第7章 复数 章末检测试卷-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

章末检测试卷二(第七章) (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．(2＋2i)(1－2i)等于(　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 答案　D 解析　(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i. 2．已知z＝2－i，则z(＋i)等于(　　) A．6－2i B．4－2i C．6＋2i D．4＋2i 答案　C 解析　因为z＝2－i，所以＝2＋i，故z＝(2－i)(2＋2i)＝4＋4i－2i－2i2＝6＋2i. 3．复数在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　＝＝＝，所以该复数对应的点的坐标为，该点位于第一象限． 4．在复平面内，一个正方形的三个顶点分别对应的复数是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(　　) A．3＋i B．3－i C．1－3i D．－1＋3i 答案　D 解析　在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i. 5．已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a等于(　　) A．－1 B．1 C．－3 D．3 答案　C 解析　(1＋ai)i＝i＋ai2＝i－a＝－a＋i＝3＋i， 利用复数相等的充要条件可得－a＝3， ∴a＝－3. 6．已知集合A＝{1,2z2，zi}，B＝{2,4}，i为虚数单位，若A∩B＝{2}，则纯虚数z为(　　) A．i B．－i C．2i D．－2i 答案　D 解析　因为A∩B＝{2}，所以2∈A,4∉A， 设纯虚数z＝bi(b≠0，b∈R)，则z2＝－b2， 故2z2＝－2b2<0， 所以zi＝－b＝2，所以b＝－2，满足题意，故z＝－2i. 7．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于(　　) A．2－2i B．2＋2i C．－2＋2i D．－2－2i 答案　A 解析　由b是方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)的实根可得b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0， 整理可得(b＋a)i＋(b2＋4b＋4)＝0， 所以解得所以z＝2－2i. 8．定义复数的一种运算z1* z2＝(等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，为z的共轭复数，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵z*＝＝＝ ＝. 又∵ab≤2＝， ∴z*≥ ＝＝. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．下面关于复数z＝的四个说法中，正确的有(　　) A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1 答案　BD 解析　∵z＝＝＝－1－i， ∴|z|＝，A不正确； z2＝(－1－i)2＝2i，B正确； z的共轭复数为－1＋i，C不正确； z的虚部为－1，D正确． 10．下列说法中错误的是(　　) A．2＋3i>1＋2i B．虚轴上的点表示的数都是纯虚数 C．若一个数是实数，则其虚部不存在 D．若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限 答案　ABC 解析　两个不全为实数的复数不能比较大小，故A错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故B错误；实数的虚部为0，故C错误；D中z3＋1＝＋1＝i＋1，对应的点在第一象限，故D正确． 11．设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是(　　) A．若|z1＋z2|＝0，则1＝2 B．若z1＝2，则1＝z2 C．若|z1|＝|z2|，则z11＝z22 D．若|z1|＝|z2|，则z＝z 答案　BC 解析　对于A，若|z1＋z2|＝0，则z1＋z2＝0，z1＝－z2，所以1＝2不正确；对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，所以1＝z2；对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，则＝，z11＝a＋b，z22＝a＋b，所以z11＝z22；对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|，而z＝1，z＝－1，所以z＝z不正确． 12．已知集合M＝{m|m＝in，n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是(　　) A．(1－i)(1＋i) B. C. D．(1－i)2 答案　BC 解析　根据题意，M＝{m|m＝in，n∈N}， 当n＝4k(k∈N)时，in＝1； 当n＝4k＋1(k∈N)时，in＝i； 当n＝4k＋2(k∈N)时，in＝－1； 当n＝4k＋3(k∈N)时，in＝－i， ∴M＝{－1,1，i，－i}． 选项A中，(1－i)(1＋i)＝2∉M； 选项B中，＝＝－i∈M； 选项C中，＝＝i∈M； 选项D中，(1－i)2＝－2i∉M. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．i是虚数单位，复数＝________. 答案　4－i 解析　＝＝＝4－i. 14．已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则a＋b＝________. 答案　－1 解析　由题意知＝1＋2i， 所以z＋a＋b＝1－2i＋a(1＋2i)＋b＝a＋b＋1＋(2a－2)i＝0， 又a，b∈R， 所以解得故a＋b＝－1. 15．若复数z＝a＋i(a∈R)与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则a＝________. 答案　±1 解析　＝a－i，因为复数z与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，所以a2＝1，所以a＝±1. 16．已知复数z1＝cos θ－i，z2＝sin θ＋i(θ∈R)，则z1z2的实部的最大值为________． 答案　 解析　z1z2＝(cos θ－i)(sin θ＋i) ＝(cos θsin θ＋1)＋(cos θ－sin θ)i， 故实部为cos θsin θ＋1＝1＋sin 2θ≤，最大值为. 四、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求： (1)z1z2；(2). 解　z2＝＝＝ ＝＝1－3i. (1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i. (2)＝＝ ＝＝＋i. 18．(12分)复平面内有O，A，B，C四点，点O为原点，点A对应的复数是3＋i，向量对应的复数是－2－4i，向量对应的复数是－4－i，求点B对应的复数． 解　∵对应的复数是2＋4i， 对应的复数是4＋i，＝－， ∴对应的复数为(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i， 又＝＋， ∴对应的复数为(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i， ∴点B对应的复数为zB＝5－2i. 19．(12分)已知m∈R，复数z＝(m－2)＋(m2－9)i. (1)若z对应的点在第一象限，求m的取值范围； (2)若z的共轭复数与复数＋5i相等，求m的值． 解　(1)由题意得解得m>3， 所以m的取值范围是{m|m>3}． (2)因为z＝(m－2)＋(m2－9)i， 所以＝m－2＋(9－m2)i， 因为与复数＋5i相等， 所以解得m＝－2. 20．(12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求a的取值范围． 解　由题意，得z1＝＝2＋3i， z2＝a－2－i，2＝a－2＋i， 所以|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)| ＝|4－a＋2i|＝，|z1|＝， 又因为|z1－2|<|z1|， 所以<， 所以a2－8a＋7<0，解得1<a<7. 所以a的取值范围是(1,7)． 21．(12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2. (1)求复数z； (2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积． 解　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)， 由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi， 所以2ab＝2. 解得a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i. (2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i. 所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)， 所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1. 当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i. 所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)， 所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1. 综上，△ABC的面积为1. 22．(12分)设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围； (2)设μ＝，求证：μ为纯虚数； (3)求ω－μ2的最小值． (1)解　∵z是虚数， ∴可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0， ∴ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋ ＝x＋＋i， 可得⇒x2＋y2＝1⇒|z|＝1， 此时，ω＝2x⇒－<x<1， 即z的实部的取值范围为. (2)证明　μ＝＝ ＝＝i， ∵y≠0，∴μ为纯虚数． (3)解　由ω－μ2＝2x－2，化简得 ω－μ2＝2(x＋1)＋－3 ≥2－3＝1. 当且仅当x＋1＝，即x＝0时，ω－μ2取得最小值1. 学科网（北京）股份有限公司 $$