6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示-6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 [学习目标]　1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示． 导语　 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)来表示．那么，如何用坐标表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 一、平面向量的正交分解及坐标表示 问题1　如图，在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？ 提示　该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G＝F1＋F2. 问题2　如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？ 提示　由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj. 知识梳理　 1．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标． 3．坐标表示：a＝(x，y)． 4．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 注意点： (1)每个向量都有唯一的坐标，相等的向量坐标相同． (2)点的坐标表示与向量的坐标表示不同，A(x，y)，a＝(x，y)． (3)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同． 例1　如图，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，若|a|＝，θ＝45°，则向量a的坐标为(　　) A．(1, 1) B．(－1，－1) C．(，) D．(－，－) 答案　A 解析　由题意，得a＝(cos 45°)i＋(sin 45°)j＝i＋j＝(1,1)． 反思感悟　求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量的坐标，先求该向量的模在x轴、y轴上正交分解的长度，其正负需要注意方向． (3)求一个向量的坐标实际上是把该向量的起点平移到坐标原点，其终点的坐标即是该向量的坐标． 跟踪训练1　已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，求向量的坐标． 解　设点A(x，y)， 则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2， y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6， 即A(2，6)，所以＝(2，6)． 二、平面向量加、减运算的坐标表示 问题3　已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ 提示　a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2)． 问题4　如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ 提示　＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)． 知识梳理　 1．两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有 符号表示 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 2.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．例如，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． 注意点： 向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． 例2　已知点A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝c，＝b. (1)求a＋b－c； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标． 解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)a＋b－c＝(5，－5)＋(－6，－3)－(1,8) ＝(－2，－16)． (2)设O为坐标原点． ∵＝－＝c， ∴＝c＋＝(1,8)＋(－3，－4)＝(－2,4)， ∴M(－2,4)． 又∵＝－＝b， ∴＝b＋＝(－6，－3)＋(－3，－4)＝(－9，－7)， ∴N(－9，－7)， ∴＝－＝(－9，－7)－(－2,4)＝(－7，－11)． 反思感悟　平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． 跟踪训练2　已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 答案　A 解析　方法一　设C(x，y)，O(0,0)， 则＝－＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 即x＝－4，y＝－2， 故C(－4，－2)，则＝－＝(－7，－4)． 方法二　因为＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， 所以＝－＝(－4，－3)－(3,1) ＝(－7，－4)． 三、平面向量坐标运算的应用 例3　已知点A(2,3)，B(5,4)，＝(5λ，7λ)(λ∈R)．若＝＋，试求λ为何值时， (1)点P在第一、三象限的角平分线上； (2)点P在第三象限内． 解　设点P的坐标为(x，y)， 则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)， ＋＝(5,4)－(2,3)＋(5λ，7λ) ＝(3,1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵＝＋，且与不共线， ∴则 (1)若点P在第一、三象限的角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝. (2)若点P在第三象限内，则∴λ<－1. 反思感悟　坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等． (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标． 跟踪训练3　已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点为平行四边形的四个顶点． 解　设点D的坐标为(x，y)， 当平行四边形为ABCD时，由＝(1,2)，＝(3－x,4－y)，且＝，得D(2,2)； 当平行四边形为ACDB时，由＝(1,2)，＝(x－3，y－4)，且＝，得D(4,6)； 当平行四边形为ACBD时，由＝(5,3)，＝(－1－x,3－y)，且＝，得D(－6,0)， 故点D的坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)． 1．知识清单： (1)平面向量的正交分解及坐标表示． (2)平面向量加、减运算的坐标表示． (3)平面向量坐标运算的应用． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：已知A，B两点求的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标． 1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于(　　) A．(－2,1) B．(2，－1) C．(2,0) D．(4,3) 答案　B 解析　由题意得b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)． 2．若A(3,1)，B(2，－1)，则的坐标是(　　) A．(－2，－1) B．(2,1) C．(1,2) D．(－1，－2) 答案　C 解析　＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2)． 3．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(　　) A．2i＋3j B．4i＋2j C．2i－j D．－2i＋j 答案　C 解析　设O为坐标原点， ∵A(2,3)，B(4,2)， ∴＝2i＋3j，＝4i＋2j， ∴＝－＝4i＋2j－2i－3j＝2i－j. 4．已知点A(2,1)，B(－2,3)，O为坐标原点，且＝，则点C的坐标为________． 答案　(0,4) 解析　设C(x，y)，则＝(x＋2，y－3)，＝(2,1)． 由＝，得x＝0，y＝4.故点C的坐标为(0,4)． 1．已知M(2,3)，N(－3,5)，则的坐标是(　　) A．(－1,8) B．(5，－2) C．(－5,2) D．(5, 2) 答案　B 解析　＝(2,3)－(－3,5)＝(5，－2)． 2．(多选)下面几种说法中正确的有(　　) A．相等向量的坐标相同 B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C．一个坐标对应于唯一的一个向量 D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 答案　ABD 解析　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误． 3．已知向量a＝(2,4)，a＋b＝(3,2)，则b等于(　　) A．(1，－2) B．(1,2) C．(5,6) D．(2,0) 答案　A 解析　b＝a＋b－a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)． 4．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(　　) A．(－7,0) B．(7,6) C．(6,7) D．(7，－6) 答案　D 解析　设D(x，y)，因为＝， 所以(x－5，y＋1)＝(2，－5)， 所以x＝7，y＝－6. 所以D(7，－6)． 5．设＝(2,3)，＝(m，n)，＝(－1,4)，则等于(　　) A．(1＋m,7＋n) B．(－1－m，－7－n) C．(1－m,7－n) D．(－1＋m ，－7＋n) 答案　B 解析　＝＋＋ ＝－－－ ＝－(－1,4)－(m，n)－(2,3) ＝(－1－m，－7－n)． 6．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，若＋＝0，则点C的坐标是(　　) A．(1,5) B．(－3,4) C．(－1，－5) D．(4，－3) 答案　A 解析　设C(x，y)，则＝(x－4，y－1)． 又＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，＋＝0， ∴(3，－4)＋(x－4，y－1)＝(0,0)， ∴∴∴C(1,5)． 7．已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则＋的坐标是________． 答案　(－18,18) 解析　＋＝(－8－2,10－(－4))＋(－8－0,10－6)＝(－10,14)＋(－8,4)＝(－18,18)． 8．已知2 024个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8,15)，则其余2 023个向量的和的坐标为________． 答案　(－8，－15) 解析　设其余2 023个向量的和的坐标为(x，y)， 则(x，y)＋(8,15)＝(0,0)，解得(x，y)＝(－8，－15)， 所以其余2 023个向量的和的坐标为(－8，－15)． 9.在平面直角坐标系Oxy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标． 解　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)， 则a1＝|a|cos 45°＝2×＝， a2＝|a|sin 45°＝2×＝， b1＝|b|cos 120°＝3×＝－， b2＝|b|sin 120°＝3×＝， c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2， c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2. 因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)． 10．在直角坐标系中，已知三点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)． (1)若＝＋，求点P的坐标； (2)若＋＋＝0，求的坐标． 解　(1)因为＝(1,2)，＝(2,1)， 所以＝(1,2)＋(2,1)＝(3,3)， 即点P的坐标为(3,3)． (2)设点P的坐标为(x，y)， 因为＋＋＝0， 又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)， 所以解得 所以点P的坐标为(2,2)， 故＝(2,2)． 11．已知点A(2 023,12)，B(－1,8)，将向量按向量a＝(2 023,27)的方向平移，所得到的向量坐标是(　　) A．(2 024,4) B．(－2 024，－4) C．(15,23) D．(4 005,23) 答案　B 解析　∵A(2 023,12)，B(－1,8)， ∴＝(－2 024，－4)． 又∵按向量a的方向平移后不发生变化， ∴平移后＝(－2 024，－4)． 12．若i，j分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，取{i，j}作为基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　　) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　向量a对应的坐标为(x2＋x＋1，－x2＋x－1)． ∵x2＋x＋1＝2＋>0，－x2＋x－1＝－2－<0， ∴向量a对应的坐标位于第四象限． 13．已知向量与a＝(6，－8)的夹角为π，且||＝|a|，若点A的坐标为(－1,2)，则点B的坐标为(　　) A．(－7,10) B．(7,10) C．(5，－6) D．(－5,6) 答案　A 解析　由题意知，与a方向相反， 且||＝|a|， ∴＋a＝0. 设B(x，y)，则＝(x＋1，y－2)， ∴解得 故点B的坐标为(－7,10)． 14．已知A，B(1,4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝________. 答案　或－ 解析　由题意知＝＝(sin α，cos β)， ∴sin α＝－，cos β＝， 又∵α，β∈， ∴α＝－，β＝或－， ∴α＋β＝或－. 15．小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若＝，＝，则S△OAB＝.试用上述成果解决问题：已知A，B，C，则S△ABC＝______. 答案　1 解析　因为A(1,1)，B(2,3)，C(4,5)， 所以＝(1,2)，＝(3,4)， 又当＝(x1，y1)，＝(x2，y2)时， S△OAB＝|x1y2－x2y1|， 所以S△ABC＝×|1×4－3×2|＝1. 16．以原点O及点A(2，－2)为顶点作一个等边△AOB，求点B的坐标及向量的坐标． 解　如图， 因为△AOB为等边三角形，且A(2，－2)， 所以||＝||＝||＝4. 因为在[0,2π]范围内，以Ox为始边，射线OA为终边的角为. (1)当点B在OA的上方时，以OB为终边的角为. 由三角函数的定义得＝＝(2，2)． 所以＝－＝(2，2)－(2，－2)＝(0,4)． (2)当点B在OA的下方时，以OB为终边的角为. 由三角函数的定义得＝(0，－4)， 所以＝－＝(0，－4)－(2，－2)＝(－2，－2)． 综上所述，点B的坐标为(2，2)，的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0，－4)，的坐标为(－2，－2)． 学科网（北京）股份有限公司 $$