6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示同步练习-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 一、基础巩固 1.如果用i,j分别表示与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量,且A(2,3),B(4,2),则可以表示为(　　) A.2i+3j B.4i+2j C.2i-j D.-2i+j 2.已知向量=(2,4),=(0,2),则=(　　) A.(-2,-2) B.(2,2) C.(1,1) D.(-1,-1) 3.(多选题)已知=(-2,4),则下列说法正确的是(　　) A.B点的坐标是(-2,4) B.若a=,则a=(-2,4) C.当B是原点时,A点的坐标是(-2,4) D.当A是原点时,B点的坐标是(-2,4) 4.已知四边形ABCD为平行四边形,其中A(5,-1),B(-1,7),C(1,2),则顶点D的坐标为(　　) A.(-7,0) B.(7,6) C.(6,7) D.(7,-6) 5.设与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(x∈R),则向量a对应的坐标位于(　　) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 6.如图,在▱ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则=　　　　. 7.作用于原点的两个力F1=(1,1),F2=(2,3),为使它们平衡,需加力F3=　　　　. 8.已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且||=||,则点P的坐标为　　　　　. 9.已知a=,点B的坐标为(1,0),b=(-9,12),c=(-2,2),且a=b-c,求点A的坐标. 二、能力提升 10.如果将=绕原点O逆时针方向旋转120°得到,则的坐标是(　　) A.(-) B.(,-) C.(-1,) D.(-) 11.已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在∠AOB内,且∠AOC=45°,设=λ+(1-λ)(λ∈R),则λ的值为(　　) A. B. C. D. 12.已知点A(1,1),B,且=(sin α,cos β),α,β∈,则α+β=　　　　　. 13.已知O是坐标原点,点A在第二象限,||=2,∠xOA=150°,则向量的坐标为　　　　　. 14.若向量a=(2x-1,x2+3x-3)与相等,已知A(1,3),B(2,4),则a=　　　　, x=　　　. 15.已知点A(-1,2),B(2,8)及=-,求点C,D和的坐标. 16.已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a,b表示c. 三、拓展创新 17.对于向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),定义m⊗n=(x1x2,y1y2).已知a=(2,-4),且a+b=a⊗b,那么向量b等于(　　) A. B. C. D. 参考答案 一、基础巩固 1.答案:C 解析:记O为坐标原点,则=2i+3j,=4i+2j,故=2i-j. 2.答案:A 解析:=(-2,-2). 3.答案:BD 解析:当向量起点与原点重合时,向量坐标与向量终点坐标相同,故AC错误,D正确;因为相等的向量坐标相同,故B正确. 4.答案:D 解析:因为四边形ABCD为平行四边形, 所以. 设D(x,y),则有(-1-5,7+1)=(1-x,2-y), 即解得 因此点D的坐标为(7,-6). 5.答案:D 解析:因为x2+x+1=>0, x2-x+1=>0, 所以向量a对应的坐标位于第四象限. 6.答案:(-3,-5) 解析:=(1,3)-(2,4)=(-1,-1), =(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5). 7.答案:(-3,-4) 解析:由题意可知F1+F2+F3=0, 故F3=-F1-F2=-(1,1)-(2,3)=(-3,-4). 8.答案:(1,-1) 解析:设点P的坐标为(x,y). 由题意知,当点P在线段AB上时,. ∴(x-3,y+4)=(-1-x,2-y), ∴解得 ∴P点坐标为(1,-1); 当P在线段AB延长线上时,=-, ∴(x-3,y+4)=-(-1-x,2-y), ∴此时无解. 综上所述,点P的坐标为(1,-1). 9.解:∵b=(-9,12),c=(-2,2), ∴b-c=(-7,10),即a=(-7,10)=. 又B(1,0),设点A的坐标为(x,y), 则=(1-x,-y)=(-7,10), ∴ ∴ 即点A的坐标为(8,-10). 二、能力提升 10.答案:D 解析:如图,设绕原点O逆时针方向旋转120°得到的的坐标为(x,y), 则x=||cos(120°+30°)=-,y=||sin(120°+30°)=, 故的坐标是(-),故选D. 11.答案:C 解析:如图所示,因为∠AOC=45°, 所以设C(x,-x),则=(x,-x). 又A(-3,0),B(0,2), 所以λ+(1-λ)=(-3λ,2-2λ), 所以解得λ=. 12.答案:或- 解析:因为=(sin α,cos β), 所以sin α=-,cos β=. 又α,β∈, 所以α=-,β=或-, 所以α+β=或-. 13.答案:(-,1) 解析:设=(m,n), 则m=||cos 150°=2×=-, n=||sin 150°=2×=1, 故的坐标为(-,1). 14.答案:(1,1)　1 解析:∵=(2,4)-(1,3)=(1,1), 又=a=(2x-1,x2+3x-3), ∴解得x=1. 15.解:设点C(x1,y1),D(x2,y2), 由题意可得=(x1+1,y1-2),=(3,6), =(-1-x2,2-y2),=(-3,-6). ∵=-, ∴(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=(3,6), 由解得 由解得 ∴点C,D的坐标分别为(2,8)和(-4,-4), ∴=(-6,-12). 16.解:如图,以O为原点,向量所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. 因为|a|=2,所以a=(2,0). 设b=(x1,y1), 则x1=|b|cos 150°=1×=-,y1=|b|sin 150°=1×,所以b=. 同理可得c=. 设c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R), 所以=λ1(2,0)+λ2, 所以解得 所以c=-3a-3b. 三、拓展创新 17.答案:A 解析:设b=(x,y),由新定义及a+b=a⊗b,可得(2+x,y-4)=(2x,-4y), 所以解得,所以向量b=. 学科网（北京）股份有限公司 $$