第9章 统计 章末复习课-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

一、抽样方法的选取及应用 1．三种抽样方法的适用范围：当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法；当总体中个体差异较显著时，可采用分层随机抽样，但是要明确是否按比例分配． 2．掌握不同抽样方法，提升数据分析素养． 例1　某学校在校学生有3 000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且a∶b∶c＝2∶3∶4，全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本进行调查，则应从高二年级参加跑步的学生中抽取(　　) A．15人 B．30人 C．45人 D．60人 答案　D 解析　由题意，可知全校参加跑步的人数为3 000×＝1 800，所以a＋b＋c＝1 800.因为a∶b∶c＝2∶3∶4，所以b＝1 800×＝600.因为按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，所以应从高二年级参加跑步的学生中抽取的人数为600×＝60. 反思感悟　分层随机抽样仅分层抽取，但如何抽取，情况不确定，如果强调了按比例分配，即按“＝”进行抽样． 跟踪训练1　(1)以下抽样方法是简单随机抽样的是(　　) A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的是三等奖 B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格 C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见 D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验 答案　D　 解析　选项A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样． (2)某校为了营造浓厚的校园体育氛围，采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一1 200人、高二1 450人、高三n人中，抽取80人观看排球决赛，已知高一被抽取的人数为24，那么高三年级人数n为(　　) A．1 250 B．1 300 C．1 350 D．1 400 答案　C 解析　利用按比例分配的分层随机抽样的方法可知抽取比例为，又因为高一被抽取的人数为24，所以＝，解得n＝1 350. 二、用样本的取值规律估计总体的取值规律 1．根据样本容量的大小，我们可以选择利用样本的频率分布表、频率分布直方图对总体情况作出估计． 2．掌握频率分布直方图的绘制及应用，提升数据分析和数学运算素养． 例2　为了解高一年级学生的智力水平，某校按1∶10的比例对700名高一学生按性别分别进行“智力评分”抽样检查，测得“智力评分”的频数分布表如表1、表2. 表1：男生“智力评分”频数分布表 智力评分(分) [160,165) [165,170) [170,175) 频数 2 5 14 智力评分(分) [175,180) [180,185) [185,190] 频数 13 4 2 表2：女生“智力评分”频数分布表 智力评分(分) [150,155) [155,160) [160,165) 频数 1 7 12 智力评分(分) [165,170) [170,175) [175,180] 频数 6 3 1 (1)求高一年级的男生人数，并完成下面男生“智力评分”的频率分布直方图； (2)估计该校高一年级学生“智力评分”在[165,175)内的人数． 解　(1)样本中男生人数是40，由抽样比例是1∶10可得高一年级男生人数是400， 男生“智力评分”的频率分布直方图如图所示． (2)样本中“智力评分”在[165,175)内的频数为28，所以估计该校高一年级学生“智力评分”在[165,175)内的学生人数为28×10＝280. 反思感悟　(1)绘制频率分布直方图时需注意的两点 ①制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确； ②频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率． (2)与频率分布直方图计算有关的两个关系式 ①×组距＝频率； ②＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数． 跟踪训练2　某单位为了更好地开展党史学习教育，举办了一次党史知识测试，其200名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则m＝________，这200名职工成绩的第75百分位数为________． 答案　0.04　87.5 解析　根据题意，得(0.01＋0.01＋m＋0.02＋0.02)×10＝1，解得m＝0.04，由于前三组的频率和为0.6，前四组的频率和为0.8， 所以这200名职工成绩的第75百分位数为80＋×10＝87.5. 三、用样本的集中趋势、离散程度估计总体 1．为了从整体上更好地把握总体规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度． 2．掌握样本数据的众数、中位数、平均数及方差的计算方法，提升数据分析和数学运算素养． 例3　(1)16名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩(单位：m)分别为 1．70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.59,1.60,1.67， 1．74,1.78,1.55,1.56,1.64,1.76,1.75,1.79. 则比赛成绩的75%分位数是(　　) A．1.755 B．1.75 C．1.745 D．1.74 答案　C 解析　将成绩由小到大进行排列为1.55,1.56，1.59，1.60,1.64,1.65,1.67,1.68,1.69,1.70,1.72，1.74，1.75,1.76,1.78,1.79，因为16×0.75＝12，故比赛成绩的75%分位数是＝1.745. (2)某班全体学生物理测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试成绩的众数、中位数、平均数分别是(　　) A．70,70,70 B．70,70,68 C．70,68,70 D．68,70,70 答案　B 解析　由题意知众数为＝70； 因为(0.005＋0.010)×20＝0.3<0.5， (0.005＋0.010＋0.020)×20＝0.7>0.5， 所以中位数位于[60,80)中， 设中位数为x，则(0.005＋0.010)×20＋(x－60)×0.020＝0.5，解得x＝70； 平均数为30×0.1＋50×0.2＋70×0.4＋90×0.3＝68. (3)某电池厂有A，B两条生产线，现从A生产线中取出8件产品，测得它们的可充电次数的平均数为210，方差为4；从B生产线中取出12件产品，测得它们的可充电次数的平均数为200，方差为4.则这20件产品组成的总样本的方差为________． 答案　28 解析　方法一　总样本的平均数＝×210＋×200＝204， 方差s2＝[4＋(210－204)2]＋[4＋(200－204)2]＝28. 方法二　设A生产线中取出8件产品的可充电次数分别为x1，x2，…，x8， 可得＝i＝210， (xi－)2＝＝4， 则i＝1 680，＝352 832， 设B生产线中取出12件产品的可充电次数分别为 y1，y2，…，y12， 可得＝j＝200， (yj－)2＝(－122)＝4， 则j＝2 400，＝480 048， 故这20件产品组成的总样本的平均数为 ＝(i＋j)＝204， 其方差为 s2＝[(xi－)2＋(yj－)2]＝[＋－202] ＝28. 反思感悟　通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差)，呈现样本数据的集中趋势及波动大小，从而实现对总体的估计． (1)一般情况下，需要将平均数和标准差结合，得到更多样本数据的信息，从而对总体作出较好的估计．因为平均数容易掩盖一些极端情况，使我们对总体作出片面的判断，而标准差较好地避免了极端情况． (2)若两组数据的平均数差别很大，也可以只比较平均数，估计总体的平均水平，从而作出判断． 跟踪训练3　(1)(多选)某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则(　　) A．甲同学体温的极差为0.4 ℃ B．乙同学体温的众数为36.4 ℃，中位数与平均数相等 C．乙同学的体温比甲同学的体温稳定 D．甲同学体温的第60百分位数为36.4 ℃ 答案　ABC 解析　对于A，甲同学体温的极差为 36．6－36.2＝0.4(℃)，故A正确； 对于B，乙同学体温为 36．4,36.3,36.5,36.4,36.4,36.3,36.5，其众数为36.4 ℃，中位数、平均数均为36.4 ℃，故B正确； 对于C，根据图中数据，甲同学体温的平均数为36.4 ℃，与乙同学体温的平均数相同，但甲同学的体温极差为0.4 ℃，大于乙同学的体温极差0.2 ℃，而且从图中容易看出乙同学的数据更集中，故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，故C正确； 对于D，甲同学的体温从小到大排序为 36．2,36.2,36.4,36.4,36.5,36.5,36.6,7×60%＝4.2，故甲同学体温的第60百分位数为36.5 ℃，故D错误． (2)某汽车租赁公司为了调查A型汽车与B型汽车的出租情况，现随机抽取这两种车各50辆，分别统计每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表： A型汽车 出租天数 3 4 5 6 7 车辆数 3 30 5 7 5 B型汽车 出租天数 3 4 5 6 7 车辆数 10 10 15 10 5 ①试根据上面的统计数据，判断这两种车在某个星期内的出租天数的方差的大小关系(只需写出结果)； ②如果A型汽车与B型汽车每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车，并说明你的理由． 解　①由数据的离散程度，可以看出B型汽车在某个星期内出租天数的方差较大． ②50辆A型汽车出租天数的平均数为 A＝＝4.62， 50辆B型汽车出租天数的平均数为 B＝＝4.8， 方案一：A型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.62，B型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.8，选择B型汽车的出租车的利润较大，应该购买B型汽车． 方案二：A型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.62，B型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.8，而B型汽车出租天数的方差较大，所以应该购买A型汽车． 学科网（北京）股份有限公司 $$