8.6.2 直线与平面垂直 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

8.6.2　直线与平面垂直 第八章　§8.6　空间直线、平面的垂直 1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.(重难点) 3.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题.(重难点) 学习目标 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象.正因为日常生活中有许多线面垂直的关系，所以，今天我们有必要对线面垂直做进一步的研究. 导语 一、直线与平面垂直的定义 二、直线与平面垂直的判定定理 课时对点练 三、直线与平面所成的角 随堂演练 四、直线与平面垂直的性质定理 内容索引 直线与平面垂直的定义 一 问题1　如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察，直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变 化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关 系如何？ 提示　始终保持垂直. 问题2　在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？ 提示　可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 1.直线与平面垂直的定义及画法 定义 一般地，如果直线l与平面α内的_________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 ______ 有关概念 直线l叫做平面α的______，平面α叫做直线l的______，它们唯一的公共点P叫做______ 任意一条 l⊥α 垂线 垂面 垂足 知识梳理 7 图示   画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 2.过一点垂直于已知平面的直线_________一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，_______的长度叫做这个点到该平面的距离. 注意点： 若l⊥α，c⊂α，则l⊥c. 有且只有 垂线段 知识梳理 8 例1　 (多选)下列命题中，不正确的是 A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α √ √ √ 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确； 当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确； 若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，所以D不正确. 9 对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事. 反思感悟 10 跟踪训练1　 (多选)下列说法中，正确的是 A.若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于α内任一直线 B.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可 能平行 C.若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D.若a⊥b，b⊥α，则a∥α √ √ 11 由线面垂直的定义知，A正确； 当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错误； C显然是正确的； 而D中，a可能在α内，故D错误. 12 二 直线与平面垂直的判定定理 问题3　如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？ 提示　不一定.折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面垂直. 14 文字语言 如果一条直线与一个平面内的______________垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，______＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言   两条相交直线 m∩n 知识梳理 15 例2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD. 16 方法一　∵四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC， 又AA1⊥平面ABCD， ∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A， ∴BD⊥平面AA1O， ∴BD⊥A1O， 令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)， 17 ∴A1O2＋OM2＝A1M2， ∴A1O⊥OM， 又OM∩BD＝O， ∴A1O⊥平面MBD. 方法二　连接A1B，A1D，OM(图略). 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， A1B＝A1D， O为BD的中点， 18 ∴A1O⊥BD. 令正方体的棱长为2， 在Rt△A1AO和Rt△OCM中， 故△A1AO∽△OCM， ∴∠AOA1＋∠COM＝90°， ∴∠A1OM＝90°，∴A1O⊥OM， 19 ∵BD∩OM＝O， BD⊂平面MBD， OM⊂平面MBD， ∴A1O⊥平面MBD. 20 证明线面垂直的方法 (1)由线线垂直证明线面垂直： ①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直. (2)平行转化法(利用推论)： ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 反思感悟 21 跟踪训练2　如图，在四面体ABCD中，棱CD＝ ，其余各棱长都为1，E为CD的中点.求证： (1)CD⊥平面ABE； ∵E为CD的中点，且AD＝AC， ∴CD⊥AE. 又∵BD＝BC，∴CD⊥BE. ∵AE∩BE＝E，AE，BE⊂平面ABE， ∴CD⊥平面ABE. 22 (2)AE⊥平面BCD. ∵AB2＝AE2＋BE2，∴AE⊥BE. 又AE⊥CD，CD∩BE＝E，且CD，BE⊂平面BCD， ∴AE⊥平面BCD. 23 三 直线与平面所成的角 问题4　当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成的角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成的角怎样定义？ 提示　铅笔和它在桌面上的射影所成的角. 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面_____，但不与这个平面_____，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中________   斜足 斜线和平面的_____，如图中_____ 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引_____，过_____和_____的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为________ 直线与平面所成的角 相交 垂直 直线PA 交点 点A 垂线 垂足 斜足 直线AO 知识梳理 26 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中_______； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是_____；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是_____ 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则____________ ∠PAO 90° 0°≤θ≤90° 0° 知识梳理 27 例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1B与平面AA1D1D所成角的大小； ∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. 28 (2)求A1B与平面BB1D1D所成角的大小. 29 如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1， BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角. 又∵∠A1OB＝90°， 30 ∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 31 延伸探究　例3条件不变，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角. 32 如图，连接BC1，BC1与B1C相交于点O，连接A1O. 设正方体的棱长为a. 因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1， B1C1，B1B⊂平面BCC1B1， 所以A1B1⊥平面BCC1B1， 所以A1B1⊥BC1. 又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1DCB1， 所以BC1⊥平面A1DCB1， 33 所以A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角. 所以∠BA1O＝30°， 所以直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°. 34 求直线与平面所成的角的步骤 (1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角. (2)证——证明所作或找到的角就是所求的角并指出线面的平面角. (3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形). (4)答. 反思感悟 35 跟踪训练3　如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面ABC所成角的正弦值. 36 由题意知，A是M在平面ABC上的射影， ∴MA⊥平面ABC， ∴MC在平面ABC上的射影为AC. ∴∠MCA即为直线MC与平面ABC所成的角. 又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°， 37 38 四 直线与平面垂直的性质定理 问题5　我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢？ 提示　在空间中，垂直于同一直线的两直线不一定平行，但是垂直于同一平面的两直线一定平行. 40 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______ 符号语言 a⊥α，b⊥α⇒a∥b 图形语言   平行 注意点： (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法. (2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据. 知识梳理 41 例4　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 42 ∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， ∴AE⊥AB， 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 43 证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点. (2)利用基本事实4：证两条直线同时平行于第三条直线. (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 反思感悟 44 跟踪训练4　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l. ∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l. 同理PB⊥l. ∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB， ∴l⊥平面PAB. 又∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a. ∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴a⊥平面PAB.∴a∥l. 45 1.知识清单： (1)直线与平面垂直的定义. (2)直线与平面垂直的判定定理. (3)直线与平面所成的角. (4)直线与平面垂直的性质定理. 2.方法归纳：转化思想，数形结合. 3.常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直. 课堂小结 随堂演练 五 1.(多选)下列说法正确的是 A.一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直 B.过平面外一点有无数条直线与平面所成的角为30° C.一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个 平面垂直 D.一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直 1 2 3 4 √ √ √ 2.已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题中不正确的是 A.a⊥α，b∥β，且α∥β⇒a⊥b B.a⊥b，a⊥α⇒b∥α C.a⊥α，b⊥α，a∥c⇒b∥c D.a⊥α，b⊥α⇒a∥b 1 2 3 4 √ B选项，b可能在平面α内，故B不正确； A，C，D项都正确. 3.(多选)直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是 A.a和b垂直于正方体的同一个面 B.a和b在正方体两个相对的面内，且共面 C.a和b平行于同一条棱 D.a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直 A为直线与平面垂直的性质定理的应用； B为平面平行的性质； C为基本事实4的应用. 1 2 3 4 √ √ √ 4.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的大小为_____. 1 2 3 4 45° 因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成角的大小为45°. 课时对点练 六 1.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是 A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ 依题意知l⊥平面ABC，m⊥平面ABC， ∴l∥m. 16 2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是 A.平面DD1C1C B.平面A1DB1 C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 连接A1D，DB1(图略)，∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1， ∴AD1⊥平面A1DB1. 3.(多选)下列说法中，正确的有 A.如果一条直线垂直于平面内的四条直线，那么这条直线和这个平面垂直 B.过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直 C.如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确 定的平面 D.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 4.如图，在四棱锥M－ABCD中，MC⊥平面ABCD，那么MA与BD垂直的充分条件是 A.四边形ABCD为矩形 B.四边形ABCD为菱形 C.四边形ABCD为平行四边形 D.四边形ABCD为梯形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若满足MA⊥BD， 又因为MC⊥平面ABCD， 所以MC⊥BD， 又MA∩MC＝M，故BD⊥平面MAC， 又因为AC⊂平面MAC， 所以BD⊥AC， 故当BD⊥AC时，即可推出MA⊥BD. 所以四边形ABCD为菱形. 16 5.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面ABC所成的角为 A.30° B.45° C.60° D.90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 6.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易证AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC， 所以AC⊥BC， 所以△ABC为直角三角形. 7.若平面α外的直线a与平面α所成的角为θ，则θ的取值范围为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈BD，F∈B1D1，且EF⊥AB，则EF与AA1的位置关系是______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 平行 16 如图，∵AB⊥BB1，AB⊥EF，且AB不垂直于平面BB1D1D， ∴EF与BB1不相交，∴EF∥BB1， 又AA1∥BB1，∴EF∥AA1. 9.如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2. (1)求证：AC⊥平面BDE； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD. ∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE， ∵BD，DE⊂平面BDE，BD∩DE＝D， ∴AC⊥平面BDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求AE与平面BDE所成角的大小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示. ∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的射影， ∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角. 16 ∴∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成的角为30°. 10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直.求证：EF∥BD1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD， ∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥平面BDD1B1， 又BD1⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥BD1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 同理可证BD1⊥B1C， 又AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1. 11.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有 A.AG⊥△EFH所在平面 B.AH⊥△EFH所在平面 C.HF⊥△AEF所在平面 D.HG⊥△AEF所在平面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 √ 16 根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，可推出AH⊥平面EFH. 12.在四面体P－ABC中，若PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影一定是△ABC的 A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图，设点P在平面ABC内的射影为点O，连接OP，则PO⊥平面ABC， 连接OA，OB，OC， ∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC， 又PA＝PB＝PC， ∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC， 则OA＝OB＝OC， ∴O为△ABC的外心. 16 A.45° B.60° C.30° D.75° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 如图，取BC的中点D，连接AD，B1D， ∵AD⊥BC且AD⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1， ∴AD⊥平面BCC1B1， ∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即AB1与平面BB1C1C所成的角为45°. 14.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件_____________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∠A1C1B1＝90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C， 因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C， 即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证 AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证 A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等) 16 15.每个面均为正三角形的八面体称为正八面体，如图，若点G，H，M，N分别是正八面体棱DE，BC，AD，BF的中点，则下列结论正确的是 A.GH⊥平面FBC B.GH与MN是异面直线 C.GH∥平面EAB D.MN与GH是相交直线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图，连接AC，EF，BD， 则它们相交且相互平分， ∴四边形AECF为平行四边形， ∴AE∥CF. 又G，H，M，N分别是正八面体棱DE，BC，AD，BF的中点， ∴GM∥AE，NH∥CF， 16 ∴GM∥NH，且GM＝NH， ∴四边形MNHG是平行四边形，故排除B，D； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 易证平面GMH∥平面EAB， 又GH⊂平面GMH， ∴GH∥平面EAB，故C正确； 由题意得EH⊥BC，MH⊥BC，EH∩MH＝H， ∴BC⊥平面EMH. 又GH⊄平面EMH，GH∩EH＝H， ∴GH与BC不垂直， ∴GH与平面FBC不垂直，故A错误. 16 16.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取PD的中点E，连接NE，AE，如图. 又∵N是PC的中点， 又∵DC∥AB且DC＝AB， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴NE∥AM且NE＝AM， ∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE. ∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， ∴MN∥平面PAD. (2)若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当α＝45°时，MN⊥平面PCD，证明如下. ∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， ∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD. 又∵MN∥AE，∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 PA，AD⊂平面PAD， ∴CD⊥平面PAD. ∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE， ∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D， CD，PD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD. 则A1O＝，OM＝，A1M＝3， tan∠AA1O＝＝， tan∠COM＝＝， ∵AD＝AC＝1，DC＝， ∴∠DAC＝90°，AE＝. 同理BE＝， 设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝. ∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°， 在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a， 所以BO＝A1B. ∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝. 在Rt△MAB中，MA＝＝＝3. 在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝， 即MC与平面ABC所成角的正弦值为. 取BC的中点E，连接DE，AE(图略)，则DE⊥平面ABC，故DE⊥AE，∠DAE即为AD与平面ABC所成的角，设三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为1，则DE＝，AE＝，所以tan ∠DAE＝，所以∠DAE＝30°. 当a∥α时，θ＝0，当a⊥α时，θ＝， 当a与α斜交时，θ的范围为， 故θ的取值范围为. 在Rt△EAD中，EA＝＝2， 又AO＝， ∴在Rt△EOA中，sin∠AEO＝＝， 13.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为 设AB＝，则AA1＝1，AD＝，AB1＝， ∴sin∠AB1D＝＝，∴∠AB1D＝45°. 且GM＝AE，NH＝CF， ∴NE∥DC且NE＝DC， AM＝AB， ∴AM∥CD且AM＝CD， $$