β＝－. 又∵0<β<π，∴β＝或β＝. ∴α＝，β＝或α＝，β＝. $$