8.3 培优课 与球有关的内切、外接问题 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

培优课　与球有关的内切、外接问题 第八章　§8.3　简单几何体的表面积与体积 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系. 二、直接法 三、构造法 课时对点练 四、寻求轴截面圆半径法 五、确定球心位置法 内容索引 一、球与长(正)方体的简单切、接问题 球与长(正)方体的简单切、接问题 一 1.正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r1＝ ，过在一个平面上的四个切点作截面，如图1. 知识梳理 5 2.球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，若正方体的棱长为a，此时球的 半径为r2＝ ，过球心作正方体的对角面，如图2. 知识梳理 6 3.长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径.若长方体过同一顶点的三条棱长分 别为a，b，c，此时球的半径为r3＝ ，过球心作长方体的对 角面，如图3. 知识梳理 7 4.正方体的外接球 正方体棱长a与外接球半径R的关系为 . 知识梳理 8 9 球与长(正)方体的切、接问题的关键是根据“接点”和“切点”作出适当的截面，将空间问题转化为平面问题. 反思感悟 10 √ 设正方体的棱长为a，其内切球的半径为R，则a＝2R， 11 直接法 二 例2　一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为3，则这 个球的体积为 . 13 设正六棱柱的底面边长为x，高为h， 14 本题运用公式R2＝r2＋d2，求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式. 反思感悟 15 跟踪训练2　已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O，球O的表面积为8π，则该圆柱的体积为 √ 16 设圆柱的底面半径为r， 故圆柱的体积V＝πr2·2r＝2π. 17 三 构造法 例3　三棱锥A－BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝ ，则该三棱锥A－BCD外接球的体积为 . 19 因为AB⊥BC，BC⊥CD， 构造如图所示的长方体， 则AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径.设外接球的半径为R. ∴CD＝2，∴该长方体为正方体， 20 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R＝ 反思感悟 21 根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1， 的长方体，于是长方体的外接球就是该三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R， 故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π. 6π 22 四 寻求轴截面圆半径法 24 如图，设正四棱锥的底面中心为O1， ∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O， ∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 得SA2＋SC2＝AC2. ∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形. 25 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习. 反思感悟 26 跟踪训练4　在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比. 27 作正方体对角面的截面，如图所示， 设半球的半径为R，正方体的棱长为a， 在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2， 28 五 确定球心位置法 30 如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面△BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O′在线段AO上，O′为外接球球心， 令O′A＝O′D＝R， 又OO′2＋OD2＝O′D2， 31 找几何体的外接球球心，即找点O，使点O与几何体各顶点的距离相等.正棱锥的外接球球心在垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点. 反思感悟 32 16π 33 取PC的中点O(图略)， ∵△PAC为直角三角形且∠PAC＝90°， 即OA＝OB＝OP＝OC，即点O到点P，A，B，C四点的距离相等， ∴点O为外接球的球心， ∴S球＝4πR2＝16π. 34 课时对点练 六 解得R＝2，所以球O的表面积为4πR2＝16π. 设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R， A.6π B.12π C.8π D.16π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由题意，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成长方体，如图所示，则该长方体的体对角线为 设长方体的外接球的半径为R，则2R＝4，R＝2， 3.若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设球的半径为r，则圆锥的高为3r，设圆锥的底面圆的半径为R，则圆锥的轴截面如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴∠OAM＝30°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 球O的表面积为S2＝4πr2， 4.有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，且圆锥的母线与底面所成角为60°，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则圆柱的高是其底面半径的 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设圆柱的高为h，底面半径为r，圆柱的外接球的半径为R， 因为圆锥的母线与底面所成角为60°，所以母线长l＝2r. 所以圆锥的侧面积为πlr＝2πr2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设圆锥的底面半径为r，高为h， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)正四棱锥P－ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P－ABCD的体积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ 因为正四棱锥P－ABCD的底面积为3， 连接AC，BD交于点O(图略). ①当球心在线段PO上时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②当球心在线段PO的延长线上时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.某同学在实践课上制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的表面积为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 64π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设截面圆的半径为r，球的半径为R，则2πr＝4π， 因此，该球的表面积为4πR2＝64π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由题意，折叠后的四面体A－EFG如图所示， 设正方形边长为a，四面体A－EFG外接球的半径为r， 易知在折叠后的四面体A－EFG中，GA，GE，GF两两垂直， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1)求圆柱的体积与球的体积之比； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设圆柱的高为h，底面半径为r，球的半径为R， 由已知得h＝2R，r＝R， ∵S圆柱＝S侧＋2S圆＝2πrh＋2πr2＝6πr2， (2)求圆柱的表面积与球的表面积之比. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB>1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为 (1)求AB的长度； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设AB＝x，点A到点C1的最短路程有两种可能， 如图乙的最短路程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵x>1，∴x2＋2x＋2>x2＋2＋2＝x2＋4， (2)求该长方体外接球的表面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设长方体外接球的半径为R，则 (2R)2＝12＋12＋22＝6， 即该长方体外接球的表面积为6π. a 2R＝a ∴长方体的外接球的表面积为S＝4πR2＝. 设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，则 例1　长方体的共顶点的三个侧面的对角线长分别为，，，则它 的外接球的表面积为 . ∴(2R)2＝a2＋b2＋c2＝， 跟踪训练1　已知正方体的内切球的体积是π，则正方体的棱长为 A.2 B. C. D. 又πR3＝π，∴R3＝2， ∴R＝，∴a＝2. 则有解得 ∴正六棱柱的底面外接圆的半径r＝， 球心到底面的距离d＝. ∴外接球的半径R＝＝1.∴V球＝. A. B.π C.2π D.2π 由球O的表面积S＝4πR2＝8π，得R＝， 则其高h＝2r.由R2＝r2＋2＝2r2解得r＝1. 4π ∵VA－BCD＝××BC×CD×AB＝×2×CD×2＝， ∴AD＝2，∴R＝， ∴三棱锥A－BCD外接球的体积为V＝πR3＝4π. . 则有(2R)2＝12＋()2＋()2＝6. ， ∴R2＝. 跟踪训练3　若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是 . 例4　若正四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为，则此球 的体积为 . 在△ASC中，由SA＝SC＝，AC＝2， ∴＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径. 故V球＝. 那么CC′＝a，OC＝. 即a2＋2＝R2，∴R＝a. 从而V半球＝πR3＝π3＝πa3，V正方体＝a3. 因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2. 例5　已知三棱锥A－BCD的侧棱长为2，底面是边长为2的等边三 角形，则该三棱锥外接球的体积为 . OD＝DE＝×2×＝2，AD＝2， ∴AO＝＝4，∴OO′＝4－R， ∴(4－R)2＋4＝R2，解得R＝， ∴V球＝πR3＝. 跟踪训练5　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝2，AC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为 . ∴OA＝PC，同理OB＝PC， PC＝＝4，∴R＝PC＝2， 由圆锥的底面半径为，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为. 则O1O＝|R－1|，R2＝O1O2＋r2＝(R－1)2＋()2， 1.底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为 2.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和2，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为 A. B. C. D. 所以该长方体的外接球的体积V＝πR3＝. ＝4， A. B. C. D. 设球心为点O，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，OM＝ r，AO＝AH－OH＝2r，sin∠OAM＝＝， ∴R＝AH·tan∠OAM＝r，则AB＝2R＝2r， 则圆锥的侧面积为S1＝πR·2R＝π×r×2r＝6πr2， 因此，圆锥的侧面积与球的表面积的比值为 ＝＝. A. 倍 B.2倍 C.2 倍 D.3倍 所以＝2. 所以4πR2＝4π＝4×2πr2， 则R2＝2＋r2. 所以2＋r2＝2r2，所以h2＝4r2， 5.将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为 A. B. C. D.2π 设内切球的半径为R，则＝， ∴R＝，V＝πR3＝π3＝. 则2πr＝×3，解得r＝1，h＝＝2， A. B. C.2 D. 所以底面边长为， 因为外接球的表面积为8π，所以球的半径r＝. 计算得PO＝r＋＝＋＝， 所以正四棱锥P－ABCD的体积为×3×＝； 计算得PO＝r－＝－＝， 所以正四棱锥P－ABCD的体积为×3×＝. 4 可得r＝2，所以R＝＝4. 由题意可知，球心到截面圆所在平面的距离为d＝＝2. 8.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G.若四面体A－EFG外接球的表面积为，则正方形ABCD的边长 为 . 则AG＝a，EG＝FG＝， 所以四面体A－EFG的外接球半径r＝＝a， 联立4πr2＝，解得a＝. ∴V圆柱＝πr2h＝2πR3，V球＝πR3， ∴＝＝. S球＝4πr2，∴＝＝. 2. 故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为. 如图甲的最短路程为AC1＝. 由题意得＝2，解得x＝2.即AB的长度为2. AC1＝＝， ∴R2＝，∴S＝4πR2＝6π， $$