6.3 培优课 平面向量中的最值与范围问题-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

培优课　平面向量中的最值与范围问题 平面向量中的最值、范围问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、参数的范围等等，解题思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 一、向量线性运算中的最值与范围问题 例1　如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，求＋的最小值． 解　由题意得＝＋＝－， 所以＝m＋n ＝m＋n ＝＋n， 由P，B，C三点共线得， m－n＋n＝m＋n＝1(m，n>0)， 所以＋＝ ＝＋＋≥＋2 ＝＋＝(当且仅当3n2＝4m2，即 时取等号)，则＋的最小值为. 反思感悟　利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后用基本不等式求最值． 跟踪训练1　如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________． 答案　(－1,0) 解析　由点D是圆O外一点， 可设＝λ(λ>1)， 则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝λ＋(1－λ). 又因为C，O，D三点共线，令＝－μ(μ>1)， 则＝－＝－－(λ>1，μ>1)，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1,0)． 二、向量数量积的最值与范围问题 例2　在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是(　　) A. B. C. D．[0,1] 答案　C 解析　将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中， 设E(x,0)，0≤x≤1. 则M，C(1,1)， 所以＝，＝(1－x,1)， 所以·＝(1－x,1)· ＝(1－x)2＋. 因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤， 即·的取值范围是. 反思感悟　建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数、基本不等式等求最值或范围． 跟踪训练2　在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________． 答案　 解析　根据题意，可知·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·＝·＋·＋λ·＋·＝1＋＋－≥1＋2－＝，当且仅当λ＝时，等号成立． 三、向量模的最值问题 例3　向量a，b满足|a|＝1，a与b的夹角为，则|a－b|的最小值为________． 答案　 解析　|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 ＝1－2×1×|b|cos ＋|b|2 ＝|b|2－|b|＋1＝2＋≥， 所以|a－b|≥，当|b|＝时取得最小值. 反思感悟　求向量模的最值(或范围)的方法 利用平面向量数量积的概念和性质，建构关于模长的函数模型，利用三角函数或二次函数求解模长的最值(或范围)． 跟踪训练3　已知|a＋b|＝2，向量a，b的夹角为，则|a|＋|b|的最大值为________． 答案　 解析　将|a＋b|＝2两边平方并化简得(|a|＋|b|)2－|a||b|＝4，由基本不等式得|a||b|≤2＝，故(|a|＋|b|)2≤4，即(|a|＋|b|)2≤，即|a|＋|b|≤，当且仅当|a|＝|b|＝时，等号成立，所以|a|＋|b|的最大值为. 四、向量夹角的最值问题 例4　已知|a|＝1，向量b满足2|b－a|＝b·a，设a与b的夹角为θ，则cos θ的最小值为______． 答案　 解析　∵|a|＝1，∴设a＝(1,0)，b＝(x，y)， ∴b－a＝(x－1，y)， 由2|b－a|＝b·a得，2＝x，则x>0， ∴4(x－1)2＋4y2＝x2， ∴y2＝－x2＋2x－1， ∴cos θ＝＝＝＝＝ ＝， ∴当＝1即x＝1时，cos θ取最小值. 反思感悟　将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小问题，利用函数求最值或范围． 跟踪训练4　已知向量a，b满足a＝(t,2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b的夹角的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，即a·b＝b2， cos〈a，b〉＝＝＝＝ ＝， 又因为2t2－4t＋8＝2[(t－)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4， 所以0<cos〈a，b〉≤， 所以a，b的夹角的最小值为. 1.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．9 答案　D 解析　由题图可知x，y均为正，且x＋y＝1， 所以＋＝(x＋y)＝5＋＋ ≥5＋2＝9，当且仅当＝， 即x＝，y＝时等号成立， 则＋的最小值为9. 2．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则·的取值范围是(　　) A．[2,14] B．[0,12] C．[0,6] D．[2,8] 答案　A 解析　如图，建立平面直角坐标系， 则A(0,0)，E(2，1)， 设F(x,2)(0≤x≤2)， 所以＝(2，1)，＝(x,2)， 因此·＝2x＋2， 因为0≤x≤2， 所以2≤2x＋2≤14， 故·的取值范围是[2,14]． 3．设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，＝λ，若·≥·，则实数λ的取值范围是(　　) A.≤λ≤1 B．1－≤λ≤1 C.≤λ≤1＋ D．1－≤λ≤1＋ 答案　B 解析　∵＝λ＝(－λ，λ)，＝(1－λ)＋λ＝(1－λ，λ)，·≥·， ∴(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)， ∴2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，因为点P是线段AB上的一个动点，所以0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1. 4．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量的长度的最大值是(　　) A. B. C．3 D．2 答案　C 解析　∵＝－＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)， ∴||＝ ＝， ∵0≤θ<2π， ∴－1≤cos θ≤1， ∴≤≤3， 当cos θ＝－1时，||有最大值3. 5.如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，∠BAC＝θ，点D为BC的三等分点．则·的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋， ∴·＝·(－) ＝－||2＋||2＋· ＝－×4＋×9＋×2×3cos θ＝2cos θ＋. ∵－1<cos θ<1，∴－<2cos θ＋<. ∴·∈. 6.如图，延长线段AB到点C，使得＝2，点D在线段BC上运动，点O∉直线AB，满足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是(　　) A. B. C. D．[－1,1] 答案　C 解析　不妨设AB＝2BC＝2，BD＝x，x∈[0,1]，由平面向量三点共线可知， ＝ ＋ ， ∴＝－， ∴λ＝－，μ＝，x∈[0,1]， 则λμ＝－＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋，x∈[0,1]， ∴λμ∈. 7．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·(－)的最大值为________． 答案　9 解析　根据题意，以C为坐标原点，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图， ∴A(0,3)，B(4,0)，C(0,0)， ∴＝(4，－3)， 设＝λ(λ∈[0,1])， 则＝＋＝＋λ＝(0,3)＋(4λ，－3λ)＝(4λ，3－3λ)，λ∈[0,1]， ∴·(－)＝· ＝(4λ，3－3λ)·(0,3)＝9－9λ∈[0,9]， ∴·(－)的最大值为9. 8．在△ABC中，·(－4)＝0，则cos A的最小值为________． 答案　 解析　在△ABC中，＝－， 所以·(－4) ＝(－)·(－4) ＝－4||2－||2＋5· ＝－4||2－||2＋5||||cos A＝0， 在△ABC中，设||＝b，||＝c， 则有－4b2－c2＋5bccos A＝0，所以cos A＝≥＝，当且仅当2b＝c时，等号成立． 9．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则·的取值范围是____________． 答案　[2,3] 解析　如图，取AF的中点Q， 根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得|OQ|＝， 又· ＝(＋)·(＋) ＝||2＋·＋·＋· ＝||2＋·(＋)－1＝||2－1， 根据图形可知， 当点P位于正六边形各边的中点时，|PO|有最小值为，此时||2－1＝2， 当点P位于正六边形的顶点时，|PO|有最大值为2，此时||2－1＝3， 所以2≤·≤3. 10．若向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于________． 答案　2 解析　如图，设＝a，＝b，＝c， 则＝a－c，＝b－c. ∵|a|＝|b|＝1，∴OA＝OB＝1. 又∵a·b＝－， ∴|a||b|cos∠AOB＝－， ∴cos∠AOB＝－，∴∠AOB＝120°. 又∵〈a－c，b－c〉＝60°，而120°＋60°＝180°， ∴O，A，C，B四点共圆． ∴当OC为圆的直径时，|c|最大， 此时∠OAC＝∠OBC＝90°， ∴Rt△AOC≌Rt△BOC，∴∠ACO＝∠BCO＝30°， ∴OA＝OC， ∴|c|＝OC＝2OA＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$